książki
Autor: Andrzej Bielecki | dodano: 2012-08-06
O laur królowej nauk

Antonio J. Durán - PRAWDA LEŻY W GRANICY. Rachunek nieskończonościowy, przeł. Krzysztof Rejmer, Wydawnictwo RBA Warszawa 2012

Trudno dziś wyobrazić sobie matematykę bez pochodnych i całek. Wszędzie tam, gdzie trzeba opisywać chwilowe zmiany parametrów, używa się jakiejś postaci rachunku różniczkowego, a do przedstawiania sumowania małych przyrostów – całkowego. Należy przy tym nadmienić, że obliczanie pochodnej i całkowanie są operacjami wzajemnie odwrotnymi, tak jak dodawanie i odejmowanie oraz mnożenie i dzielenie.

Problem z różniczkowaniem polega na tym, że, wykonując rachunki, przyrosty traktujemy jak wielkości małe, ale różne od zera – w szczególności możemy przez nie dzielić. Natomiast po zakończeniu operacji rachunkowych, zerujemy te przyrosty, które się nie uprościły.

Ten „dualizm” w traktowaniu nieskończenie małych przyrostów sprawiał istotną trudność nie tylko twórcom rachunku różniczkowego i całkowego, lecz także pokoleniom matematyków, którzy przez ponad stulecie nie ustawali w wysiłkach, aby rachunkowi wielkości nieskończenie małych nadać poprawną formę, unikając wspomnianej „dualności”. Książka Antonia J. Durána jest poświęcona historii rozwoju rachunku różniczkowego i całkowego ze szczególnym uwzględnieniem dokonań ich twórców – Isaaca Newtona i Gottfrieda W. Leibniza.

Autor zaczyna od bardzo intuicyjnego ujęcia pochodnej i całki. Porównując ilorazy różnicowe różnych funkcji, pokazuje, że choć dla zerowego przyrostu operacja nie ma sensu – musielibyśmy wtedy dzielić zero przez zero – to jednak dla malejących przyrostów argumentów funkcji ilorazy te zachowują się w istotnie odmienny sposób. Dalej omawia osiągnięcia tych uczonych, którzy przygotowali grunt pod rachunek różniczkowy i całkowy, operując wielkościami nieskończenie małymi lub sumując szeregi nieskończone. Już starożytni posługiwali się tymi metodami, a największe osiągnięcia na tym polu miał Archimedes (m.in. obliczył dokładnie pole ograniczone spiralą Archimedesa, czyli krzywą zataczaną przez punkt poruszający się jednostajnie po prostej, która równocześnie jednostajnie się obraca). Wzorując się na uczniu Platona Eudoksosie, Archimedes posłużył się tzw. metodą wyczerpywania polegającą na tym, że pole obliczanej figury przybliżamy przez sumę pól coraz mniejszych figur, których pola potrafimy łatwo obliczyć. W przypadku spirali Archimedesa były to wycinki kół. Uczony z Syrakuz postrzegał także pole jako sumę nieskończenie małych „powierzchni” równoległych odcinków, a objętości jako sumę „objętości” nieskończenie cienkich figur ułożonych kolejno na sobie. Niestety, ta rewolucyjna idea, od której już tylko krok do rachunku całkowego, została zapomniana na 2 tys. lat, odżywając dopiero w XVII wieku. Wtedy to została ponownie wykorzystana do obliczania pól figur i objętości brył, przy czym uzyskano istotnie nowe wyniki.

W międzyczasie wprowadzono do matematyki pojęcie funkcji i jej wykresu. Zapoczątkowało to badania nad znajdowaniem stycznych do wykresu funkcji, co też należy do zagadnień z zakresu rachunku różniczkowego. Jego twórcami byli Newton i Leibniz. Anglik bardzo niechętnie publikował swoje wyniki w czasopismach naukowych, których wtedy wydawano niewiele. Wolał je opisywać w listach do przyjaciół zajmujących się podobnymi problemami naukowymi lub udostępniać w książkach, co jest znacznie bardziej czasochłonne. Natomiast niemiecki uczony prezentował swoje osiągnięcia w artykułach. Skutek był taki, że choć Newton wyniki uzyskał o kilka lat wcześniej, Leibniz swoje pierwszy opublikował. Stało się to przyczyną ostrego sporu między nimi o pierwszeństwo w dojściu do wniosków związanych z rachunkiem różniczkowym i całkowym. Sprawę dodatkowo komplikował fakt, że obaj byli osobami wpływowymi – Newton piastował funkcje prezesa Królewskiego Towarzystwa Naukowego oraz kuratora Mennicy Królewskiej, Leibniz należał do tego samego Towarzystwa oraz był kanclerzem księcia mogunckiego, dworskim radcą Świętego Cesarstwa Rzymskiego Narodu Niemieckiego oraz założycielem i pierwszym prezesem Pruskiej Akademii Nauk. W wyniku zaognienia sporu sprawę powierzono Królewskiemu Towarzystwu Naukowemu w Londynie, które w 1712 roku wydało werdykt korzystny dla Newtona, orzekając, zgodnie z prawdą, że należy mu się pierwszeństwo w tym względzie, ale również błędnie sugerując, że Leibniz popełnił plagiat. Jednak matematyczne starcie wygrał Leibniz – to jego metody miały największy wpływ na rozwój rachunku różniczkowego i całkowego. Ostatni rozdział książki jest poświęcony właśnie tej kwestii, a w szczególności opracowaniu teoretycznych podstaw rachunku wielkości nieskończenie małych. Największe zasługi na tym polu położyli Augustyn Cauchy i Karol Weierstrass – pierwszy wprowadził pojęcie granicy, a drugi nadał temu pojęciu ścisłą, formalnie poprawną postać.

Książka Durána, niewielka objętościowo i od strony matematycznej napisana na bardzo elementarnym poziomie, będzie ciekawa dla wszystkich interesujących się matematyką i historią jej rozwoju. Samo zestawienie dat życia prekursorów, twórców i tych matematyków, którzy dopracowywali formalne podstawy rachunku infinitezymalnego skłaniają do refleksji nad trudnościami w rozwijaniu nowych idei matematycznych. Pewien niedosyt pozostawia brak wzmianki na temat współczesnej postaci rachunku różniczkowego i całkowego oraz ich współczesnych zastosowań. Napisany przez tłumacza trzystronicowy dodatek o analizie niestandardowej to zdecydowanie za mało.

Więcej w miesięczniku „Świat Nauki" nr 08/2012 »
Drukuj »
Ten artykuł nie został jeszcze skomentowany.
Aktualne numery
11/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
23
W 2003 r. miało miejsce całkowite zaćmienie Słońca widoczne w Australii, Nowej Zelandii, Antarktyce i Ameryce Południowej.
Warto przeczytać
Odkrycia Svante Pääbo zrewolucjonizowały antropologię i doprowadziły do naniesienia poprawek w naszym drzewie genealogicznym. Stały się fundamentem, na którym jeszcze przez długie lata budować będą inni badacze

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Andrzej Bielecki | dodano: 2012-08-06
O laur królowej nauk

Antonio J. Durán - PRAWDA LEŻY W GRANICY. Rachunek nieskończonościowy, przeł. Krzysztof Rejmer, Wydawnictwo RBA Warszawa 2012

Trudno dziś wyobrazić sobie matematykę bez pochodnych i całek. Wszędzie tam, gdzie trzeba opisywać chwilowe zmiany parametrów, używa się jakiejś postaci rachunku różniczkowego, a do przedstawiania sumowania małych przyrostów – całkowego. Należy przy tym nadmienić, że obliczanie pochodnej i całkowanie są operacjami wzajemnie odwrotnymi, tak jak dodawanie i odejmowanie oraz mnożenie i dzielenie.

Problem z różniczkowaniem polega na tym, że, wykonując rachunki, przyrosty traktujemy jak wielkości małe, ale różne od zera – w szczególności możemy przez nie dzielić. Natomiast po zakończeniu operacji rachunkowych, zerujemy te przyrosty, które się nie uprościły.

Ten „dualizm” w traktowaniu nieskończenie małych przyrostów sprawiał istotną trudność nie tylko twórcom rachunku różniczkowego i całkowego, lecz także pokoleniom matematyków, którzy przez ponad stulecie nie ustawali w wysiłkach, aby rachunkowi wielkości nieskończenie małych nadać poprawną formę, unikając wspomnianej „dualności”. Książka Antonia J. Durána jest poświęcona historii rozwoju rachunku różniczkowego i całkowego ze szczególnym uwzględnieniem dokonań ich twórców – Isaaca Newtona i Gottfrieda W. Leibniza.

Autor zaczyna od bardzo intuicyjnego ujęcia pochodnej i całki. Porównując ilorazy różnicowe różnych funkcji, pokazuje, że choć dla zerowego przyrostu operacja nie ma sensu – musielibyśmy wtedy dzielić zero przez zero – to jednak dla malejących przyrostów argumentów funkcji ilorazy te zachowują się w istotnie odmienny sposób. Dalej omawia osiągnięcia tych uczonych, którzy przygotowali grunt pod rachunek różniczkowy i całkowy, operując wielkościami nieskończenie małymi lub sumując szeregi nieskończone. Już starożytni posługiwali się tymi metodami, a największe osiągnięcia na tym polu miał Archimedes (m.in. obliczył dokładnie pole ograniczone spiralą Archimedesa, czyli krzywą zataczaną przez punkt poruszający się jednostajnie po prostej, która równocześnie jednostajnie się obraca). Wzorując się na uczniu Platona Eudoksosie, Archimedes posłużył się tzw. metodą wyczerpywania polegającą na tym, że pole obliczanej figury przybliżamy przez sumę pól coraz mniejszych figur, których pola potrafimy łatwo obliczyć. W przypadku spirali Archimedesa były to wycinki kół. Uczony z Syrakuz postrzegał także pole jako sumę nieskończenie małych „powierzchni” równoległych odcinków, a objętości jako sumę „objętości” nieskończenie cienkich figur ułożonych kolejno na sobie. Niestety, ta rewolucyjna idea, od której już tylko krok do rachunku całkowego, została zapomniana na 2 tys. lat, odżywając dopiero w XVII wieku. Wtedy to została ponownie wykorzystana do obliczania pól figur i objętości brył, przy czym uzyskano istotnie nowe wyniki.

W międzyczasie wprowadzono do matematyki pojęcie funkcji i jej wykresu. Zapoczątkowało to badania nad znajdowaniem stycznych do wykresu funkcji, co też należy do zagadnień z zakresu rachunku różniczkowego. Jego twórcami byli Newton i Leibniz. Anglik bardzo niechętnie publikował swoje wyniki w czasopismach naukowych, których wtedy wydawano niewiele. Wolał je opisywać w listach do przyjaciół zajmujących się podobnymi problemami naukowymi lub udostępniać w książkach, co jest znacznie bardziej czasochłonne. Natomiast niemiecki uczony prezentował swoje osiągnięcia w artykułach. Skutek był taki, że choć Newton wyniki uzyskał o kilka lat wcześniej, Leibniz swoje pierwszy opublikował. Stało się to przyczyną ostrego sporu między nimi o pierwszeństwo w dojściu do wniosków związanych z rachunkiem różniczkowym i całkowym. Sprawę dodatkowo komplikował fakt, że obaj byli osobami wpływowymi – Newton piastował funkcje prezesa Królewskiego Towarzystwa Naukowego oraz kuratora Mennicy Królewskiej, Leibniz należał do tego samego Towarzystwa oraz był kanclerzem księcia mogunckiego, dworskim radcą Świętego Cesarstwa Rzymskiego Narodu Niemieckiego oraz założycielem i pierwszym prezesem Pruskiej Akademii Nauk. W wyniku zaognienia sporu sprawę powierzono Królewskiemu Towarzystwu Naukowemu w Londynie, które w 1712 roku wydało werdykt korzystny dla Newtona, orzekając, zgodnie z prawdą, że należy mu się pierwszeństwo w tym względzie, ale również błędnie sugerując, że Leibniz popełnił plagiat. Jednak matematyczne starcie wygrał Leibniz – to jego metody miały największy wpływ na rozwój rachunku różniczkowego i całkowego. Ostatni rozdział książki jest poświęcony właśnie tej kwestii, a w szczególności opracowaniu teoretycznych podstaw rachunku wielkości nieskończenie małych. Największe zasługi na tym polu położyli Augustyn Cauchy i Karol Weierstrass – pierwszy wprowadził pojęcie granicy, a drugi nadał temu pojęciu ścisłą, formalnie poprawną postać.

Książka Durána, niewielka objętościowo i od strony matematycznej napisana na bardzo elementarnym poziomie, będzie ciekawa dla wszystkich interesujących się matematyką i historią jej rozwoju. Samo zestawienie dat życia prekursorów, twórców i tych matematyków, którzy dopracowywali formalne podstawy rachunku infinitezymalnego skłaniają do refleksji nad trudnościami w rozwijaniu nowych idei matematycznych. Pewien niedosyt pozostawia brak wzmianki na temat współczesnej postaci rachunku różniczkowego i całkowego oraz ich współczesnych zastosowań. Napisany przez tłumacza trzystronicowy dodatek o analizie niestandardowej to zdecydowanie za mało.