nauki ścisłe
dodano: 2015-11-19
Kropki z pętelką

Topologia

Kropki z pętelką

Specyficzną miarą atrakcyjności łamigłówki, będącej od dłuższego czasu w obiegu, jest liczba jej nazw i odmian

Marek Penszko

Są to także – ale tylko do pewnego stopnia – wyznaczniki jej popularności. Na podbój świata, który zdarza się mniej więcej raz na kilkadziesiąt lat, łamigłówka ma szanse wyłącznie pod jedną nazwą (uwzględniając ewentualne tłumaczenia, jak w przypadku krzyżówki), co wiąże się oczywiście z aspektem komercyjnym. Gdy pod koniec roku 2004 zaczęła się moda na sudoku, nikt nie próbował publikować tych zadań pod inną nazwą, bo po prostu by na tym nie zarobił.

Żadna z przeszczepianych później z Japonii łamigłówek nie spopularyzowała się na świecie nawet w małej części tak, jak sudoku, a tym bardziej nie weszła na stałe do repertuaru popularnych rozrywek umysłowych. I nic dziwnego – nie było już efektu nowości i zaskoczenia, co w masowej skali ma decydujące znaczenie. Kierując się jednak podanym na wstępie kryterium, czyli liczbą nazw i odmian, a także częstością występowania w publikacjach specjalistycznych i w Internecie, można wybrać spośród łamigłówek z japońskim rodowodem kilka najciekawszych. Bez wątpienia byłaby wśród nich pokropka.

Organizując przed laty turnieje łamigłówkowe lub publikując zbiorki zadań, kilkakrotnie prosiłem rozwiązujących o wskazanie ich zdaniem najciekawszej łamigłówki. Pokropka zawsze trafiała do pierwszej trójki, a często przodowała – przede wszystkim ze względu na oryginalny, prosty pomysł i przejrzyste reguły oraz równie klarowną, co nie znaczy prostą, logikę (ciekawe, że nikt nigdy nie typował sudoku). Zapewne istotne było także to, że wówczas, czyli na początku XXI wieku, łamigłowka dopiero u nas raczkowała. W Japonii zamieszczono ją po raz pierwszy w 1989 roku w jednym z pism łamigłówkowych pod nazwą suriza rinku, czyli „ślizgające się łącze”. Wydawca szybko zorientował się, że trafił w dziesiątkę i natychmiast zaczął lansować nowość w swoim kraju, zastrzegając nazwę, a na wszelki wypadek także jej angielski odpowiednik – slitherlink.

W praktyce na niewiele to się zdało, bo zasad zastrzec nie można, więc już w Japonii pojawiło się sporo kopii pod innymi nazwami. Na wielki świat pokropka wychynęła dopiero po dziewięciu latach i to trochę przypadkowo. W roku 1998 w Stambule odbywały się 7. Łamigłówkowe Mistrzostwa Świata, ale Turcy nie czuli się dostatecznie silni merytorycznie, więc zadania na imprezę przygotowali Japończycy. Zaskoczyli wszystkich oryginalnością propozycji, wśród których znalazła się także pokropka pod nazwą On the Dot (angielski idiom z „kropką”, znaczący „punktualnie”). Startowałem w tej imprezie, więc po powrocie zaszczepiłem zadanie u nas. Podobnie postąpili uczestnicy z innych krajów i tak zaczął się „podbój świata” przez nową łamigłówkę. Podbój skuteczny, ale w porównaniu z późniejszą epidemią sudoku jednak niszowy.

Zasady pokropki można podać bez kropki, czyli w jednym zdaniu:

połącz niektóre kropki linią łamaną zamkniętą (pętlą), biegnącą niebieskimi korytarzami i nie goszczącą dwukrotnie w żadnej kropce, korzystając z cyfrowych podpowiedzi – każda cyfra oznacza, przez ile boków kratki z tą cyfrą powinna przebiegać łamana.

Jeśli pofolgować fantazji, reguły można przedstawić bardziej realistycznie. Wyobraźmy sobie, że diagram jest planem krzyżujących się ulic, na którym cyframi zaszyfrowano trasę okrężną, czyli pętlę autobusu turystycznego. Należy ją ujawnić, wiedząc, że cyfra umieszczona w danym kwartale oznacza, wzdłuż ilu jego boków przejeżdża autobus, który ponadto na żadnym skrzyżowaniu nie pojawia się dwukrotnie. Gwoli jasności, na rys. 1 podany jest przykład oraz pokropka z mistrzostw świata w Stambule – pierwsza, która przekroczyła granice Kraju Kwitnącej Wiśni. Jest dość trudna; na mistrzostwach najlepszym, którzy po raz pierwszy zetknęli się z zadaniem tego rodzaju, rozwiązanie zajęło około 10 minut. Między innymi dlatego, że nie znali przynajmniej kilku prostych schematów jego rozwiązywania, więc sami musieli je odkrywać. Właśnie dzięki tym schematom, choć nie tylko dlatego, pokropka trafiła w kilku krajach na lekcje matematyki. Chodziło o tzw. bliską logikę, czyli proste wnioskowanie z położenia niektórych pojedynczych cyfr lub grup cyfr (zwykle par) o fragmentach pętli albo o ich braku w określonych miejscach.

 

 Rys. 1

 

Kilka elementarnych schematów (czerwone oznaczenia) przedstawionych jest na rys. 2: a – schemat trywialny – brak linii wokół zera (krzyżyki); b – 1, 2 i 3 w rogu skutkuje wykluczeniem lub zaznaczeniem niektórych fragmentów; c – 0 i 3 obok siebie w rzędzie lub na przekątnej to kilka jednoznacznych fragmentów linii i pustych miejsc; d – dwie trójki po sąsiedzku – podobnie jak w przypadku c; e – 1 i 3 obok siebie przy brzegu pozwalają oznaczyć jeden odcinek i wykluczyć dwa fragmenty.

 

 

Rys. 2

 

Podstawę wszystkich schematów stanowi prosty wniosek, wynikający z faktu, że rozwiązaniem jest pętla: z każdej kropki mogą i powinny wychodzić tylko dwa odcinki albo żaden. Ćwiczenia na lekcjach polegały m.in. na ustalaniu tych i bardziej złożonych schematów dla więcej niż dwu cyfr. Trzy proste przykłady z trzema cyframi przedstawiono na rys. 3 – w każdym układzie trzeba oznaczyć wszystkie fragmenty, które obejmie pętla oraz przekreślić te, które znajdą się poza nią.

 

 

Rys. 3

 

Proste schematy-pewniaki stanowią zachętę do rozwiązywania. Występują w każdej porządnej pokropce i od nich się zaczyna, ale dalej pojawiają się logiczne schodki i schody. Z reguły należy coś zakładać, a potem sprawdzać, co wynika z tego założenia (jeżeli…, to…). Ten proces przypomina dowodzenie twierdzeń, co także uzasadnia obecność pokropki na lekcjach matematyki. W zadaniu na rys. 4 wszystkie elementarne schematy spośród występujących na rys. 2 są już oznaczone. Dalej trzeba główkować, co nie zawsze bywa proste, bo autobusowa pętla jest chytrze zaszyfrowana.

 

Rys. 4

 

Inny aspekt matematyczny pokropki wiąże się z topologią. Rozwiązaniem zadania jest linia łamana zamknięta zwana w matematyce krzywą Jordana. To każda ciągła linia zamknięta, która nie przecina samej siebie. Dotyczy jej następujące twierdzenie: każda płaska krzywa Jordana dzieli płaszczyznę na dwa obszary – wewnętrzny i zewnętrzny.

Może dziwić, że coś tak oczywistego ma formę twierdzenia, ale w matematyce nierzadko to, co wydaje się oczywiste, wymaga dowodu, a w tym przypadku – wbrew pozorom – nie jest to wcale łatwe. Za pierwszy poprawny uznany został dowód sformułowany dopiero w 1905 roku przez amerykańskiego matematyka Oswalda Veblena. Później pojawiały się inne, elegantsze, a ostatni, z 2005 roku, z wykorzystaniem systemu automatycznego dowodzenia twierdzeń Mizar, jest dziełem polsko-japońskiego zespołu.

W matematyce popularnej krzywa Jordana przedstawiana jest zwykle jako linia wielokrotnie powyginana i ściśnięta tak, że otoczony nią obszar nie jest wyraźnie widoczny, jeśli się go jakoś nie oznaczy, np. kolorem. Najczęściej taki obrazek wiąże się z zagadką polegającą na ustaleniu, czy jakiś obiekt umieszczony w tym kłębowisku znajduje się wewnątrz czy na zewnątrz krzywej.

Pokropkowym odpowiednikiem takiej zagadki może być krzywa Jordana, stanowiąca rozwiązanie zadania na odpowiednio dużym diagramie, np. 20×20 (rys. 5). W tym przypadku wskazanie, czy guzik z pętelką jest w jej wnętrzu, czy poza nią, jest proste. W trudniejszych zagadkach tego rodzaju, gdy krzywa Jordana jest bardzo „skłębiona”, sprytne rozwiązanie polega na poprowadzeniu linii od obiektu na zewnątrz kłębowiska i policzeniu, ile razy linia ta przecina krzywą Jordana. Jeśli liczba przecięć jest parzysta, to obiekt leży… na zewnątrz czy wewnątrz krzywej?

 

 

Rys. 5

 

Ze względu na zawiły kształt krzywej Jordana, będącej rozwiązaniem pokropki, warto w trakcie rozwiązywania uważać, aby przedwcześnie w jakimś miejscu nie zamknąć linii, bo wówczas pojawią się dwa wnętrza, czyli dwie pętle zamiast jednej albo dodatkowa łamana niezamknięta. Przy rozwiązywaniu można także wykorzystać podane wyżej twierdzenie Jordana. Wynika z niego, że każda kratka diagramu musi leżeć albo wewnątrz, albo na zewnątrz krzywej. Jeśli zatem dwie kratki rozdziela linia, to jedna z nich znajdzie się wewnątrz, a druga na zewnątrz. Jeżeli natomiast w korytarzu między kratkami linia zostanie wykluczona, to obie znajdą się w tym samym obszarze. Oznaczanie różnymi kolorami kratek wewnętrznych i zewnętrznych ułatwia czasem rysowanie pętli. Pomocna może być także informacja, że każda linia równoległa do brzegów diagramu, przechodząca przez środki kratek, zawsze przetnie pętlę parzystą liczbę razy.

W Internecie stron z pokropkami jest sporo. Najwięcej pojawia się po wpisaniu w wyszukiwarce slitherlink. Innych nazw jest mnóstwo, np. fences, number line, takegaki, loop the loop, dotty dilemma, nie wspominając o innych różnojęzycznych określeniach, które bywają dość osobliwe (np. kitajskaja stiena po rosyjsku). Natomiast warianty pokropki, choć jest ich kilkanaście, są nie tylko w sieci łamigłówkowymi rodzynkami – goszczą czasem na turniejach i w pismach specjalistycznych. Jeden z najciekawszych można by nazwać pokropką Jordana, bo reguły są uzupełnione warunkiem nawiązującym do podanego wyżej twierdzenia: cyfry wewnątrz łamanej, stanowiącej rozwiązanie, oznaczają to, co zwykle, natomiast te, które znajdują się na zewnątrz niej, oznaczają coś dokładnie odwrotnego, czyli przez ile boków kratki z daną cyfrą łamana nie przechodzi. Ustalanie, czy cyfra jest wewnątrz, czy na zewnątrz pętli (poza zerami i czwórkami, o których wiadomo, gdzie się znajdą), przy równoczesnym oznaczaniu przebiegu tejże pętli, stanowi więc dodatkowy orzech do zgryzienia. Przykład na rys. 6 jest uzupełniony łamigłówką treningową przed rozwiązywaniem zadań konkursowych – czterech różnych wariantów pokropki.

 

 

Rys. 6

 

ZADANIA

W rozwiązaniu każdego zadania wystarczy podać, ile razy załamuje się linia, będąca rozwiązaniem.

 

  1. 1.      Pokropka Jordana (rys. 7), czyli każda cyfra, która znajdzie się:

– wewnątrz łamanej, powinna oznaczać, przez ile boków otaczającej ją kratki przechodzi łamana;

– na zewnątrz łamanej, powinna oznaczać, przez ile boków otaczającej ją kratki nie przechodzi łamana.

Zadanie pochodzi z 18. Łamigłówkowych Mistrzostw Świata.

 

 

Rys. 7

 

  1. 2.      W pokropce-tetris na diagramie oznaczonych jest pięć różnych żółtych wielokątów w kształcie figur, występujących w grze tetris – każdy obejmuje cztery kratki. Gdyby we wszystkie żółte kratki wpisać cyfry, to w każdej figurze tetris byłyby one różne, czyli równe 0, 1, 2, 3. Przykład i zadanie na rys. 8.

 

 

Rys. 8

 

  1. 3.      Pokropka rogata wygląda, jak zwykła, ale jej reguły oraz strategia rozwiązywania, są nieco inne: cyfra w kratce oznacza, w ilu rogach tej kratki pętla się załamuje. Przykład i zadanie na rys. 9.

 

 

Rys. 9

 

  1. 4.      Pokropka-goliat (rys. 10) nazwana jest tak, ponieważ rozmiar cyfr jest w niej ponad dwukrotnie większy, podobnie jak ich zakres – od 0 do 7; każdą otacza 8 odcinków łączących sąsiednie kropki. Reguły pozostają prawie bez zmian: każda cyfra oznacza, przez ile odcinków otaczającej ją kratki powinna przebiegać łamana.

 

 

Rys. 10

 

 

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 grudnia br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl),wpisując w temacie e-maila hasło UG 12/15, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Kubity i kot Schrödingera. Od maszyny Turinga do komputerów kwantowych Johna Gribbina ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media

 

 

 

Więcej w miesięczniku „Świat Nauki" nr 12/2015 »
Drukuj »
Ten artykuł nie został jeszcze skomentowany.
Aktualne numery
11/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
19
W 1912 r. urodził się George Emil Palade, amerykański cytolog, laureat Nagrody Nobla.
Warto przeczytać
Zmyl trop to użyteczna, ale i pełna powabu oraz przekonująca, kieszonkowa esencja wszystkiego, co chcielibyście wiedzieć o obronie przed inwigilacją.

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

dodano: 2015-11-19
Kropki z pętelką

Topologia

Kropki z pętelką

Specyficzną miarą atrakcyjności łamigłówki, będącej od dłuższego czasu w obiegu, jest liczba jej nazw i odmian

Marek Penszko

Są to także – ale tylko do pewnego stopnia – wyznaczniki jej popularności. Na podbój świata, który zdarza się mniej więcej raz na kilkadziesiąt lat, łamigłówka ma szanse wyłącznie pod jedną nazwą (uwzględniając ewentualne tłumaczenia, jak w przypadku krzyżówki), co wiąże się oczywiście z aspektem komercyjnym. Gdy pod koniec roku 2004 zaczęła się moda na sudoku, nikt nie próbował publikować tych zadań pod inną nazwą, bo po prostu by na tym nie zarobił.

Żadna z przeszczepianych później z Japonii łamigłówek nie spopularyzowała się na świecie nawet w małej części tak, jak sudoku, a tym bardziej nie weszła na stałe do repertuaru popularnych rozrywek umysłowych. I nic dziwnego – nie było już efektu nowości i zaskoczenia, co w masowej skali ma decydujące znaczenie. Kierując się jednak podanym na wstępie kryterium, czyli liczbą nazw i odmian, a także częstością występowania w publikacjach specjalistycznych i w Internecie, można wybrać spośród łamigłówek z japońskim rodowodem kilka najciekawszych. Bez wątpienia byłaby wśród nich pokropka.

Organizując przed laty turnieje łamigłówkowe lub publikując zbiorki zadań, kilkakrotnie prosiłem rozwiązujących o wskazanie ich zdaniem najciekawszej łamigłówki. Pokropka zawsze trafiała do pierwszej trójki, a często przodowała – przede wszystkim ze względu na oryginalny, prosty pomysł i przejrzyste reguły oraz równie klarowną, co nie znaczy prostą, logikę (ciekawe, że nikt nigdy nie typował sudoku). Zapewne istotne było także to, że wówczas, czyli na początku XXI wieku, łamigłowka dopiero u nas raczkowała. W Japonii zamieszczono ją po raz pierwszy w 1989 roku w jednym z pism łamigłówkowych pod nazwą suriza rinku, czyli „ślizgające się łącze”. Wydawca szybko zorientował się, że trafił w dziesiątkę i natychmiast zaczął lansować nowość w swoim kraju, zastrzegając nazwę, a na wszelki wypadek także jej angielski odpowiednik – slitherlink.

W praktyce na niewiele to się zdało, bo zasad zastrzec nie można, więc już w Japonii pojawiło się sporo kopii pod innymi nazwami. Na wielki świat pokropka wychynęła dopiero po dziewięciu latach i to trochę przypadkowo. W roku 1998 w Stambule odbywały się 7. Łamigłówkowe Mistrzostwa Świata, ale Turcy nie czuli się dostatecznie silni merytorycznie, więc zadania na imprezę przygotowali Japończycy. Zaskoczyli wszystkich oryginalnością propozycji, wśród których znalazła się także pokropka pod nazwą On the Dot (angielski idiom z „kropką”, znaczący „punktualnie”). Startowałem w tej imprezie, więc po powrocie zaszczepiłem zadanie u nas. Podobnie postąpili uczestnicy z innych krajów i tak zaczął się „podbój świata” przez nową łamigłówkę. Podbój skuteczny, ale w porównaniu z późniejszą epidemią sudoku jednak niszowy.

Zasady pokropki można podać bez kropki, czyli w jednym zdaniu:

połącz niektóre kropki linią łamaną zamkniętą (pętlą), biegnącą niebieskimi korytarzami i nie goszczącą dwukrotnie w żadnej kropce, korzystając z cyfrowych podpowiedzi – każda cyfra oznacza, przez ile boków kratki z tą cyfrą powinna przebiegać łamana.

Jeśli pofolgować fantazji, reguły można przedstawić bardziej realistycznie. Wyobraźmy sobie, że diagram jest planem krzyżujących się ulic, na którym cyframi zaszyfrowano trasę okrężną, czyli pętlę autobusu turystycznego. Należy ją ujawnić, wiedząc, że cyfra umieszczona w danym kwartale oznacza, wzdłuż ilu jego boków przejeżdża autobus, który ponadto na żadnym skrzyżowaniu nie pojawia się dwukrotnie. Gwoli jasności, na rys. 1 podany jest przykład oraz pokropka z mistrzostw świata w Stambule – pierwsza, która przekroczyła granice Kraju Kwitnącej Wiśni. Jest dość trudna; na mistrzostwach najlepszym, którzy po raz pierwszy zetknęli się z zadaniem tego rodzaju, rozwiązanie zajęło około 10 minut. Między innymi dlatego, że nie znali przynajmniej kilku prostych schematów jego rozwiązywania, więc sami musieli je odkrywać. Właśnie dzięki tym schematom, choć nie tylko dlatego, pokropka trafiła w kilku krajach na lekcje matematyki. Chodziło o tzw. bliską logikę, czyli proste wnioskowanie z położenia niektórych pojedynczych cyfr lub grup cyfr (zwykle par) o fragmentach pętli albo o ich braku w określonych miejscach.

 

 Rys. 1

 

Kilka elementarnych schematów (czerwone oznaczenia) przedstawionych jest na rys. 2: a – schemat trywialny – brak linii wokół zera (krzyżyki); b – 1, 2 i 3 w rogu skutkuje wykluczeniem lub zaznaczeniem niektórych fragmentów; c – 0 i 3 obok siebie w rzędzie lub na przekątnej to kilka jednoznacznych fragmentów linii i pustych miejsc; d – dwie trójki po sąsiedzku – podobnie jak w przypadku c; e – 1 i 3 obok siebie przy brzegu pozwalają oznaczyć jeden odcinek i wykluczyć dwa fragmenty.

 

 

Rys. 2

 

Podstawę wszystkich schematów stanowi prosty wniosek, wynikający z faktu, że rozwiązaniem jest pętla: z każdej kropki mogą i powinny wychodzić tylko dwa odcinki albo żaden. Ćwiczenia na lekcjach polegały m.in. na ustalaniu tych i bardziej złożonych schematów dla więcej niż dwu cyfr. Trzy proste przykłady z trzema cyframi przedstawiono na rys. 3 – w każdym układzie trzeba oznaczyć wszystkie fragmenty, które obejmie pętla oraz przekreślić te, które znajdą się poza nią.

 

 

Rys. 3

 

Proste schematy-pewniaki stanowią zachętę do rozwiązywania. Występują w każdej porządnej pokropce i od nich się zaczyna, ale dalej pojawiają się logiczne schodki i schody. Z reguły należy coś zakładać, a potem sprawdzać, co wynika z tego założenia (jeżeli…, to…). Ten proces przypomina dowodzenie twierdzeń, co także uzasadnia obecność pokropki na lekcjach matematyki. W zadaniu na rys. 4 wszystkie elementarne schematy spośród występujących na rys. 2 są już oznaczone. Dalej trzeba główkować, co nie zawsze bywa proste, bo autobusowa pętla jest chytrze zaszyfrowana.

 

Rys. 4

 

Inny aspekt matematyczny pokropki wiąże się z topologią. Rozwiązaniem zadania jest linia łamana zamknięta zwana w matematyce krzywą Jordana. To każda ciągła linia zamknięta, która nie przecina samej siebie. Dotyczy jej następujące twierdzenie: każda płaska krzywa Jordana dzieli płaszczyznę na dwa obszary – wewnętrzny i zewnętrzny.

Może dziwić, że coś tak oczywistego ma formę twierdzenia, ale w matematyce nierzadko to, co wydaje się oczywiste, wymaga dowodu, a w tym przypadku – wbrew pozorom – nie jest to wcale łatwe. Za pierwszy poprawny uznany został dowód sformułowany dopiero w 1905 roku przez amerykańskiego matematyka Oswalda Veblena. Później pojawiały się inne, elegantsze, a ostatni, z 2005 roku, z wykorzystaniem systemu automatycznego dowodzenia twierdzeń Mizar, jest dziełem polsko-japońskiego zespołu.

W matematyce popularnej krzywa Jordana przedstawiana jest zwykle jako linia wielokrotnie powyginana i ściśnięta tak, że otoczony nią obszar nie jest wyraźnie widoczny, jeśli się go jakoś nie oznaczy, np. kolorem. Najczęściej taki obrazek wiąże się z zagadką polegającą na ustaleniu, czy jakiś obiekt umieszczony w tym kłębowisku znajduje się wewnątrz czy na zewnątrz krzywej.

Pokropkowym odpowiednikiem takiej zagadki może być krzywa Jordana, stanowiąca rozwiązanie zadania na odpowiednio dużym diagramie, np. 20×20 (rys. 5). W tym przypadku wskazanie, czy guzik z pętelką jest w jej wnętrzu, czy poza nią, jest proste. W trudniejszych zagadkach tego rodzaju, gdy krzywa Jordana jest bardzo „skłębiona”, sprytne rozwiązanie polega na poprowadzeniu linii od obiektu na zewnątrz kłębowiska i policzeniu, ile razy linia ta przecina krzywą Jordana. Jeśli liczba przecięć jest parzysta, to obiekt leży… na zewnątrz czy wewnątrz krzywej?

 

 

Rys. 5

 

Ze względu na zawiły kształt krzywej Jordana, będącej rozwiązaniem pokropki, warto w trakcie rozwiązywania uważać, aby przedwcześnie w jakimś miejscu nie zamknąć linii, bo wówczas pojawią się dwa wnętrza, czyli dwie pętle zamiast jednej albo dodatkowa łamana niezamknięta. Przy rozwiązywaniu można także wykorzystać podane wyżej twierdzenie Jordana. Wynika z niego, że każda kratka diagramu musi leżeć albo wewnątrz, albo na zewnątrz krzywej. Jeśli zatem dwie kratki rozdziela linia, to jedna z nich znajdzie się wewnątrz, a druga na zewnątrz. Jeżeli natomiast w korytarzu między kratkami linia zostanie wykluczona, to obie znajdą się w tym samym obszarze. Oznaczanie różnymi kolorami kratek wewnętrznych i zewnętrznych ułatwia czasem rysowanie pętli. Pomocna może być także informacja, że każda linia równoległa do brzegów diagramu, przechodząca przez środki kratek, zawsze przetnie pętlę parzystą liczbę razy.

W Internecie stron z pokropkami jest sporo. Najwięcej pojawia się po wpisaniu w wyszukiwarce slitherlink. Innych nazw jest mnóstwo, np. fences, number line, takegaki, loop the loop, dotty dilemma, nie wspominając o innych różnojęzycznych określeniach, które bywają dość osobliwe (np. kitajskaja stiena po rosyjsku). Natomiast warianty pokropki, choć jest ich kilkanaście, są nie tylko w sieci łamigłówkowymi rodzynkami – goszczą czasem na turniejach i w pismach specjalistycznych. Jeden z najciekawszych można by nazwać pokropką Jordana, bo reguły są uzupełnione warunkiem nawiązującym do podanego wyżej twierdzenia: cyfry wewnątrz łamanej, stanowiącej rozwiązanie, oznaczają to, co zwykle, natomiast te, które znajdują się na zewnątrz niej, oznaczają coś dokładnie odwrotnego, czyli przez ile boków kratki z daną cyfrą łamana nie przechodzi. Ustalanie, czy cyfra jest wewnątrz, czy na zewnątrz pętli (poza zerami i czwórkami, o których wiadomo, gdzie się znajdą), przy równoczesnym oznaczaniu przebiegu tejże pętli, stanowi więc dodatkowy orzech do zgryzienia. Przykład na rys. 6 jest uzupełniony łamigłówką treningową przed rozwiązywaniem zadań konkursowych – czterech różnych wariantów pokropki.