nauki ścisłe
Autor: Marek Penszko | dodano: 2015-07-24
Logika rachunków

Lekcje matematyki dla starszych i mało zaawansowanych.

W lutym 2009 roku szacowny New York Times definitywnie rozstał się z sudoku i zaczął lansować nową łamigłówkę. Przyczyny tej zmiany były przynajmniej dwie: po pierwsze – wydawcy doszli do wniosku, że sudoku się przejadło, po drugie – nowa zabawa miała dwa istotne walory: edukacyjny i… zdrowotny. Pierwszy dotyczył głównie uczniów szkół podstawowych, drugi – osób starszych, ale oba wiązały się z tym samym: przy rozwiązywaniu należało liczyć – dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić. Nie ulega wątpliwości, że sprawność rachunkowa przydaje się nie tylko na lekcjach matematyki, ale co ma wspólnego rachowanie z osobami starszymi i medycyną?

Otóż zdaniem japońskiego neurofizjologa Ryuty Kawashimy nic tak dobrze nie wpływa na poprawę sprawności leciwego umysłu, jak wykonywanie prostych działań arytmetycznych. Takie ćwiczenia, do złudzenia przypominające najprostsze zadania z podręcznika arytmetyki, dominowały w dwóch książkach japońskiego uczonego, wydanych na początku bieżącego wieku – Train Your Brain i Train Your Brain More. Mimo kontrowersji obie cieszyły się sporą popularnością głównie w Japonii i Stanach Zjednoczonych, podobnie jak późniejsze komputerowe wersje zawartych w nich ćwiczeń. Miało to istotny wpływ na pojawienie się na łamach NYT nowej logiczno-rachunkowej rubryczki z łamigłówką zwaną KenKen.

Wymyślił ją w 2003 roku nauczyciel matematyki z Jokohamy Tetsuya Miyamoto, który najpierw sprawdził na uczniach skuteczność edukacyjną swoich dziełek, a po skonstatowaniu, że są one idealnym połączeniem przyjemnego z pożytecznym, zajął się przygotowywaniem zbiorów zadań. Pierwsze publikacje z nowymi łamigłówkami pojawiły się w Japonii w 2006 roku, a potem na międzynarodowych targach książki, gdzie zwróciły uwagę wydawców największych światowych dzienników, które wówczas – co bardzo istotne – były silnie zainfekowane sudoku. W efekcie zadania KenKen trafiły na łamy londyńskiego Timesa i paru innych znanych europejskich pism, gdzie przetrwały kilka miesięcy. Potem przygarnął je NYT, gdzie do dziś towarzyszą krzyżówce.

W Japonii łamigłówka ma dłuższą, opisową nazwę – Kashikoku naru pazuru, co można przetłumaczyć jako „łamigłówka kształcąca” lub „czyniąca mądrym”. W japońskim zapisie nazwa ta zaczyna się znakiem kanji czytanym jako „Ken”, występującym w wielu słowach związanych z mądrością. Angielska nazwa jest więc niejako podwojeniem „mądrości”.

W gruncie rzeczy KenKen pada niedaleko od sudoku. To ta sama rodzina, bo szkieletem obu łamigłówek jest kwadrat łaciński, czyli diagram o wymiarach n×n podzielony na n2 kratek, w które wpisane są cyfry od 1 do n w taki sposób, że w każdym wierszu i w każdej kolumnie występuje n różnych cyfr. W klasycznym sudoku n zawsze równe jest 9; w KenKen teoretycznie może być dowolne, ale w praktyce nie bywa mniejsze niż 4 i większe niż 9. Z reguły rozmiar wiąże się ze stopniem trudności. Łamigłówkę łatwo ułożyć, co może być równie przyjemne, jak jej rozwiązywanie. To także oryginalny sposób na poznanie zasad zabawy. A zatem układajmy.

 

Etap 1

Niechaj n=5, czyli rysujemy kwadrat 5×5 i we wszystkie kratki wpisujemy cyfry od 1 do 5 tak, aby w żadnym wierszu i w żadnej kolumnie żadna cyfra się nie powtarzała. Nie jest to trudne, a efektem będzie kwadrat łaciński stanowiący rozwiązanie układanego zadania, np. taki jak na rys. 1a.

 

Etap 2

Rozparcelowujemy diagram, czyli dzielimy go na działki złożone z kilku kratek. Kształty działek powinny być w miarę możliwości zróżnicowane, a wielkości niezbyt duże, zwłaszcza gdy diagram jest mały, czyli raczej nie większe niż 4-kratkowe. Mogą także pozostać działki 1-kratkowe, ale jeżeli jesteśmy ambitni, to lepiej nie. Przykładowy efekt parcelacji przedstawia rys. 1b.

 
Rys. 1

Etap 3

W lewym górnym rogu każdej działki wpisujemy wynik jednego konkretnego działania (dodawania, odejmowania, mnożenia lub dzielenia) na wszystkich znajdujących się w tej działce cyfrach. Jakiego konkretnie? Można by powiedzieć, że jakiego chcemy, ale są pewne ograniczenia. Po pierwsze – wynik powinien być zawsze liczbą całkowitą dodatnią; po drugie – jeśli działka ma więcej niż dwie kratki, to oczywiście odejmowanie i dzielenie nie wchodzi w grę. Obok każdego wyniku stawiamy znak działania, którego efektem jest ten wynik. Diagram będzie wyglądał tak, jak na rys. 1c.

Etap 4

Na koniec liczby kwadratu łacińskiego usuwamy, otrzymując gotową łamigłówkę (rys. 1d). Pozostaje jeszcze tylko sprawdzić, jak smakuje nasze dziełko, czyli rozwiązać je, a więc korzystając z wyników konkretnych działań w działkach odtworzyć kwadrat łaciński. Może się okazać, że coś nie gra – za łatwa lub zbyt mozolna jest droga do celu albo rozwiązań jest więcej niż jedno. Wtedy trzeba dokonać poprawki, na przykład zmieniając rodzaj działania w jakiejś działce.

 

Zwykle prezentacjom KenKen, podobnie jak innych łamigłówek logicznych, towarzyszy szkółka rozwiązywania. Uważam to za mało sensowne, bo odbierające przyjemność samodzielnego odkrywania sposobów pokonywania przeszkód – zwłaszcza że przeszkody nie są zbyt wysokie. Zamiast typowej szkółki będzie więc o niektórych aspektach matematycznych, ale przedtem proponuję, dla oswojenia się z tematem, skok na głębszą wodę, czyli rozwiązanie niezbyt łatwego, jak dla początkujących, zadania (rys. 2). Kto chce to zrobić samodzielnie, powinien teraz przerwać czytanie, bo dalej pojawią się podpowiedzi.

Walor edukacyjny KenKen wiąże się między innymi z tym, że rozwiązywanie może być ilustracją niektórych elementarnych pojęć matematycznych. Na przykład, rozkładu liczby na czynniki pierwsze, stosowanego w celu określenia cyfr pasujących do danej działki, jeśli wynik jest iloczynem. Na rys. 2 rozkład iloczynów 8 (2×2×2), 40 (2×2×2×5) i 120 (2×2×2×3×5) umożliwia jednoznaczne określenie tych cyfr – 8=1×2×4, 40=2×4×5, 120=4×5×6.


Rys. 2

W przypadku sumy jest ona rozkładana na składniki, co wiąże się z pojęciem partycji. Sumę 17 (działka w prawym górnym rogu diagramu złożona z 4 pól) można w ogólnym przypadku przedstawić w postaci 297 różnych partycji, ale w zadaniu ta liczba jest znacznie mniejsza ze względu na trzy warunki: składniki są cztery, wszystkie muszą być mniejsze od 6 i co najwyżej dwa z nich mogą być jednakowe. To ogranicza liczbę partycji do siedmiu: [6+6+4+1], [6+6+3+2], [6+5+5+1], [6+5+4+2], [6+5+3+3], [6+4+4+3], [5+5+4+3].

Innym pojęciem związanym z KenKen jest liczba trójkątna, definiowana między innymi jako suma kolejnych, początkowych liczb naturalnych. A zatem liczbą trójkątną jest suma cyfr w wierszu i w kolumnie każdego diagramu, a ogólniej – każdego kwadratu łacińskiego. Najciekawsze jest jednak to, że fakt ten można wykorzystać do sprytnego sposobu rozwiązywania.

Dwie ostatnie kolumny diagramu na rys. 2 wypełniają cztery działki i jedno pole należące do działki z sumą 16. Suma cyfr w trzech działkach (oprócz dolnej z ilorazem 3) wynosi 36=17+8+11 (11 to podana wyżej jedyna możliwa suma dla działki z iloczynem 40). W dolnej działce mogą być cyfry 2 i 6 lub 1 i 3, ale pierwszą parę trzeba odrzucić, bo wówczas suma liczb w dwóch kolumnach byłaby równa 44, a nie może być większa od dwukrotności liczby trójkątnej dla diagramu 6×6 równej 21. Pozostaje więc 1 i 3, zaś do znajdującej się w przedostatniej kolumnie kratki działki z sumą 16 należy wpisać dwójkę [42–(36+1+3)].

Rys. 3a

Rys. 3b

KenKen można potraktować jako szczególny, „dwuwymiarowy” układ d równań (d – liczba działek) z n niewiadomymi. Dla zadania z rys. 3a (diagram taki sam, jak na rys. 1d, ale uzupełniony strzałkami, przyporządkowującymi kolory wierszom i kolumnom) układ ten sprowadzony do zwykłej postaci wyglądałby tak, jak na rys. 3b (w przypadku odejmowań i mnożeń kwadraty mogą być zamienione miejscami). Układ jest szczególny, bo niewiadome są… wiadome. Chodzi tylko o ulokowanie ich we właściwych polach. Kluczem jest w tym przypadku informacja, że w kratkach z takim samym kolorem (jednym z dwóch) nie mogą znaleźć się jednakowe cyfry.

Oczywiście, zastąpienie diagramu układem równań „psuje” łamigłówkę – czyni ją mniej przejrzystą i ogranicza to, co przyjemne, choć zapewne pozostawia walor edukacyjny. Pozwala jednak zauważyć słabość wszystkich KenKenów: równań jest znacznie więcej niż niewiadomych, co oznacza sporą porcję zbędnych informacji. Nie jest to istotne, jeśli łamigłówka stanowi model edukacyjny albo ćwiczenie rachunkowe lub odmładzające umysł; bywa wówczas nawet zaletą, bo umożliwia stosowanie różnych sposobów rozwiązywania. Jednak z autorskiego punktu widzenia wszystkie informacje, będące kluczem do rozwiązania, powinny stanowić zbiór krytyczny, czyli taki, którego nie można zmniejszyć, bo wówczas zadania nie dałoby się jednoznacznie rozwiązać.

Łatwo zauważyć, że w zadaniu na rys. 1d zbędne są niektóre znaki działań. Na przykład plusy obok jedenastek można usunąć, bo tylko suma może być równa 11. Dalszego usuwania informacji – takiego, aby pozostał zbiór krytyczny – dotyczy pierwsze zadanie konkursowe.

Dzięki rubryczce w NYT i kilku innych czasopismach amerykańskich KenKen jest dość popularny w Stanach Zjednoczonych, ma też mocną pozycję w Japonii i w Indiach. W innych krajach się nie przyjął. Po trosze dlatego, że rachunki, nawet najprostsze, nie dla każdego są rozrywką. Głównie jednak ze względu na to, że nazwa, w przeciwieństwie na przykład do sudoku, jest zastrzeżona, a pod innymi nazwami łamigłówka nie ma siły przebicia. Na świecie jest zaledwie kilka osób, dla których podstawowym źródłem utrzymania jest wymyślona przez nich konkretna łamigłówka. Należy do nich Tetsuya Miyamoto i chyba powodzi mu się nie najgorzej, skoro ostatnio przeprowadził się z Jokohamy na Manhattan, gdzie znalazł sobie dodatkowe zajęcie – uczy dzieci matematyki, oczywiście z wykorzystaniem KenKen.

ZADANIA

1. W KenKen na rys. 1d jest 18 informacji – 9 liczb i 9 znaków działań – czyli o wiele za dużo, niż potrzeba, aby jednoznacznie rozwiązać zadanie. Należy usunąć 12 z nich – tak, aby rozwiązanie nadal było tylko jedno. Jak z tego wynika, usunąć trzeba także co najmniej trzy liczby, a ogólniej – do usunięcia jest przynajmniej x znaków działań i 12–x liczb. Dozwolone jest usunięcie liczby, a pozostawienie znaku – wówczas klucz do rozwiązania stanowi warunek, że wynik powinien być liczbą całkowitą dodatnią.

2. Z reguły informacji w KenKen jest za dużo, ale może się zdarzyć, że mimo wpisania do wszystkich działek wyników i znaków działań liczba informacji będzie niedostateczna i rozwiązań pojawi się więcej niż jedno. Tak właśnie jest w przypadku zadania z rys. 2. Ile rozwiązań ma to zadanie?

3. Do rozwiązania jest wariant KenKen na diagramie 5×5 złożonym z 6 działek (rys. 4). W największej działce, 8-polowej, nie jest podany wynik ani rodzaj działania, a w pozostałych wyniki są zaszyfrowane: cztery różne litery – od A do D – zastępują cztery różne cyfry.

Rys. 4

4. Znaki działań nie są podane, ale jest jeszcze jedna istotniejsza cecha, różniąca ten wariant KenKen (rys. 5) od klasycznego zadania: w pola diagramu trzeba wpisać 6 liczb pierwszych (oczywiście każdą sześciokrotnie), a więc nie kolejnych. Z kwadratu łacińskiego pozostaje tylko warunek, że w każdym wierszu i w każdej kolumnie liczby powinny być różne. Warto pamiętać, że w działkach złożonych z więcej niż dwu pól wynik może być tylko sumą lub iloczynem oraz że jedynka nie jest liczbą pierwszą.

Rys. 5

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 sierpnia br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG08/15, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwu zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Polio. Historia pokonania choroby Heinego-Medina Davida M. Oshinsky'ego ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.


 

Więcej w miesięczniku „Świat Nauki" nr 08/2015 »
Drukuj »
Komentarze
Dodany przez: Andrzej | 2015-08-08
Po uporaniu się z pierwszym zadaniem konkursowym można pójść krok dalej i poszukać odpowiedzi na pytanie: Jaki jest, dla podanego diagramu (rys. 1d), zbiór krytyczny?
Aktualne numery
11/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
22
W 1904 r. urodził się Louis Néel, francuski fizyk, laureat Nagrody Nobla.
Warto przeczytać
Czy znasz powiedzenie że matematykowi do pracy wystarczy kartka, ołówek i kosz na śmieci? To nieprawda! Pasjonującą, efektowną i praktyczną matematykę poznaje się dopiero w laboratorium.

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Marek Penszko | dodano: 2015-07-24
Logika rachunków

Lekcje matematyki dla starszych i mało zaawansowanych.

W lutym 2009 roku szacowny New York Times definitywnie rozstał się z sudoku i zaczął lansować nową łamigłówkę. Przyczyny tej zmiany były przynajmniej dwie: po pierwsze – wydawcy doszli do wniosku, że sudoku się przejadło, po drugie – nowa zabawa miała dwa istotne walory: edukacyjny i… zdrowotny. Pierwszy dotyczył głównie uczniów szkół podstawowych, drugi – osób starszych, ale oba wiązały się z tym samym: przy rozwiązywaniu należało liczyć – dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić. Nie ulega wątpliwości, że sprawność rachunkowa przydaje się nie tylko na lekcjach matematyki, ale co ma wspólnego rachowanie z osobami starszymi i medycyną?

Otóż zdaniem japońskiego neurofizjologa Ryuty Kawashimy nic tak dobrze nie wpływa na poprawę sprawności leciwego umysłu, jak wykonywanie prostych działań arytmetycznych. Takie ćwiczenia, do złudzenia przypominające najprostsze zadania z podręcznika arytmetyki, dominowały w dwóch książkach japońskiego uczonego, wydanych na początku bieżącego wieku – Train Your Brain i Train Your Brain More. Mimo kontrowersji obie cieszyły się sporą popularnością głównie w Japonii i Stanach Zjednoczonych, podobnie jak późniejsze komputerowe wersje zawartych w nich ćwiczeń. Miało to istotny wpływ na pojawienie się na łamach NYT nowej logiczno-rachunkowej rubryczki z łamigłówką zwaną KenKen.

Wymyślił ją w 2003 roku nauczyciel matematyki z Jokohamy Tetsuya Miyamoto, który najpierw sprawdził na uczniach skuteczność edukacyjną swoich dziełek, a po skonstatowaniu, że są one idealnym połączeniem przyjemnego z pożytecznym, zajął się przygotowywaniem zbiorów zadań. Pierwsze publikacje z nowymi łamigłówkami pojawiły się w Japonii w 2006 roku, a potem na międzynarodowych targach książki, gdzie zwróciły uwagę wydawców największych światowych dzienników, które wówczas – co bardzo istotne – były silnie zainfekowane sudoku. W efekcie zadania KenKen trafiły na łamy londyńskiego Timesa i paru innych znanych europejskich pism, gdzie przetrwały kilka miesięcy. Potem przygarnął je NYT, gdzie do dziś towarzyszą krzyżówce.

W Japonii łamigłówka ma dłuższą, opisową nazwę – Kashikoku naru pazuru, co można przetłumaczyć jako „łamigłówka kształcąca” lub „czyniąca mądrym”. W japońskim zapisie nazwa ta zaczyna się znakiem kanji czytanym jako „Ken”, występującym w wielu słowach związanych z mądrością. Angielska nazwa jest więc niejako podwojeniem „mądrości”.

W gruncie rzeczy KenKen pada niedaleko od sudoku. To ta sama rodzina, bo szkieletem obu łamigłówek jest kwadrat łaciński, czyli diagram o wymiarach n×n podzielony na n2 kratek, w które wpisane są cyfry od 1 do n w taki sposób, że w każdym wierszu i w każdej kolumnie występuje n różnych cyfr. W klasycznym sudoku n zawsze równe jest 9; w KenKen teoretycznie może być dowolne, ale w praktyce nie bywa mniejsze niż 4 i większe niż 9. Z reguły rozmiar wiąże się ze stopniem trudności. Łamigłówkę łatwo ułożyć, co może być równie przyjemne, jak jej rozwiązywanie. To także oryginalny sposób na poznanie zasad zabawy. A zatem układajmy.

 

Etap 1

Niechaj n=5, czyli rysujemy kwadrat 5×5 i we wszystkie kratki wpisujemy cyfry od 1 do 5 tak, aby w żadnym wierszu i w żadnej kolumnie żadna cyfra się nie powtarzała. Nie jest to trudne, a efektem będzie kwadrat łaciński stanowiący rozwiązanie układanego zadania, np. taki jak na rys. 1a.

 

Etap 2

Rozparcelowujemy diagram, czyli dzielimy go na działki złożone z kilku kratek. Kształty działek powinny być w miarę możliwości zróżnicowane, a wielkości niezbyt duże, zwłaszcza gdy diagram jest mały, czyli raczej nie większe niż 4-kratkowe. Mogą także pozostać działki 1-kratkowe, ale jeżeli jesteśmy ambitni, to lepiej nie. Przykładowy efekt parcelacji przedstawia rys. 1b.

 
Rys. 1

Etap 3

W lewym górnym rogu każdej działki wpisujemy wynik jednego konkretnego działania (dodawania, odejmowania, mnożenia lub dzielenia) na wszystkich znajdujących się w tej działce cyfrach. Jakiego konkretnie? Można by powiedzieć, że jakiego chcemy, ale są pewne ograniczenia. Po pierwsze – wynik powinien być zawsze liczbą całkowitą dodatnią; po drugie – jeśli działka ma więcej niż dwie kratki, to oczywiście odejmowanie i dzielenie nie wchodzi w grę. Obok każdego wyniku stawiamy znak działania, którego efektem jest ten wynik. Diagram będzie wyglądał tak, jak na rys. 1c.

Etap 4

Na koniec liczby kwadratu łacińskiego usuwamy, otrzymując gotową łamigłówkę (rys. 1d). Pozostaje jeszcze tylko sprawdzić, jak smakuje nasze dziełko, czyli rozwiązać je, a więc korzystając z wyników konkretnych działań w działkach odtworzyć kwadrat łaciński. Może się okazać, że coś nie gra – za łatwa lub zbyt mozolna jest droga do celu albo rozwiązań jest więcej niż jedno. Wtedy trzeba dokonać poprawki, na przykład zmieniając rodzaj działania w jakiejś działce.

 

Zwykle prezentacjom KenKen, podobnie jak innych łamigłówek logicznych, towarzyszy szkółka rozwiązywania. Uważam to za mało sensowne, bo odbierające przyjemność samodzielnego odkrywania sposobów pokonywania przeszkód – zwłaszcza że przeszkody nie są zbyt wysokie. Zamiast typowej szkółki będzie więc o niektórych aspektach matematycznych, ale przedtem proponuję, dla oswojenia się z tematem, skok na głębszą wodę, czyli rozwiązanie niezbyt łatwego, jak dla początkujących, zadania (rys. 2). Kto chce to zrobić samodzielnie, powinien teraz przerwać czytanie, bo dalej pojawią się podpowiedzi.

Walor edukacyjny KenKen wiąże się między innymi z tym, że rozwiązywanie może być ilustracją niektórych elementarnych pojęć matematycznych. Na przykład, rozkładu liczby na czynniki pierwsze, stosowanego w celu określenia cyfr pasujących do danej działki, jeśli wynik jest iloczynem. Na rys. 2 rozkład iloczynów 8 (2×2×2), 40 (2×2×2×5) i 120 (2×2×2×3×5) umożliwia jednoznaczne określenie tych cyfr – 8=1×2×4, 40=2×4×5, 120=4×5×6.


Rys. 2

W przypadku sumy jest ona rozkładana na składniki, co wiąże się z pojęciem partycji. Sumę 17 (działka w prawym górnym rogu diagramu złożona z 4 pól) można w ogólnym przypadku przedstawić w postaci 297 różnych partycji, ale w zadaniu ta liczba jest znacznie mniejsza ze względu na trzy warunki: składniki są cztery, wszystkie muszą być mniejsze od 6 i co najwyżej dwa z nich mogą być jednakowe. To ogranicza liczbę partycji do siedmiu: [6+6+4+1], [6+6+3+2], [6+5+5+1], [6+5+4+2], [6+5+3+3], [6+4+4+3], [5+5+4+3].

Innym pojęciem związanym z KenKen jest liczba trójkątna, definiowana między innymi jako suma kolejnych, początkowych liczb naturalnych. A zatem liczbą trójkątną jest suma cyfr w wierszu i w kolumnie każdego diagramu, a ogólniej – każdego kwadratu łacińskiego. Najciekawsze jest jednak to, że fakt ten można wykorzystać do sprytnego sposobu rozwiązywania.

Dwie ostatnie kolumny diagramu na rys. 2 wypełniają cztery działki i jedno pole należące do działki z sumą 16. Suma cyfr w trzech działkach (oprócz dolnej z ilorazem 3) wynosi 36=17+8+11 (11 to podana wyżej jedyna możliwa suma dla działki z iloczynem 40). W dolnej działce mogą być cyfry 2 i 6 lub 1 i 3, ale pierwszą parę trzeba odrzucić, bo wówczas suma liczb w dwóch kolumnach byłaby równa 44, a nie może być większa od dwukrotności liczby trójkątnej dla diagramu 6×6 równej 21. Pozostaje więc 1 i 3, zaś do znajdującej się w przedostatniej kolumnie kratki działki z sumą 16 należy wpisać dwójkę [42–(36+1+3)].

Rys. 3a

Rys. 3b

KenKen można potraktować jako szczególny, „dwuwymiarowy” układ d równań (d – liczba działek) z n niewiadomymi. Dla zadania z rys. 3a (diagram taki sam, jak na rys. 1d, ale uzupełniony strzałkami, przyporządkowującymi kolory wierszom i kolumnom) układ ten sprowadzony do zwykłej postaci wyglądałby tak, jak na rys. 3b (w przypadku odejmowań i mnożeń kwadraty mogą być zamienione miejscami). Układ jest szczególny, bo niewiadome są… wiadome. Chodzi tylko o ulokowanie ich we właściwych polach. Kluczem jest w tym przypadku informacja, że w kratkach z takim samym kolorem (jednym z dwóch) nie mogą znaleźć się jednakowe cyfry.

Oczywiście, zastąpienie diagramu układem równań „psuje” łamigłówkę – czyni ją mniej przejrzystą i ogranicza to, co przyjemne, choć zapewne pozostawia walor edukacyjny. Pozwala jednak zauważyć słabość wszystkich KenKenów: równań jest znacznie więcej niż niewiadomych, co oznacza sporą porcję zbędnych informacji. Nie jest to istotne, jeśli łamigłówka stanowi model edukacyjny albo ćwiczenie rachunkowe lub odmładzające umysł; bywa wówczas nawet zaletą, bo umożliwia stosowanie różnych sposobów rozwiązywania. Jednak z autorskiego punktu widzenia wszystkie informacje, będące kluczem do rozwiązania, powinny stanowić zbiór krytyczny, czyli taki, którego nie można zmniejszyć, bo wówczas zadania nie dałoby się jednoznacznie rozwiązać.

Łatwo zauważyć, że w zadaniu na rys. 1d zbędne są niektóre znaki działań. Na przykład plusy obok jedenastek można usunąć, bo tylko suma może być równa 11. Dalszego usuwania informacji – takiego, aby pozostał zbiór krytyczny – dotyczy pierwsze zadanie konkursowe.

Dzięki rubryczce w NYT i kilku innych czasopismach amerykańskich KenKen jest dość popularny w Stanach Zjednoczonych, ma też mocną pozycję w Japonii i w Indiach. W innych krajach się nie przyjął. Po trosze dlatego, że rachunki, nawet najprostsze, nie dla każdego są rozrywką. Głównie jednak ze względu na to, że nazwa, w przeciwieństwie na przykład do sudoku, jest zastrzeżona, a pod innymi nazwami łamigłówka nie ma siły przebicia. Na świecie jest zaledwie kilka osób, dla których podstawowym źródłem utrzymania jest wymyślona przez nich konkretna łamigłówka. Należy do nich Tetsuya Miyamoto i chyba powodzi mu się nie najgorzej, skoro ostatnio przeprowadził się z Jokohamy na Manhattan, gdzie znalazł sobie dodatkowe zajęcie – uczy dzieci matematyki, oczywiście z wykorzystaniem KenKen.

ZADANIA

1. W KenKen na rys. 1d jest 18 informacji – 9 liczb i 9 znaków działań – czyli o wiele za dużo, niż potrzeba, aby jednoznacznie rozwiązać zadanie. Należy usunąć 12 z nich – tak, aby rozwiązanie nadal było tylko jedno. Jak z tego wynika, usunąć trzeba także co najmniej trzy liczby, a ogólniej – do usunięcia jest przynajmniej x znaków działań i 12–x liczb. Dozwolone jest usunięcie liczby, a pozostawienie znaku – wówczas klucz do rozwiązania stanowi warunek, że wynik powinien być liczbą całkowitą dodatnią.

2. Z reguły informacji w KenKen jest za dużo, ale może się zdarzyć, że mimo wpisania do wszystkich działek wyników i znaków działań liczba informacji będzie niedostateczna i rozwiązań pojawi się więcej niż jedno. Tak właśnie jest w przypadku zadania z rys. 2. Ile rozwiązań ma to zadanie?

3. Do rozwiązania jest wariant KenKen na diagramie 5×5 złożonym z 6 działek (rys. 4). W największej działce, 8-polowej, nie jest podany wynik ani rodzaj działania, a w pozostałych wyniki są zaszyfrowane: cztery różne litery – od A do D – zastępują cztery różne cyfry.

Rys. 4

4. Znaki działań nie są podane, ale jest jeszcze jedna istotniejsza cecha, różniąca ten wariant KenKen (rys. 5) od klasycznego zadania: w pola diagramu trzeba wpisać 6 liczb pierwszych (oczywiście każdą sześciokrotnie), a więc nie kolejnych. Z kwadratu łacińskiego pozostaje tylko warunek, że w każdym wierszu i w każdej kolumnie liczby powinny być różne. Warto pamiętać, że w działkach złożonych z więcej niż dwu pól wynik może być tylko sumą lub iloczynem oraz że jedynka nie jest liczbą pierwszą.

Rys. 5

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 sierpnia br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG08/15, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwu zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Polio. Historia pokonania choroby Heinego-Medina Davida M. Oshinsky'ego ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.