książki
Autor: Marek Abramowicz | dodano: 2012-07-19
Niezwykła uroda równań Diofantosa

Maria Dzielska - HYPATIA Z ALEKSANDRII, wydanie III poprawione, Wydawnictwo Universitas Kraków 2010

Książkę profesor Marii Dzielskiej Hypatia z Aleksandrii* przeczytałem tego lata w pamiętającym czasy rzymskie uroczym miasteczku Salò nad brzegiem jeziora Garda w Dolomitach. Na krótkie wakacje zaprosili mnie wraz z żoną mieszkający tam w eleganckiej villa rodzice Paoli Rebusco, młodej włoskiej matematyczki, która kilka lat temu zrobiła u mnie magisterium na Uniwersytecie w Trieście. Po apolińsku mądra i piękna, kojarzyła mi się zawsze Paola z Hypatią. W Salò mówiliśmy o pewnym błahym, ale ciekawym, problemie diofantyjskim. Takie problemy są ściśle związane z liczbami naturalnymi, fundamentalnymi w światopoglądzie Pitagorasa, filozofa bardzo w kręgu Hypatii cenionego. La dolce vita w Salò, lektura inspirującej i pięknej książki o Hypatii oraz rozmowy z Paolą o problemach diofantyjskich, złożyły się na kilka luźnych wrażeń i myśli, spisanych w tym krótkim szkicu.

 

Hypatia żyła w Aleksandrii na przełomie IV i V wieku n.e. Była wybitną obywatelką swego ukochanego polis. Podziwiano ją z powodu licznych talentów, a także niezwykłej urody.

Szanowano za wiedzę, arystokratyczne pochodzenie, przykładnie cnotliwe życie w dobrowolnym celibacie oraz zaangażowanie w sprawy publiczne. Boska Hypatia była rozumna jak Atena, cnotliwa jak Hera i piękna jak Afrodyta. Redagowała trudne traktaty Euklidesa i Diofantosa, a przede wszystkim wykładała matematykę i neoplatońską filozofię dla małego grona wybranych. Wygłaszała też popularne wykłady, które przyciągały miejską inteligencję. Poprzez swych uczniów, którzy doszli do ważnych godności i stanowisk, oraz dzięki osobistym kontaktom miała niemały wpływ na aleksandryjską politykę. Zdominował ją wtedy spór między władzą kościelną a świecką. Jego protagonistami byli biskup Cyryl i cesarski namiestnik Orestes, przyjaciel Hypatii.

Zginęła tragicznie w 415 roku, okrutnie zamordowana przez tłum fanatycznych zwolenników biskupa. Dziś, po 16 wiekach od tych wydarzeń, legenda Hypatii jest ciągle żywa w świadomości wykształconych Europejczyków. Wielu, jak kiedyś Wolter, boleje nad niewinną ofiarą prymitywnego fanatyzmu. Jej tragiczny los jest dla nich symbolem upadku wyrafinowanej kultury antyku pod brutalnym naporem chrześcijaństwa.

Książka Marii Dzielskiej bezstronnie analizuje tę wolterowską i różne inne wersje legendy Hypatii obecne w kulturze europejskiej. Pokazuje, że były one przez wielu autorów świadomie manipulowane lub wręcz zmyślane, stosownie do osobistych przekonań, panującej mody czy kanonów politycznej poprawności.

Autorka najsurowiej krytykuje Woltera, wytykając mu fałszerstwo lub niewiedzę, a nawet szokująco zły smak pewnego niestosownego dowcipu. Taką zaś daje sumaryczną ocenę: „Gdyby Wolter, a po nim inni pisarze, miłujący antyk i Hypatię, zadali sobie trud dokładniejszego wczytania się w źródła, zobaczyliby, że wyłania się z nich postać złożona i niełatwa do opisania, wymykająca się uproszczonym wizjom i konkluzjom. Odarta z idei oświeceniowych, ta »ofiara zabobonu i ciemnoty« ukazałaby się Wolterowi jako osoba wierząca w siły poznawcze rozumu, ale i poszukująca boga drogami objawienia religijnego. A przede wszystkim zobaczyłby w niej zaciekłą rygorystkę moralną, nie mniej przekonaną o konieczności nakazów, zakazów i potrzebie ascezy cielesnej jak przeciwstawiani jej dogmatyczni, bezduszni i bezwzględni wrogowie »prawdy i postępu« – chrześcijanie”. Profesor Maria Dzielska wnikliwie, czasem z lekką kpiną (jak w przypadku kuriozalnego dramatu Konopnickiej), omawia poświęcone Hypatii wiersze, dramaty i powieści w literaturze polskiej, francuskiej, włoskiej, angielskiej i niemieckiej, cytując ich obszerne fragmenty w językach oryginałów.

Zastanowiła mnie w tym omówieniu nieobecność literatury rosyjskiej. Ze wstydem przyznaję, że pamiętam z niej tylko jeden fragment poświęcony Hypatii. Jest tak krótki, że mogę go zacytować w całości. Wieniczka, alter ego Wieniedikta Jerofiejewa z jego słynnego poematu Moskwa-Pietuszki, przyłapany w pociągu za jazdę bez biletu, w pijackim delirium zaczyna opisywać kontrolerowi okrutną śmierć Hypatii tymi słowami: „i oto podbechtani przez patriarchę Cyryla fanatyczni aleksandryjscy mnisi zerwali z Hypatii szaty, i...”, ale nie kończy, gdyż „pociąg staje jak wryty na stacji w Oriechowie Zujewie”. Nie wierzę, aby te pół zdania (zresztą z intencją przypominającą dowcip Woltera) to było wszystko, co o Hypatii napisali rosyjscy poeci.

Intelektualny krąg Hypatii jest fenomenem do dziś fascynującym. Maria Dzielska wykonała ogromną erudycyjną pracę, zbierając i starannie analizując informacje o kręgu Hypatii we wszystkich dochowanych do naszych czasów źródłach. Wyłonił się z tego trudu piękny obraz wspólnoty Mistrzyni i uczniów, który Autorka tak charakteryzuje: „O tym, że najbliżsi uczniowie Hypatii spotykali się u niej bardzo często, świadczy również ich wzajemna bliskość i przywiązanie do siebie. Tego rodzaju więzi (...) mogły się pojawić tylko w wyniku stałego obcowania młodych ludzi ze sobą przez kilka lat. Stąd też ich związek z nauczycielką był projekcją długotrwałego przywiązania i miłości do niej, a także stałej adoracji. Nazywali ją przeto nie tylko nauczycielem filozofii i dobroczyńcą, ale także matką i siostrą (...)”.

Hypatia przysposabiała również swych studentów do godnego, rozumnego życia w skromności i cnocie: „Prowadziła z nimi coś w rodzaju świętych rozmów na tematy etyczno-religijne i kosmologiczne, dokonywała egzegez tekstów filozoficznych, wraz z nimi przeżywała boskie wizje, oddawała się kontemplacji boskich zasad”.

Nie były to praktyki pogańskie. Maria Dzielska polemizuje z mitem (obecnym na przykład w przywołanym już dra macie Konopnickiej), iż Hypatia to poganka, starająca się umocnić upadającą w Aleksandrii wiarę w greckich bogów swym antychrześcijańskim nauczaniem. Prawda jest inna. Hypatia była Greczynką wychowaną i starannie wykształconą w tradycji greckiej kultury, nauki i religii. Wierna jej przez całe życie, nie była niechętna chrześcijaństwu. Uczyło się u niej wielu wyznających tę religię studentów. Umacniało to ich wiarę. Dwóch z nich zostało biskupami: „W jej kręgu (...) nie wywoływało się epifanii bogów i demonów, nie ożywiało posągów, nie uprawiało dywinacji w transie mediumicznym, nie składało się ofiar bogom, nie odprawiało ceremonii nocnych etc.”.

Niektórzy młodzieńcy studiowali u Hypatii po pięć i więcej lat. To bardzo długo, tyle dziś trwa cały kurs uniwersyteckiej matematyki. Próbuję wyobrazić sobie studentów Hypatii, takich jak Paola i ja, głęboko i prawdziwie zainteresowanych matematyką, mniej filozofią, a prawie wcale doskonaleniem charakteru drogą medytacji. Czego mogli się nauczyć w ciągu pięciu lat od Mistrzyni? Maria Dzielska tak opisuje listę wykładów Hypatii: „Podstawy geometrii prezentowała swoim słuchaczom, na podstawie Apolloniusza z Perge i Euklidesa, którym najpoważniej zajmował się jej ojciec. Do wykładów z arytmetyki służył jej podręcznik znakomitego algebraisty z okresu wczesnego cesarstwa – Diofantosa z Aleksandrii. Oprócz tego niezwykle ważnym autorem, którego pracami posługiwała się do objaśnienia prawd matematycznych, był Klaudiusz Ptolemeusz. Na nim też się opierała, prowadząc kurs astronomii dla swoich uczniów”.

 

Tabela przypomina, że Hypatia znała, jak inni greccy matematycy antyku, tylko dwa rodzaje liczb: liczby naturalne i ułamki. Ma to zasadnicze znaczenie dla próby zrozumienia, jak uczyła arytmetyki z podręcznika Diofantosa. Arytmetyka składała się z 13 ksiąg, z czego do naszych czasów przetrwało sześć. Niektórzy sądzą, że wszystkie zachowane księgi wywodzą się (poprzez łańcuch kolejnych wydań, redakcji i tłumaczeń) z Arytmetyki zredagowanej przez Hypatię i zawierają jej komentarze, a także ułożone przez nią zadania. Diofantos rozważał problemy z jedną, dwiema lub trzema niewiadomymi, na przykład: „Znaleźć trzy liczby, których suma jest kwadratem, a także suma każdej pary tych liczb jest kwadratem”. Rozwiązania problemów Diofantosa zawsze były liczbami naturalnymi lub dodatnimi ułamkami. Wielu autorów podkreśla, że gdy Diofantos rozważał pewne zadanie, sprowadzające się do równania 4x + 40 = 20, nie zaaprobował, oczywistego dla nas, rozwiązania x = –5, lecz twierdził, dość mgliście, że jest ono absurdalne. Był bardzo bliski odkrycia liczb ujemnych, ale nie wykonał ostatecznego kroku w tym kierunku. Podobnie Pitagoras nie uznał za dopuszczalne liczb niewymiernych, choć odkrył i pięknie dowiódł, że długość przekątnej kwadratu o jednostkowym boku wyraża się równaniem x2 = 2, którego rozwiązanie nie może być liczbą wymierną. Czy Hypatia, wnikliwa czytelniczka i komentatorka Diofantosa, poszła krok dalej, zaakceptowała x = –5 i zrozumiała, że istnieją liczby ujemne? Tego nikt z nas nie wie.

Jedną z zalet Arytmetyki były praktyczne porady i reguły, jak rozwiązywać równania, w szczególności równania kwadratowe. Hypatia mogła więc ułożyć dla swych studentów takie na przykład równanie algebraiczne (równania algebraiczne mają po obu stronach wielomiany tej samej niewiadomej x).

3 x2 + 9 = 12 x

Zarówno współczynniki tego równania, jak i jego pierwiastki x = 1, x = 3, są liczbami naturalnymi. W czasach Hypatii ograniczenie zakresu rozwiązywalności równań do wyników w liczbach naturalnych (lub ułamkach) było koniecznością wypływającą z niedostatecznego rozumienia, czym są liczby. Wiele równań, które Hypatia mogła napisać, na przykład 4x + 40 = 20, x2 = 2, x2 + 2 = 1, ma rozwiązania w liczbach jej nieznanych: pierwsze z nich w ujemnych, drugie – w niewymiernych, trzecie – w urojonych. Wraz ze znanymi Hypatii liczbami naturalnymi i ułamkami należą one do zbioru liczb zespolonych. Dziś wiemy, że każde równanie algebraiczne ma zawsze rozwiązanie w liczbach zespolonych. Udowodnił to w 1799 roku Carl Friedrich Gauss, jako zasadnicze twierdzenie algebry.

Liczby zespolone zbudowane są z dwóch liczb rzeczywistych i jednostki urojonej i, zdefiniowanej przez i2 = –1. Na przykład, z = –13.58 + 4.29i. Liczby rzeczywiste –13.58 oraz 4.29 zapisałem tu z dokładnością do drugiego miejsca po dziesiętnej kropce. Zapis dziesiętny ułatwia poglądowe wytłumaczenie ważnych szczególnych rodzajów liczb zespolonych. Liczby wymierne, tzn. liczby całkowite i ułamki, można zawsze zapisać za pomocą skończonej liczby cyfr po dziesiętnej kropce. Liczby całkowite nie mają żadnej cyfry po kropce, ułamki, takie jak 1/8 = 0.125 mają skończone rozwinięcia, a takie jak 2/7 = 0.285714285714... = 0.{285714}, powtarzający się cykl {...} o skończonej długości.

Zapis dokładnej wartości liczby niewymiernej musiałby natomiast pokazywać nieskończenie wiele cyfr po kropce. To niemożliwe, zawsze więc wartości liczb niewymiernych zapisujemy jedynie w pewnym przybliżeniu. Z dokładnością do 100 miejsc dziesiętnych mamy, na przykład

π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679...

O tych wszystkich odkryciach nowożytnych matematyków Hypatia oczywiście nie wiedziała. W dodatku nie znała zera i naszego pozycyjnego (dziesiętnego) systemu zapisywania liczb, który genialnie upraszcza cztery działania. Warto się o zaletach naszego systemu przekonać, próbując wykonać proste mnożenie w jakimś niepozycyjnym systemie, na przykład policzyć

MCMXLVII •CXIX

używając tylko cyfr rzymskich. Biedna Hypatia!

Liczby zespolone odkrył, ponad tysiąc lat po śmierci Hypatii, genialny włoski matematyk, astrolog i lekarz Girolamo Cardano (był także konstruktorem słynnego przegubu, bez którego nie jeździłyby samochody). Jak długo zajęłoby Hypatii zrozumienie istoty liczb zespolonych? Myślę, że mógłbym nauczyć ją tego przy tablicy w jeden dzień. Prawdy matematyczne są bowiem ponadczasowe. Raz odkryte, widoczne są dla każdego, kto ma platoński dar do matematyki. Oczywiście nauczenie się szczegółów, metod rozwiązywania równań itd., musi zająć wiele miesięcy systematycznego trudu, który wymaga dyscypliny i charakteru. To jest bardzo trudne, bo przecież matematyka jest bardzo trudna. Sama zasada pozostaje jednak prosta – i piękna.

Wiemy, że każde równanie algebraiczne ma rozwiązanie w liczbach zespolonych, ale świadomie stawiamy sobie ograniczenie i także dzisiaj badamy problemy diofantyjskie, w których chodzi o znalezienie rozwiązań w liczbach naturalnych (lub całkowitych). Dlaczego tak czynimy? Po pierwsze dlatego, że liczby naturalne są piękną klasą liczb, najprostszą i najbardziej fundamentalną. Wszystkie inne liczby, ułamki, liczby niewymierne i zespolone, definiujemy za pomocą liczb naturalnych. Leopold Kronecker, słynny niemiecki matematyk z XIX wieku, mówił (co niewątpliwie zaaprobowałby Pitagoras, gdyby poznał naszą matematykę), że „Bóg stworzył liczby naturalne, wszystkie inne są dziełem matematyków”. Po drugie, ponieważ zazwyczaj trudne problemy diofantyjskie są po pitagorejsku piękne, a czasem ukazują drogę ku nowym, ciekawym matematycznym problemom.

Serio traktowana gra w szachy bywa intelektualnym wyzwaniem nie tylko dla uczestniczących w turnieju mistrzów, lecz także dla amatorów współzawodniczących ze sobą dla przyjemności. Podobnie niektóre problemy diofantyjskie mogą dostarczyć wyrafinowanej przyjemności zarówno matematykom, jak i amatorom. Oto przykład trzy-po-trzy: „Suma trzech liczb całkowitych daje trzy, tyle samo, co suma ich trzecich potęg. Jakie to liczby?”. Wierszowane omówienie tego zadania umieszczam na końcu szkicu. Forma wiersza nie powinna dziwić. Bardzo znane Epitafium Diofantosa (które umieścił w swojej antologii Maximos Planoudes, mnich grecki z XIV wieku) jest jednocześnie arytmetyczną zagadką dotyczącą wieku Diofantosa w chwili śmierci i krótkim poematem.

Najsłynniejszym problemem diofantyjskim w historii jest Wielkie Twierdzenie Fermata, które głosi, że równanie

xn + yn = zn

nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych x, y, z, jeśli liczba naturalna n jest większa niż 2. Pierre de Fermat zapisał je w 1637 roku na marginesie Arytmetyki Diofantosa (która do jego rąk dotarła być może dzięki Hypatii!). Jak wiadomo, notatka Fermata kończy się absurdalnie aroganckim zdaniem: „Odkryłem prawdziwie cudowny dowód tego twierdzenia, jednakże ten margines jest zbyt wąski, by dowód zapisać”. John Barrow widział w nowojorskim metrze takie graffiti: „xn + yn = zn nie ma rozwiązańw liczbach naturalnych dla n > 2. Odkryłemprawdziwie cudowny dowód tegotwierdzenia, jednakże mój pociąg odchodziza dwie minuty i nie mam czasu,by dowód zapisać”.

Przez ponad trzysta lat wielu matematyków usiłowało udowodnić, albo obalić, hipotezę Fermata. Był wśród nich nawet Iwo Gąsowski, brodaty dziwak z Szatana z siódmej klasy Kornela Makuszyńskiego. Dowód przedstawił angielski matematyk Andrew Wiles dopiero w roku 1995. Jest to wynik doprawdy zdumiewający! Pomyślcie bowiem tylko: x2 + y2 = z2ma nieskończenie wiele rozwiązań.Nazywamy je trójkami pitagorejskimi,gdyż ilustrują twierdzenie Pitagorasa:suma kwadratów przyprostokątnychx2 + y2 równa jest kwadratowi przeciwprostokątnejz2. Najsłynniejsza z takichpitagorejskich trójek, 32 + 42 = 52, znanabyła (jako trójkąt egipski) na tysiącelat przed Hypatią.

Hypatia na pewno znała też wiele innych trójek, 52 + 122 = 132, 92 + 122 = 152, ... Natomiast x2+n + y2+n = z2+n nie ma ani jednego rozwiązania, dlażadnej liczby z nieskończonego zbiorun = 1, 2, 3, ...

 

Na rysunku 1 przedstawiam bardzo ciekawy geometryczny problem diofantyjski dotyczący grafów. Graf jest zbiorem wierzchołków połączonych, każdy z każdym, prostymi bokami. Wierzchołki i boki zaznaczone są tu na zielono. Graf nazywamy grafem Diofantosa, jeśli długości wszystkich jego boków wyrażają się przez liczby naturalne. Graf Diofantosa pokazany po lewej stronie zbudowany jest z czterech trójkątów o bokach wyrażających się przez najprostszą pitagorejską trójkę 3, 4, 5. Umieszczony jest na regularnej kratkowanej sieci pokrywającej płaszczyznę. Sieć zaznaczono na rysunku kolorem czerwonym. Wierzchołki grafu wypadają w węzłach sieci. Tego grafu nie da się rozbudować, zachowując diofantyjskość, co pokazane jest na rysunku z prawej. Dołączenie dodatkowego wierzchołka, położonego w jakimkolwiek węźle sieci, spowodowałoby, że co najmniej jeden z nowych boków miałby niecałkowitą długość. Takie niemożliwe do przedłużenia grafy

nazywamy grafami Erdősa-Diofantosa.

Możliwe są grafy Erdősa-Diofantosa zbudowane z jednego trójkąta! Najmniejszy taki trójkąt, o bokach 505, 1803, 2066, pokazany jest na rysunku 2 z lewej strony. Ilustracja jest zbyt mała, by widoczne były pojedyncze kratki sieci. Ukazane są więc tylko te jej linie, które przechodzą przez wierzchołki grafu. Umieszczone przy nich liczby pozwalają policzyć, ile kratek występuje pomiędzy liniami. Choć trójkąt 505, 1803, 2066 nie jest prostokątny, definiuje trzy trójki pitagorejskie. Każdy jego bok jest bowiem przeciwprostokątną w trójkącie, którego przyprostokątnymi są odcinki sieci. Popatrzcie uważnie na rysunek z lewej, zauważcie, że 336 = 1720 – 1384 i zapiszcie, 5052 = 3362 + 3772. Podobnie, 20662 = 20302 + 3842 oraz 18032 = 16532 + 7202. Takich bardzo dużych trójek pitagorejskich Hypatia zapewne nie umiałaby policzyć z powodu trudności rachunkowych, jakich nastręczają niepozycyjne systemy zapisywania liczb. Chociaż, kto wie? Archimedes z Syrakuz (wykształcony w Aleksandrii) oszacował ponad sześć wieków przed narodzeniem Hypatii ilość ziaren piasku, które mogłyby się zmieścić w całym Wszechświecie. Ta największa liczba rozważana przez matematyków antyku dziś zostałaby zapisana jako jedynka z 80•1015 zerami.

Paul Erdős, genialny współczesny matematyk, który badał grafy Diofantosa, był węgierskim Żydem. Jak Hypatia żył w dobrowolnym celibacie, nie miał domu, podróżował od kraju do kraju, nigdy nie podjął stałej pracy, kochał tylko liczby. Umarł w Warszawie, na atak serca, podczas matematycznej konferencji. W chwili śmierci miał 83 lata, o rok mniej niż Diofantos. Opublikował więcej prac niż jakikolwiek inny matematyk w dziejach. W matematycznym folklorze słynna jest liczba Erdősa, czyli liczba E, tak w dwóch punktach definiowana przez indukcję: {1} E = n + 1 ma ktoś, kto opublikował artykuł z kimś, kto ma E = n; {2} Paul Erdős ma E = 0. Oczywiście im mniejsza czyjaś liczba Erdősa, tym lepiej. Moja liczba Erdősa wynosi E = 4.

Ageometretos

Nad brzegiem morza chłodnego,

Daleko od Grecji,

Mówiłem z inną Hypatią

O Liczbach Ujemnych.

Teraz miała na imię Paola,

Bardzo długie rzęsy,

Niosła w wysmukłych dłoniach

Wspomnienie Tergeste.

Bawiła nas błahostka,

Diofantyjski problem,

Może znany Hypatii:

W liczbach całkowitych

Odnaleźć wszystkie trójki

Pierwiastków równania

x + y + z = 3

x3 + y3 + z3 = 3

Jedna taka trójka,

(x, y, z) = (1, 1, 1)

Jest widoczna każdemu.

Każdy też rozumie,

Że w innych rozwiązaniach,

O ile istnieją,

Co najmniej jedna w trójce

Jest Liczbą Ujemną,

Na przykład

(x, y, z) = (4, 4, –5)

Czy boska Hypatia

Znała Liczby Ujemne?

Czy mogła je odkryć

W mglistej wzmiance

Diofanta?

Tego nikt z nas nie wie.

(x, y, z) = (1, 1, 1)

(x, y, z) = (4, 4, –5)

Czy są inne jeszcze

Trójki rozwiązań?

Jak znaleźć je Wszystkie?

Ja wiem, i wie to Paola,

I może

Wiedziała to Hypatia.

Lecz tego nie zgadnie

Nikt bez platońskiego daru

Do matematyki.

Więcej w miesięczniku „Świat Nauki" nr 10/2010 »
Drukuj »
Ten artykuł nie został jeszcze skomentowany.
Aktualne numery
11/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
20
W 1985 r. Microsoft zaprezentował system operacyjny Windows 1.0.
Warto przeczytać
Odkrycia Svante Pääbo zrewolucjonizowały antropologię i doprowadziły do naniesienia poprawek w naszym drzewie genealogicznym. Stały się fundamentem, na którym jeszcze przez długie lata budować będą inni badacze

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Marek Abramowicz | dodano: 2012-07-19
Niezwykła uroda równań Diofantosa

Maria Dzielska - HYPATIA Z ALEKSANDRII, wydanie III poprawione, Wydawnictwo Universitas Kraków 2010

Książkę profesor Marii Dzielskiej Hypatia z Aleksandrii* przeczytałem tego lata w pamiętającym czasy rzymskie uroczym miasteczku Salò nad brzegiem jeziora Garda w Dolomitach. Na krótkie wakacje zaprosili mnie wraz z żoną mieszkający tam w eleganckiej villa rodzice Paoli Rebusco, młodej włoskiej matematyczki, która kilka lat temu zrobiła u mnie magisterium na Uniwersytecie w Trieście. Po apolińsku mądra i piękna, kojarzyła mi się zawsze Paola z Hypatią. W Salò mówiliśmy o pewnym błahym, ale ciekawym, problemie diofantyjskim. Takie problemy są ściśle związane z liczbami naturalnymi, fundamentalnymi w światopoglądzie Pitagorasa, filozofa bardzo w kręgu Hypatii cenionego. La dolce vita w Salò, lektura inspirującej i pięknej książki o Hypatii oraz rozmowy z Paolą o problemach diofantyjskich, złożyły się na kilka luźnych wrażeń i myśli, spisanych w tym krótkim szkicu.

 

Hypatia żyła w Aleksandrii na przełomie IV i V wieku n.e. Była wybitną obywatelką swego ukochanego polis. Podziwiano ją z powodu licznych talentów, a także niezwykłej urody.

Szanowano za wiedzę, arystokratyczne pochodzenie, przykładnie cnotliwe życie w dobrowolnym celibacie oraz zaangażowanie w sprawy publiczne. Boska Hypatia była rozumna jak Atena, cnotliwa jak Hera i piękna jak Afrodyta. Redagowała trudne traktaty Euklidesa i Diofantosa, a przede wszystkim wykładała matematykę i neoplatońską filozofię dla małego grona wybranych. Wygłaszała też popularne wykłady, które przyciągały miejską inteligencję. Poprzez swych uczniów, którzy doszli do ważnych godności i stanowisk, oraz dzięki osobistym kontaktom miała niemały wpływ na aleksandryjską politykę. Zdominował ją wtedy spór między władzą kościelną a świecką. Jego protagonistami byli biskup Cyryl i cesarski namiestnik Orestes, przyjaciel Hypatii.

Zginęła tragicznie w 415 roku, okrutnie zamordowana przez tłum fanatycznych zwolenników biskupa. Dziś, po 16 wiekach od tych wydarzeń, legenda Hypatii jest ciągle żywa w świadomości wykształconych Europejczyków. Wielu, jak kiedyś Wolter, boleje nad niewinną ofiarą prymitywnego fanatyzmu. Jej tragiczny los jest dla nich symbolem upadku wyrafinowanej kultury antyku pod brutalnym naporem chrześcijaństwa.

Książka Marii Dzielskiej bezstronnie analizuje tę wolterowską i różne inne wersje legendy Hypatii obecne w kulturze europejskiej. Pokazuje, że były one przez wielu autorów świadomie manipulowane lub wręcz zmyślane, stosownie do osobistych przekonań, panującej mody czy kanonów politycznej poprawności.

Autorka najsurowiej krytykuje Woltera, wytykając mu fałszerstwo lub niewiedzę, a nawet szokująco zły smak pewnego niestosownego dowcipu. Taką zaś daje sumaryczną ocenę: „Gdyby Wolter, a po nim inni pisarze, miłujący antyk i Hypatię, zadali sobie trud dokładniejszego wczytania się w źródła, zobaczyliby, że wyłania się z nich postać złożona i niełatwa do opisania, wymykająca się uproszczonym wizjom i konkluzjom. Odarta z idei oświeceniowych, ta »ofiara zabobonu i ciemnoty« ukazałaby się Wolterowi jako osoba wierząca w siły poznawcze rozumu, ale i poszukująca boga drogami objawienia religijnego. A przede wszystkim zobaczyłby w niej zaciekłą rygorystkę moralną, nie mniej przekonaną o konieczności nakazów, zakazów i potrzebie ascezy cielesnej jak przeciwstawiani jej dogmatyczni, bezduszni i bezwzględni wrogowie »prawdy i postępu« – chrześcijanie”. Profesor Maria Dzielska wnikliwie, czasem z lekką kpiną (jak w przypadku kuriozalnego dramatu Konopnickiej), omawia poświęcone Hypatii wiersze, dramaty i powieści w literaturze polskiej, francuskiej, włoskiej, angielskiej i niemieckiej, cytując ich obszerne fragmenty w językach oryginałów.

Zastanowiła mnie w tym omówieniu nieobecność literatury rosyjskiej. Ze wstydem przyznaję, że pamiętam z niej tylko jeden fragment poświęcony Hypatii. Jest tak krótki, że mogę go zacytować w całości. Wieniczka, alter ego Wieniedikta Jerofiejewa z jego słynnego poematu Moskwa-Pietuszki, przyłapany w pociągu za jazdę bez biletu, w pijackim delirium zaczyna opisywać kontrolerowi okrutną śmierć Hypatii tymi słowami: „i oto podbechtani przez patriarchę Cyryla fanatyczni aleksandryjscy mnisi zerwali z Hypatii szaty, i...”, ale nie kończy, gdyż „pociąg staje jak wryty na stacji w Oriechowie Zujewie”. Nie wierzę, aby te pół zdania (zresztą z intencją przypominającą dowcip Woltera) to było wszystko, co o Hypatii napisali rosyjscy poeci.

Intelektualny krąg Hypatii jest fenomenem do dziś fascynującym. Maria Dzielska wykonała ogromną erudycyjną pracę, zbierając i starannie analizując informacje o kręgu Hypatii we wszystkich dochowanych do naszych czasów źródłach. Wyłonił się z tego trudu piękny obraz wspólnoty Mistrzyni i uczniów, który Autorka tak charakteryzuje: „O tym, że najbliżsi uczniowie Hypatii spotykali się u niej bardzo często, świadczy również ich wzajemna bliskość i przywiązanie do siebie. Tego rodzaju więzi (...) mogły się pojawić tylko w wyniku stałego obcowania młodych ludzi ze sobą przez kilka lat. Stąd też ich związek z nauczycielką był projekcją długotrwałego przywiązania i miłości do niej, a także stałej adoracji. Nazywali ją przeto nie tylko nauczycielem filozofii i dobroczyńcą, ale także matką i siostrą (...)”.

Hypatia przysposabiała również swych studentów do godnego, rozumnego życia w skromności i cnocie: „Prowadziła z nimi coś w rodzaju świętych rozmów na tematy etyczno-religijne i kosmologiczne, dokonywała egzegez tekstów filozoficznych, wraz z nimi przeżywała boskie wizje, oddawała się kontemplacji boskich zasad”.

Nie były to praktyki pogańskie. Maria Dzielska polemizuje z mitem (obecnym na przykład w przywołanym już dra macie Konopnickiej), iż Hypatia to poganka, starająca się umocnić upadającą w Aleksandrii wiarę w greckich bogów swym antychrześcijańskim nauczaniem. Prawda jest inna. Hypatia była Greczynką wychowaną i starannie wykształconą w tradycji greckiej kultury, nauki i religii. Wierna jej przez całe życie, nie była niechętna chrześcijaństwu. Uczyło się u niej wielu wyznających tę religię studentów. Umacniało to ich wiarę. Dwóch z nich zostało biskupami: „W jej kręgu (...) nie wywoływało się epifanii bogów i demonów, nie ożywiało posągów, nie uprawiało dywinacji w transie mediumicznym, nie składało się ofiar bogom, nie odprawiało ceremonii nocnych etc.”.

Niektórzy młodzieńcy studiowali u Hypatii po pięć i więcej lat. To bardzo długo, tyle dziś trwa cały kurs uniwersyteckiej matematyki. Próbuję wyobrazić sobie studentów Hypatii, takich jak Paola i ja, głęboko i prawdziwie zainteresowanych matematyką, mniej filozofią, a prawie wcale doskonaleniem charakteru drogą medytacji. Czego mogli się nauczyć w ciągu pięciu lat od Mistrzyni? Maria Dzielska tak opisuje listę wykładów Hypatii: „Podstawy geometrii prezentowała swoim słuchaczom, na podstawie Apolloniusza z Perge i Euklidesa, którym najpoważniej zajmował się jej ojciec. Do wykładów z arytmetyki służył jej podręcznik znakomitego algebraisty z okresu wczesnego cesarstwa – Diofantosa z Aleksandrii. Oprócz tego niezwykle ważnym autorem, którego pracami posługiwała się do objaśnienia prawd matematycznych, był Klaudiusz Ptolemeusz. Na nim też się opierała, prowadząc kurs astronomii dla swoich uczniów”.

 

Tabela przypomina, że Hypatia znała, jak inni greccy matematycy antyku, tylko dwa rodzaje liczb: liczby naturalne i ułamki. Ma to zasadnicze znaczenie dla próby zrozumienia, jak uczyła arytmetyki z podręcznika Diofantosa. Arytmetyka składała się z 13 ksiąg, z czego do naszych czasów przetrwało sześć. Niektórzy sądzą, że wszystkie zachowane księgi wywodzą się (poprzez łańcuch kolejnych wydań, redakcji i tłumaczeń) z Arytmetyki zredagowanej przez Hypatię i zawierają jej komentarze, a także ułożone przez nią zadania. Diofantos rozważał problemy z jedną, dwiema lub trzema niewiadomymi, na przykład: „Znaleźć trzy liczby, których suma jest kwadratem, a także suma każdej pary tych liczb jest kwadratem”. Rozwiązania problemów Diofantosa zawsze były liczbami naturalnymi lub dodatnimi ułamkami. Wielu autorów podkreśla, że gdy Diofantos rozważał pewne zadanie, sprowadzające się do równania 4x + 40 = 20, nie zaaprobował, oczywistego dla nas, rozwiązania x = –5, lecz twierdził, dość mgliście, że jest ono absurdalne. Był bardzo bliski odkrycia liczb ujemnych, ale nie wykonał ostatecznego kroku w tym kierunku. Podobnie Pitagoras nie uznał za dopuszczalne liczb niewymiernych, choć odkrył i pięknie dowiódł, że długość przekątnej kwadratu o jednostkowym boku wyraża się równaniem x2 = 2, którego rozwiązanie nie może być liczbą wymierną. Czy Hypatia, wnikliwa czytelniczka i komentatorka Diofantosa, poszła krok dalej, zaakceptowała x = –5 i zrozumiała, że istnieją liczby ujemne? Tego nikt z nas nie wie.

Jedną z zalet Arytmetyki były praktyczne porady i reguły, jak rozwiązywać równania, w szczególności równania kwadratowe. Hypatia mogła więc ułożyć dla swych studentów takie na przykład równanie algebraiczne (równania algebraiczne mają po obu stronach wielomiany tej samej niewiadomej x).

3 x2 + 9 = 12 x

Zarówno współczynniki tego równania, jak i jego pierwiastki x = 1, x = 3, są liczbami naturalnymi. W czasach Hypatii ograniczenie zakresu rozwiązywalności równań do wyników w liczbach naturalnych (lub ułamkach) było koniecznością wypływającą z niedostatecznego rozumienia, czym są liczby. Wiele równań, które Hypatia mogła napisać, na przykład 4x + 40 = 20, x2 = 2, x2 + 2 = 1, ma rozwiązania w liczbach jej nieznanych: pierwsze z nich w ujemnych, drugie – w niewymiernych, trzecie – w urojonych. Wraz ze znanymi Hypatii liczbami naturalnymi i ułamkami należą one do zbioru liczb zespolonych. Dziś wiemy, że każde równanie algebraiczne ma zawsze rozwiązanie w liczbach zespolonych. Udowodnił to w 1799 roku Carl Friedrich Gauss, jako zasadnicze twierdzenie algebry.

Liczby zespolone zbudowane są z dwóch liczb rzeczywistych i jednostki urojonej i, zdefiniowanej przez i2 = –1. Na przykład, z = –13.58 + 4.29i. Liczby rzeczywiste –13.58 oraz 4.29 zapisałem tu z dokładnością do drugiego miejsca po dziesiętnej kropce. Zapis dziesiętny ułatwia poglądowe wytłumaczenie ważnych szczególnych rodzajów liczb zespolonych. Liczby wymierne, tzn. liczby całkowite i ułamki, można zawsze zapisać za pomocą skończonej liczby cyfr po dziesiętnej kropce. Liczby całkowite nie mają żadnej cyfry po kropce, ułamki, takie jak 1/8 = 0.125 mają skończone rozwinięcia, a takie jak 2/7 = 0.285714285714... = 0.{285714}, powtarzający się cykl {...} o skończonej długości.

Zapis dokładnej wartości liczby niewymiernej musiałby natomiast pokazywać nieskończenie wiele cyfr po kropce. To niemożliwe, zawsze więc wartości liczb niewymiernych zapisujemy jedynie w pewnym przybliżeniu. Z dokładnością do 100 miejsc dziesiętnych mamy, na przykład

π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679...

O tych wszystkich odkryciach nowożytnych matematyków Hypatia oczywiście nie wiedziała. W dodatku nie znała zera i naszego pozycyjnego (dziesiętnego) systemu zapisywania liczb, który genialnie upraszcza cztery działania. Warto się o zaletach naszego systemu przekonać, próbując wykonać proste mnożenie w jakimś niepozycyjnym systemie, na przykład policzyć

MCMXLVII •CXIX

używając tylko cyfr rzymskich. Biedna Hypatia!

Liczby zespolone odkrył, ponad tysiąc lat po śmierci Hypatii, genialny włoski matematyk, astrolog i lekarz Girolamo Cardano (był także konstruktorem słynnego przegubu, bez którego nie jeździłyby samochody). Jak długo zajęłoby Hypatii zrozumienie istoty liczb zespolonych? Myślę, że mógłbym nauczyć ją tego przy tablicy w jeden dzień. Prawdy matematyczne są bowiem ponadczasowe. Raz odkryte, widoczne są dla każdego, kto ma platoński dar do matematyki. Oczywiście nauczenie się szczegółów, metod rozwiązywania równań itd., musi zająć wiele miesięcy systematycznego trudu, który wymaga dyscypliny i charakteru. To jest bardzo trudne, bo przecież matematyka jest bardzo trudna. Sama zasada pozostaje jednak prosta – i piękna.

Wiemy, że każde równanie algebraiczne ma rozwiązanie w liczbach zespolonych, ale świadomie stawiamy sobie ograniczenie i także dzisiaj badamy problemy diofantyjskie, w których chodzi o znalezienie rozwiązań w liczbach naturalnych (lub całkowitych). Dlaczego tak czynimy? Po pierwsze dlatego, że liczby naturalne są piękną klasą liczb, najprostszą i najbardziej fundamentalną. Wszystkie inne liczby, ułamki, liczby niewymierne i zespolone, definiujemy za pomocą liczb naturalnych. Leopold Kronecker, słynny niemiecki matematyk z XIX wieku, mówił (co niewątpliwie zaaprobowałby Pitagoras, gdyby poznał naszą matematykę), że „Bóg stworzył liczby naturalne, wszystkie inne są dziełem matematyków”. Po drugie, ponieważ zazwyczaj trudne problemy diofantyjskie są po pitagorejsku piękne, a czasem ukazują drogę ku nowym, ciekawym matematycznym problemom.

Serio traktowana gra w szachy bywa intelektualnym wyzwaniem nie tylko dla uczestniczących w turnieju mistrzów, lecz także dla amatorów współzawodniczących ze sobą dla przyjemności. Podobnie niektóre problemy diofantyjskie mogą dostarczyć wyrafinowanej przyjemności zarówno matematykom, jak i amatorom. Oto przykład trzy-po-trzy: „Suma trzech liczb całkowitych daje trzy, tyle samo, co suma ich trzecich potęg. Jakie to liczby?”. Wierszowane omówienie tego zadania umieszczam na końcu szkicu. Forma wiersza nie powinna dziwić. Bardzo znane Epitafium Diofantosa (które umieścił w swojej antologii Maximos Planoudes, mnich grecki z XIV wieku) jest jednocześnie arytmetyczną zagadką dotyczącą wieku Diofantosa w chwili śmierci i krótkim poematem.

Najsłynniejszym problemem diofantyjskim w historii jest Wielkie Twierdzenie Fermata, które głosi, że równanie

xn + yn = zn

nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych x, y, z, jeśli liczba naturalna n jest większa niż 2. Pierre de Fermat zapisał je w 1637 roku na marginesie Arytmetyki Diofantosa (która do jego rąk dotarła być może dzięki Hypatii!). Jak wiadomo, notatka Fermata kończy się absurdalnie aroganckim zdaniem: „Odkryłem prawdziwie cudowny dowód tego twierdzenia, jednakże ten margines jest zbyt wąski, by dowód zapisać”. John Barrow widział w nowojorskim metrze takie graffiti: „xn + yn = zn nie ma rozwiązańw liczbach naturalnych dla n > 2. Odkryłemprawdziwie cudowny dowód tegotwierdzenia, jednakże mój pociąg odchodziza dwie minuty i nie mam czasu,by dowód zapisać”.

Przez ponad trzysta lat wielu matematyków usiłowało udowodnić, albo obalić, hipotezę Fermata. Był wśród nich nawet Iwo Gąsowski, brodaty dziwak z Szatana z siódmej klasy Kornela Makuszyńskiego. Dowód przedstawił angielski matematyk Andrew Wiles dopiero w roku 1995. Jest to wynik doprawdy zdumiewający! Pomyślcie bowiem tylko: x2 + y2 = z2ma nieskończenie wiele rozwiązań.Nazywamy je trójkami pitagorejskimi,gdyż ilustrują twierdzenie Pitagorasa:suma kwadratów przyprostokątnychx2 + y2 równa jest kwadratowi przeciwprostokątnejz2. Najsłynniejsza z takichpitagorejskich trójek, 32 + 42 = 52, znanabyła (jako trójkąt egipski) na tysiącelat przed Hypatią.

Hypatia na pewno znała też wiele innych trójek, 52 + 122 = 132, 92 + 122 = 152, ... Natomiast x2+n + y2+n = z2+n nie ma ani jednego rozwiązania, dlażadnej liczby z nieskończonego zbiorun = 1, 2, 3, ...

 

Na rysunku 1 przedstawiam bardzo ciekawy geometryczny problem diofantyjski dotyczący grafów. Graf jest zbiorem wierzchołków połączonych, każdy z każdym, prostymi bokami. Wierzchołki i boki zaznaczone są tu na zielono. Graf nazywamy grafem Diofantosa, jeśli długości wszystkich jego boków wyrażają się przez liczby naturalne. Graf Diofantosa pokazany po lewej stronie zbudowany jest z czterech trójkątów o bokach wyrażających się przez najprostszą pitagorejską trójkę 3, 4, 5. Umieszczony jest na regularnej kratkowanej sieci pokrywającej płaszczyznę. Sieć zaznaczono na rysunku kolorem czerwonym. Wierzchołki grafu wypadają w węzłach sieci. Tego grafu nie da się rozbudować, zachowując diofantyjskość, co pokazane jest na rysunku z prawej. Dołączenie dodatkowego wierzchołka, położonego w jakimkolwiek węźle sieci, spowodowałoby, że co najmniej jeden z nowych boków miałby niecałkowitą długość. Takie niemożliwe do przedłużenia grafy

nazywamy grafami Erdősa-Diofantosa.

Możliwe są grafy Erdősa-Diofantosa zbudowane z jednego trójkąta! Najmniejszy taki trójkąt, o bokach 505, 1803, 2066, pokazany jest na rysunku 2 z lewej strony. Ilustracja jest zbyt mała, by widoczne były pojedyncze kratki sieci. Ukazane są więc tylko te jej linie, które przechodzą przez wierzchołki grafu. Umieszczone przy nich liczby pozwalają policzyć, ile kratek występuje pomiędzy liniami. Choć trójkąt 505, 1803, 2066 nie jest prostokątny, definiuje trzy trójki pitagorejskie. Każdy jego bok jest bowiem przeciwprostokątną w trójkącie, którego przyprostokątnymi są odcinki sieci. Popatrzcie uważnie na rysunek z lewej, zauważcie, że 336 = 1720 – 1384 i zapiszcie, 5052 = 3362 + 3772. Podobnie, 20662 = 20302 + 3842 oraz 18032 = 16532 + 7202. Takich bardzo dużych trójek pitagorejskich Hypatia zapewne nie umiałaby policzyć z powodu trudności rachunkowych, jakich nastręczają niepozycyjne systemy zapisywania liczb. Chociaż, kto wie? Archimedes z Syrakuz (wykształcony w Aleksandrii) oszacował ponad sześć wieków przed narodzeniem Hypatii ilość ziaren piasku, które mogłyby się zmieścić w całym Wszechświecie. Ta największa liczba rozważana przez matematyków antyku dziś zostałaby zapisana jako jedynka z 80•1015 zerami.

Paul Erdős, genialny współczesny matematyk, który badał grafy Diofantosa, był węgierskim Żydem. Jak Hypatia żył w dobrowolnym celibacie, nie miał domu, podróżował od kraju do kraju, nigdy nie podjął stałej pracy, kochał tylko liczby. Umarł w Warszawie, na atak serca, podczas matematycznej konferencji. W chwili śmierci miał 83 lata, o rok mniej niż Diofantos. Opublikował więcej prac niż jakikolwiek inny matematyk w dziejach. W matematycznym folklorze słynna jest liczba Erdősa, czyli liczba E, tak w dwóch punktach definiowana przez indukcję: {1} E = n + 1 ma ktoś, kto opublikował artykuł z kimś, kto ma E = n; {2} Paul Erdős ma E = 0. Oczywiście im mniejsza czyjaś liczba Erdősa, tym lepiej. Moja liczba Erdősa wynosi E = 4.

Ageometretos

Nad brzegiem morza chłodnego,

Daleko od Grecji,

Mówiłem z inną Hypatią

O Liczbach Ujemnych.

Teraz miała na imię Paola,

Bardzo długie rzęsy,

Niosła w wysmukłych dłoniach

Wspomnienie Tergeste.

Bawiła nas błahostka,

Diofantyjski problem,

Może znany Hypatii:

W liczbach całkowitych

Odnaleźć wszystkie trójki

Pierwiastków równania

x + y + z = 3

x3 + y3 + z3 = 3

Jedna taka trójka,

(x, y, z) = (1, 1, 1)

Jest widoczna każdemu.

Każdy też rozumie,

Że w innych rozwiązaniach,

O ile istnieją,

Co najmniej jedna w trójce

Jest Liczbą Ujemną,

Na przykład

(x, y, z) = (4, 4, –5)

Czy boska Hypatia

Znała Liczby Ujemne?

Czy mogła je odkryć

W mglistej wzmiance

Diofanta?

Tego nikt z nas nie wie.

(x, y, z) = (1, 1, 1)

(x, y, z) = (4, 4, –5)

Czy są inne jeszcze

Trójki rozwiązań?

Jak znaleźć je Wszystkie?

Ja wiem, i wie to Paola,

I może

Wiedziała to Hypatia.

Lecz tego nie zgadnie

Nikt bez platońskiego daru

Do matematyki.