nauki ścisłe
Autor: Marek Penszko | dodano: 2013-02-19
Hurtownia kwadratów

Czyli taka, w której magazynier zna twierdzenie Lagrange’a

Najmłodszym miłośnikom królowej nauk zdarza się dokonywać zaskakujących odkryć. Na przykład, odejmując od siebie kolejne kwadraty liczb naturalnych (0, 1, 4, 9, 16, 25,…), otrzymujemy kolejne liczby nieparzyste (1, 3, 5, 7, 9,…). To może dziwić, bo wydaje się, że ciąg potęg powinien „przyspieszać” w jakiś bardziej wyszukany sposób niż numeracja domów po jednej stronie ulicy. Wystarczy jednak zapisać równanie na różnicę sąsiednich kwadratów:

n2 (n–1)2 =2n1

i wszystko staje się jasne – wynikiem jest wzór na liczby nieparzyste. Stąd wniosek: każda liczba nieparzysta jest różnicą dwóch kwadratów. Czy każda parzysta również? Nie, w tym przypadku różnicami są tylko wielokrotności czterech (4, 8, 12, 16, 20,…). A zatem różnica kwadratów może być każdą liczbą oprócz określonych wzorem 4k + 2 (2, 6, 10, 14, 18,…). Albo inaczej: każdą, którą można przedstawić jako iloczyn dwu liczb nieparzystych lub dwu parzystych. Z tym sformułowaniem wiąże się prosta metoda znajdowania wszystkich sposobów przedstawienia danej liczby jako różnicy dwóch kwadratów.

Weźmy liczbę 2013. Z jej rozkładu na czynniki pierwsze (3×11×61) wynika, że można ją zapisać jako iloczyn dwu liczb nieparzystych na cztery sposoby: 61×33, 183×11, 671×3, 2013×1. Tyle samo będzie sposobów przedstawienia jej jako różnicy dwóch kwadratów, a do każdego bezpośrednio prowadzi wzór:

[(a+b)/2]2 [(ab)/2]2

gdzie a i b są parą czynników tworzących iloczyn. Tak więc dla liczb 61 i 33 otrzymamy:

[(61+33)/2]2 [(6133)/2]2 =472 142

Trzy kolejne sposoby, uzyskane po podstawieniu do wzoru czynników, to:

972 862, 3372 3342 i 10072 10062.

Cztery sposoby dla tak dużej liczby to niewiele, skoro najmniejszą z „czworaczkami” jest 96. Wśród liczb mniejszych od 2013 trzy (1440, 1680, 1920) dają się zapisać jako różnica kwadratów aż na tuzin sposobów.

Z powyższego wzoru wynika też interesująca własność liczb pierwszych: można je zapisywać jako różnicę kwadratów tylko w jeden sposób, a kwadraty te są zawsze dwoma kolejnymi. Na przykład: 13=72 62, 2011=10062 10052.

W teorii liczb zagadnieniem znacznie bardziej obszernym i trudniejszym niż różnice kwadratów są ich sumy. Najbardziej ogólne pytanie brzmi: które liczby mogą być sumami n kwadratów? Ogólną odpowiedzią jest twierdzenie Lagrange’a: jeśli n=4, to wszystkie. Każdą liczbę naturalną można zapisać w postaci sumy czterech kwadratów liczb całkowitych. Gdybyśmy jednak ograniczyli się do kwadratów liczb dodatnich, czyli pominęli zero, to w twierdzeniu zamiast n  =  4 pojawiłoby się n4. Jest bowiem nieskończenie wiele liczb, których nie sposób przedstawić jako kwartetu kwadratów bez skorzystania z zer. Należą do nich, poza większością liczb jednocyfrowych – oprócz 4 (12  + 12 + 12 + 12) i 7 (22 + 12 + 12 + 12) – na przykład 32 i 56; 32 = 42 + 42, a 56 = 62 + 42 + 22 – innych możliwości bez zer nie ma (dla n ≤ 4), a zatem jeśli n ma być równe 4, to zapisy trzeba uzupełnić zerami, czyli: 32 = 42 + 42 + 02 + 02 oraz 56 = 62 + 42 + 22 + 02. Poza tym, jeśli nie uwzględniać zer, to sumą n ≤ 4 kwadratów nie obsłuży się liczby 1.

Składaniem liczb z kwadratów zajmowało się od starożytności wielu znanych matematyków. Ta pozornie prosta czynność przypomina realizowanie przez hurtownię zamówień na jakieś towary dostępne w paczkach, zawierających po 12, 22, 32,…, n2 sztuk. Jeśli hurtownia jest „matematyczna”, czyli paczek różnej wielkości jest zawsze pod dostatkiem, a magazynier zna twierdzenie Lagrange’a, to w każdej wysyłce znajdą się co najwyżej cztery paczki. Kłopot polega tylko na ustaleniu, ile najmniej i jakie konkretnie. Temat okazał się wyzwaniem i przez wieki obrósł w wiele podtematów, bo zamówienia mogą być specyficzne. Gdyby na przykład klient zażyczył sobie z2 sztuk towaru, to przy ograniczeniu przesyłki do dwóch paczek pojawiłby się najbardziej znany podtemat, czyli twierdzenie Pitagorasa, a ściślej tzw. trójki pitagorejskie określone równaniem x2 + y2 = z2. Dla małych z nietrudno wybrać odpowiednie paczki z x2 i y2 towarami – zakładając, że dla dwóch paczek będzie to możliwe. Gdyby jednak zamówienie opiewało np. na 20132 = 4 052 169 sztuk, to należałoby skorzystać z podanych przez Euklidesa wzorów, które pozwalają generować trójki pitagorejskie (x, y, z) z pary liczb naturalnych m i n, spełniających trzy warunki (jedna z nich jest nieparzysta, a druga parzysta; obie są względnie pierwsze, czyli nie mają wspólnych dzielników; m > n):

x = m2 – n2, y = 2mn, z = m2 + n2

Z trzeciego wzoru wynika, że problem z z2 sztukami towaru sprowadza się do z sztuk, czyli trzeba się najpierw uporać z pozornie prostszym podziałem 2013 na dwa kwadraty.

Dzieląc dowolny kwadrat przez 4, otrzymamy resztę 1 dla kwadratu nieparzystego lub 0 – dla parzystego. Suma dwóch kwadratów powinna więc być albo wielokrotnością czterech, gdy oba kwadraty są parzyste, albo mieć postać 4a + 1 (parzysty i nieparzysty) lub 4a + 2 (oba nieparzyste). Gdyby więc zamówiono 2011 lub 2015 sztuk, to dwie paczki z kwadratami na pewno by nie wystarczyły, bo obie te liczby są postaci 4a + 3. Czy w przypadku 2013 = 4a + 1 wystarczą? Okazuje się, że także nie. Żaden z kilku dowodów niemożności zapisania określonych liczb (innych niż postaci 4a + 3) jako sumy pary kwadratów nie jest na tyle krótki, ani prosty, aby go tu przedstawić, ale wszystkie sprowadzają się do łatwego, podanego w XVII wieku przez Girarda i Fermata, sposobu ustalenia, czy taki zapis jest możliwy. Należy rozłożyć daną liczbę na czynniki pierwsze i sprawdzić, czy liczba każdego z czynników, wyrażających się wzorem 4a + 3, jest parzysta – pamiętając, że parzyste jest także zero. W rozkładzie 2013 = 3 × 11 × 61 takimi czynnikami są 3 i 11, ale każdy występuje raz, czyli – niestety – dwie paczki nie wystarczą. A trzy?

Już w III wieku Diofantos zauważył, że żadna liczba postaci 8m + 7 nie może być sumą trzech kwadratów. Fermat podał pełny warunek: tercet kwadratów jest wykluczony tylko w przypadku liczb 4n(8m + 7) dla m i n ≥ 0. Łatwo sprawdzić, że taką liczbą jest 2012 (n = 1, m = 62), natomiast 2013 nie, więc tercety są możliwe i to aż cztery:

2013 = 432 + 102 + 82 = 382 + 202 + 132 = 352 + 282 + 22 = 342 + 292 + 42.

Zapewne magazynier w hurtowni wybrałby ostatni, bo największa paczka jest w nim mniejsza niż w trzech pozostałych.

 

Różnych zagadnień i problemów dotyczących sum kwadratów jest wiele. Rozwiązywanie jednych rodzi kolejne pytania, a szukanie odpowiedzi stanowi jakby porządkowanie chaosu, czyli najczęściej powstają reguły lub wzory. Na przykład, dopiero w roku 1979 udowodniono, że każdą liczbę większą od 188 można przedstawić jako sumę co najwyżej pięciu różnych kwadratów, a 128 jest największą, która sumą różnych kwadratów być nie może.

Poniższe zadania konkursowe dotyczą nie tylko składania liczb z kwadratów. Dwa z nich (w tym sudoku) nawiązują do jakby odwrotnego działania – partycji kwadratów.

1.         Do hurtowni puzzli przyszły trzy zamówienia – na 72, 73 i 74 sztuki. Puzzle pakowane są w „kwadratowe” paczki. Magazynier obliczył, że każde zamówienie może zrealizować, wysyłając dwie paczki, ponieważ: 72 = 62 + 62, 73 = 82 + 32, 74 = 72 + 52. Po tygodniu pojawił się inny tercet zamówień na n, n + 1 i n + 2 sztuki, z których każde także zostało obsłużone dwiema paczkami. Proszę znaleźć n, jeśli jego wartość była najmniejszą z możliwych, ale większą niż 72.

2.         Zgodnie z najprostszą, szkolną definicją liczba trójkątna równa jest liczbie okręgów o jednakowej średnicy, którymi można wypełnić trójkąt równoboczny. Ciąg takich liczb (0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,…) jest blisko spokrewniony z kwadratami, ponieważ kwadratem jest suma każdych dwu kolejnych wyrazów tego ciągu. Proszę znaleźć inny ciąg rosnący o takiej samej własności, w którym kwadratem (najmniejszym możliwym) będzie także każdy wyraz. W rozwiązaniu wystarczy podać pierwsze sześć wyrazów tego ciągu.

3.         Wymieniona w Biblii i uchodząca za uosobienie szatana tzw. liczba Bestii, czyli 666, jest frapująca także z matematycznego punktu widzenia. Wiąże się z nią kilka arytmetycznych osobliwości. Na przykład, równa jest sumie kwadratów siedmiu pierwszych liczb pierwszych:

22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172 = 666

666 można przedstawić także jako „szatański” tercet sum dwóch, trzech i czterech kwadratów liczb całkowitych dodatnich. Suma dwóch kwadratów może być tylko jedna: 225 + 441. Jakie siedem kwadratów składa się na szczególne sumy trzech i czterech kwadratów równe 666 – takie mianowicie, w których wszystkie kwadraty są różne i występuje w nich pięć szóstek?

4.         W puste pola diagramu sudoku należy wpisać cyfry od 1 do 9 tak, aby w każdym rzędzie, w każdej kolumnie oraz w sektorach 3 × 3 oddzielonych grubą linią znalazły się różne cyfry. Ponadto różnymi kwadratami powinny być:

– cyfry w trzech pojedynczych, wyodrębnionych niebieskich polach,

– sumy cyfr w każdym z trzech niebieskich fragmentów złożonych z 3, 5 i 7 pól (cyfry w każdym takim fragmencie także muszą być różne).

 

Jako końcowe rozwiązanie wystarczy podać dwie cyfry – te, których nie można jednoznacznie umieścić w diagramie (zadanie ma dwa rozwiązania).   

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 marca br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG03/13, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej trzech zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Milczenie gwiazd Paula Daviesa, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla Polityki.

 

Więcej w miesięczniku „Świat Nauki" nr 03/2013 »
Drukuj »
Ten artykuł nie został jeszcze skomentowany.
Aktualne numery
11/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
20
W 1985 r. Microsoft zaprezentował system operacyjny Windows 1.0.
Warto przeczytać
Zmyl trop to użyteczna, ale i pełna powabu oraz przekonująca, kieszonkowa esencja wszystkiego, co chcielibyście wiedzieć o obronie przed inwigilacją.

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Marek Penszko | dodano: 2013-02-19
Hurtownia kwadratów

Czyli taka, w której magazynier zna twierdzenie Lagrange’a

Najmłodszym miłośnikom królowej nauk zdarza się dokonywać zaskakujących odkryć. Na przykład, odejmując od siebie kolejne kwadraty liczb naturalnych (0, 1, 4, 9, 16, 25,…), otrzymujemy kolejne liczby nieparzyste (1, 3, 5, 7, 9,…). To może dziwić, bo wydaje się, że ciąg potęg powinien „przyspieszać” w jakiś bardziej wyszukany sposób niż numeracja domów po jednej stronie ulicy. Wystarczy jednak zapisać równanie na różnicę sąsiednich kwadratów:

n2 (n–1)2 =2n1

i wszystko staje się jasne – wynikiem jest wzór na liczby nieparzyste. Stąd wniosek: każda liczba nieparzysta jest różnicą dwóch kwadratów. Czy każda parzysta również? Nie, w tym przypadku różnicami są tylko wielokrotności czterech (4, 8, 12, 16, 20,…). A zatem różnica kwadratów może być każdą liczbą oprócz określonych wzorem 4k + 2 (2, 6, 10, 14, 18,…). Albo inaczej: każdą, którą można przedstawić jako iloczyn dwu liczb nieparzystych lub dwu parzystych. Z tym sformułowaniem wiąże się prosta metoda znajdowania wszystkich sposobów przedstawienia danej liczby jako różnicy dwóch kwadratów.

Weźmy liczbę 2013. Z jej rozkładu na czynniki pierwsze (3×11×61) wynika, że można ją zapisać jako iloczyn dwu liczb nieparzystych na cztery sposoby: 61×33, 183×11, 671×3, 2013×1. Tyle samo będzie sposobów przedstawienia jej jako różnicy dwóch kwadratów, a do każdego bezpośrednio prowadzi wzór:

[(a+b)/2]2 [(ab)/2]2

gdzie a i b są parą czynników tworzących iloczyn. Tak więc dla liczb 61 i 33 otrzymamy:

[(61+33)/2]2 [(6133)/2]2 =472 142

Trzy kolejne sposoby, uzyskane po podstawieniu do wzoru czynników, to:

972 862, 3372 3342 i 10072 10062.

Cztery sposoby dla tak dużej liczby to niewiele, skoro najmniejszą z „czworaczkami” jest 96. Wśród liczb mniejszych od 2013 trzy (1440, 1680, 1920) dają się zapisać jako różnica kwadratów aż na tuzin sposobów.

Z powyższego wzoru wynika też interesująca własność liczb pierwszych: można je zapisywać jako różnicę kwadratów tylko w jeden sposób, a kwadraty te są zawsze dwoma kolejnymi. Na przykład: 13=72 62, 2011=10062 10052.

W teorii liczb zagadnieniem znacznie bardziej obszernym i trudniejszym niż różnice kwadratów są ich sumy. Najbardziej ogólne pytanie brzmi: które liczby mogą być sumami n kwadratów? Ogólną odpowiedzią jest twierdzenie Lagrange’a: jeśli n=4, to wszystkie. Każdą liczbę naturalną można zapisać w postaci sumy czterech kwadratów liczb całkowitych. Gdybyśmy jednak ograniczyli się do kwadratów liczb dodatnich, czyli pominęli zero, to w twierdzeniu zamiast n  =  4 pojawiłoby się n4. Jest bowiem nieskończenie wiele liczb, których nie sposób przedstawić jako kwartetu kwadratów bez skorzystania z zer. Należą do nich, poza większością liczb jednocyfrowych – oprócz 4 (12  + 12 + 12 + 12) i 7 (22 + 12 + 12 + 12) – na przykład 32 i 56; 32 = 42 + 42, a 56 = 62 + 42 + 22 – innych możliwości bez zer nie ma (dla n ≤ 4), a zatem jeśli n ma być równe 4, to zapisy trzeba uzupełnić zerami, czyli: 32 = 42 + 42 + 02 + 02 oraz 56 = 62 + 42 + 22 + 02. Poza tym, jeśli nie uwzględniać zer, to sumą n ≤ 4 kwadratów nie obsłuży się liczby 1.

Składaniem liczb z kwadratów zajmowało się od starożytności wielu znanych matematyków. Ta pozornie prosta czynność przypomina realizowanie przez hurtownię zamówień na jakieś towary dostępne w paczkach, zawierających po 12, 22, 32,…, n2 sztuk. Jeśli hurtownia jest „matematyczna”, czyli paczek różnej wielkości jest zawsze pod dostatkiem, a magazynier zna twierdzenie Lagrange’a, to w każdej wysyłce znajdą się co najwyżej cztery paczki. Kłopot polega tylko na ustaleniu, ile najmniej i jakie konkretnie. Temat okazał się wyzwaniem i przez wieki obrósł w wiele podtematów, bo zamówienia mogą być specyficzne. Gdyby na przykład klient zażyczył sobie z2 sztuk towaru, to przy ograniczeniu przesyłki do dwóch paczek pojawiłby się najbardziej znany podtemat, czyli twierdzenie Pitagorasa, a ściślej tzw. trójki pitagorejskie określone równaniem x2 + y2 = z2. Dla małych z nietrudno wybrać odpowiednie paczki z x2 i y2 towarami – zakładając, że dla dwóch paczek będzie to możliwe. Gdyby jednak zamówienie opiewało np. na 20132 = 4 052 169 sztuk, to należałoby skorzystać z podanych przez Euklidesa wzorów, które pozwalają generować trójki pitagorejskie (x, y, z) z pary liczb naturalnych m i n, spełniających trzy warunki (jedna z nich jest nieparzysta, a druga parzysta; obie są względnie pierwsze, czyli nie mają wspólnych dzielników; m > n):

x = m2 – n2, y = 2mn, z = m2 + n2

Z trzeciego wzoru wynika, że problem z z2 sztukami towaru sprowadza się do z sztuk, czyli trzeba się najpierw uporać z pozornie prostszym podziałem 2013 na dwa kwadraty.

Dzieląc dowolny kwadrat przez 4, otrzymamy resztę 1 dla kwadratu nieparzystego lub 0 – dla parzystego. Suma dwóch kwadratów powinna więc być albo wielokrotnością czterech, gdy oba kwadraty są parzyste, albo mieć postać 4a + 1 (parzysty i nieparzysty) lub 4a + 2 (oba nieparzyste). Gdyby więc zamówiono 2011 lub 2015 sztuk, to dwie paczki z kwadratami na pewno by nie wystarczyły, bo obie te liczby są postaci 4a + 3. Czy w przypadku 2013 = 4a + 1 wystarczą? Okazuje się, że także nie. Żaden z kilku dowodów niemożności zapisania określonych liczb (innych niż postaci 4a + 3) jako sumy pary kwadratów nie jest na tyle krótki, ani prosty, aby go tu przedstawić, ale wszystkie sprowadzają się do łatwego, podanego w XVII wieku przez Girarda i Fermata, sposobu ustalenia, czy taki zapis jest możliwy. Należy rozłożyć daną liczbę na czynniki pierwsze i sprawdzić, czy liczba każdego z czynników, wyrażających się wzorem 4a + 3, jest parzysta – pamiętając, że parzyste jest także zero. W rozkładzie 2013 = 3 × 11 × 61 takimi czynnikami są 3 i 11, ale każdy występuje raz, czyli – niestety – dwie paczki nie wystarczą. A trzy?

Już w III wieku Diofantos zauważył, że żadna liczba postaci 8m + 7 nie może być sumą trzech kwadratów. Fermat podał pełny warunek: tercet kwadratów jest wykluczony tylko w przypadku liczb 4n(8m + 7) dla m i n ≥ 0. Łatwo sprawdzić, że taką liczbą jest 2012 (n = 1, m = 62), natomiast 2013 nie, więc tercety są możliwe i to aż cztery:

2013 = 432 + 102 + 82 = 382 + 202 + 132 = 352 + 282 + 22 = 342 + 292 + 42.

Zapewne magazynier w hurtowni wybrałby ostatni, bo największa paczka jest w nim mniejsza niż w trzech pozostałych.

 

Różnych zagadnień i problemów dotyczących sum kwadratów jest wiele. Rozwiązywanie jednych rodzi kolejne pytania, a szukanie odpowiedzi stanowi jakby porządkowanie chaosu, czyli najczęściej powstają reguły lub wzory. Na przykład, dopiero w roku 1979 udowodniono, że każdą liczbę większą od 188 można przedstawić jako sumę co najwyżej pięciu różnych kwadratów, a 128 jest największą, która sumą różnych kwadratów być nie może.

Poniższe zadania konkursowe dotyczą nie tylko składania liczb z kwadratów. Dwa z nich (w tym sudoku) nawiązują do jakby odwrotnego działania – partycji kwadratów.

1.         Do hurtowni puzzli przyszły trzy zamówienia – na 72, 73 i 74 sztuki. Puzzle pakowane są w „kwadratowe” paczki. Magazynier obliczył, że każde zamówienie może zrealizować, wysyłając dwie paczki, ponieważ: 72 = 62 + 62, 73 = 82 + 32, 74 = 72 + 52. Po tygodniu pojawił się inny tercet zamówień na n, n + 1 i n + 2 sztuki, z których każde także zostało obsłużone dwiema paczkami. Proszę znaleźć n, jeśli jego wartość była najmniejszą z możliwych, ale większą niż 72.

2.         Zgodnie z najprostszą, szkolną definicją liczba trójkątna równa jest liczbie okręgów o jednakowej średnicy, którymi można wypełnić trójkąt równoboczny. Ciąg takich liczb (0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,…) jest blisko spokrewniony z kwadratami, ponieważ kwadratem jest suma każdych dwu kolejnych wyrazów tego ciągu. Proszę znaleźć inny ciąg rosnący o takiej samej własności, w którym kwadratem (najmniejszym możliwym) będzie także każdy wyraz. W rozwiązaniu wystarczy podać pierwsze sześć wyrazów tego ciągu.

3.         Wymieniona w Biblii i uchodząca za uosobienie szatana tzw. liczba Bestii, czyli 666, jest frapująca także z matematycznego punktu widzenia. Wiąże się z nią kilka arytmetycznych osobliwości. Na przykład, równa jest sumie kwadratów siedmiu pierwszych liczb pierwszych:

22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172 = 666

666 można przedstawić także jako „szatański” tercet sum dwóch, trzech i czterech kwadratów liczb całkowitych dodatnich. Suma dwóch kwadratów może być tylko jedna: 225 + 441. Jakie siedem kwadratów składa się na szczególne sumy trzech i czterech kwadratów równe 666 – takie mianowicie, w których wszystkie kwadraty są różne i występuje w nich pięć szóstek?

4.         W puste pola diagramu sudoku należy wpisać cyfry od 1 do 9 tak, aby w każdym rzędzie, w każdej kolumnie oraz w sektorach 3 × 3 oddzielonych grubą linią znalazły się różne cyfry. Ponadto różnymi kwadratami powinny być:

– cyfry w trzech pojedynczych, wyodrębnionych niebieskich polach,

– sumy cyfr w każdym z trzech niebieskich fragmentów złożonych z 3, 5 i 7 pól (cyfry w każdym takim fragmencie także muszą być różne).

 

Jako końcowe rozwiązanie wystarczy podać dwie cyfry – te, których nie można jednoznacznie umieścić w diagramie (zadanie ma dwa rozwiązania).   

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 marca br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG03/13, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej trzech zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Milczenie gwiazd Paula Daviesa, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla Polityki.