nauki ścisłe
Autor: Marek Penszko | dodano: 2015-06-23
Rok pod kreską

Ułamkom dziesiętnym stuknęło 430 lat.

Tę okrągłą rocznicę można by wprawdzie kwestionować, bo dostojny jubilat z przecinkiem wychynął był już w matematyce wedyjskiej, czyli przynajmniej kilkaset lat przed naszą erą, a i później także tu i ówdzie go doświadczano – jednak niemal do końca XVI wieku działo się to sporadycznie i jakby cichaczem. Przełom, po którym na dobre zadomowił się w matematyce, nastąpił dopiero po opublikowaniu w 1585 roku książki zatytułowanej De Thiende (w dosłownym tłumaczeniu – „Dziesięcina”). Jej autor, flamandzki matematyk Simon Stevin, przekonująco uzasadniał potrzebę korzystania z ułamków dziesiętnych. Głównym argumentem było to, że porównywanie ułamków zwykłych jest kłopotliwe. Na przykład, aby wykazać, że 28/65 to więcej niż 13/31, należy sprowadzić liczby do wspólnego mianownika (2015); natomiast w przypadku odpowiadających im ułamków dziesiętnych od razu widać, że 0,43…>0,42…. Na jednym z głównych placów Brugii, rodzinnego miasta Stevina, Belgowie wznieśli uczonemu pomnik (na zdjęciu), upamiętniający między innymi wypromowanie przezeń ułamków dziesiętnych (Stevin własnym sumptem jeszcze w 1585 roku wydał francuski przekład De Thiende, a nieco później angielski).

Już w XVII wieku matematycy zauważyli, że ułamki dziesiętne są dość zagadkowe. Powstają, jak wiadomo, w procesie „przeróbki” ułamków zwykłych, polegającej na podzieleniu licznika przez mianownik.

Umówmy się, że w tym artykule surowiec zawsze jest „czysty”, czyli właściwy (licznik mniejszy od mianownika) i nieskracalny (licznik i mianownik są względnie pierwsze, a zatem nie mają wspólnych podzielników). Produkt będzie więc zawsze zaczynał się od zera, poprzedzającego przecinek. Interesuje nas wyłącznie to, co dzieje się po przecinku, czyli ułamek w ścisłym znaczeniu tego słowa, jako część całości.

Ułamki dziesiętne można poklasyfikować. Podstawą podziału jest zapis surowca, czyli ułamka zwykłego a/b w postaci a/2m5nk. Mówiąc ściślej, wykładniki potęg (m i n) są nieujemne, a liczba k>0 oraz niepodzielna przez 2 i 5. Dla każdej z tych trzech zmiennych mamy dwie możliwości: k=1 lub k>1, m=0 lub m>0, n=0 lub n>0. W sumie daje to osiem kombinacji trzech różnych zmiennych, ale sensowne i skuteczne są trzy:
 

I           k=1 i przynajmniej jeden wykładnik większy od zera.

            Przykłady: 45/64=0,703125; 7/25=0,28; 3/40=0,075.

II         k>1, m=0, n=0.

            Przykłady: 4/9=0,44444…; 8/11=0,727272…; 3/7=0,428571428571428…

III        k>1 i przynajmniej jeden wykładnik większy od zera.

            Przykłady: 5/6=0,833333…; 8/75=0,1066666…; 21/88=0,238636363…
 

W wariancie I powstają ułamki skończone, w wariantach II i III nieskończone, które są zawsze okresowe, a więc od jakiegoś miejsca po przecinku pojawia się w nich cykl, czyli powtarzająca się w nieskończoność cyfra lub grupa cyfr. W ułamkach w wariancie II cykl zaczyna się od razu po przecinku, w wariancie III poprzedzony jest tzw. przedokresem złożonym z tylu cyfr, ile wynosi wartość większego z wykładników potęg.

Niekończąca się okresowość jest znacznie ciekawsza i bardziej zagadkowa od skończoności. Wiążą się z nią pytania, na które matematycy szukali lub nadal szukają odpowiedzi. Podstawowe można sprowadzić do następującego konkretnego przykładu: korzystając tylko z kartki i ołówka należy ustalić długość cyklu (okresu) dziesiętnej odwrotności 2015; czy w tym celu trzeba wykonać zapewne długie i żmudne dzielenie 1/2015, czy też można skorzystać z jakiegoś krótkiego, sprytnego sposobu, np. wzoru lub algorytmu?



Rys.1

Dlaczego w ogóle cykl być musi? Na rys. 1 przedstawiony jest zapis w słupku dzielenia 1:7, prowadzący do najsłynniejszego „rozrywkowego” ułamka okresowego. Czerwone liczby – reszty z dzieleń cząstkowych – są zawsze mniejsze od 7, czyli równe tylko 1, 2, 3, 4, 5 lub 6. Najdalej więc po szóstym dzieleniu cząstkowym któraś z nich się powtórzy i po dopisaniu zera utworzy dzielną, która była już w słupku wcześniej. To oznacza powtórkę fragmentu słupka, a więc także grupy cyfr w ułamku dziesiętnym, która odtąd „wpadnie w cykl”. W dzieleniu 1:7 występuje powtarzający się czerwony sekstet w kolejności: 1–3–2–6–4–5. W ułamku dziesiętnym odpowiada mu grupa 142857. A zatem okres ułamka dziesiętnego, otrzymanego z ułamka zwykłego a/b składa się z co najwyżej b-1 cyfr. Ten wniosek można uściślić: okres zawiera najwyżej tyle cyfr, ile jest liczb względnie pierwszych z b mniejszych od b (wynika to z faktu, że względnie pierwsze są licznik i mianownik – niepodzielny przez 2 i 5 – a więc także każda reszta z dzielenia cząstkowego i mianownik). Liczba tych cyfr, zwana funkcją Eulera, jest oznaczana grecką literą ϕ. Dla b będącego liczbą pierwszą ϕ(b) równa się oczywiście b-1, czyli ϕ(7)=6, ale na przykład ϕ (21)=12, czyli okres ułamka z mianownikiem równym 21 nie może być dłuższy niż 12-cyfrowy, bo tyle jest liczb względnie pierwszych z 21 mniejszych od 21.

Okres ułamka z rys. 1 (142857) jest znany w matematyce rekreacyjnej ze względu na następującą osobliwą własność:

2×142857=285714

3×142857=428571

4×142857=571428

5×142857=714285

6×142857=857142

Każda kolejna (mniejsza od 7) wielokrotność 142857 powstaje po cyklicznym przestawieniu cyfr w tej liczbie. Z czerwonych i fioletowych cyfr w zapisie dzielenia na rys. 1 łatwo wywnioskować, dlaczego tak się dzieje. Podobne, ale bardziej złożone zależności są charakterystyczne dla okresów paru innych ułamków, otrzymywanych z dzielenia przez liczbę pierwszą.

Z podanej wyżej własności okresu (142857) można wysnuć wniosek, że długość okresu nie zależy od wartości licznika ułamka-surowca a/b. Nietrudno to udowodnić. Jeśli w ułamku nie ma przedokresu, a długość okresu oznaczymy przez δ, to po wykonaniu δ dzieleń cząstkowych jako reszta pojawi się a. Jednak każda dzielna cząstkowa powstaje przez dopisanie zera do reszty, więc dzielenie, w którego wyniku wystąpi ponownie pierwsza cyfra cyklu ma w istocie postać: 10δa/b. A zatem różnica 10δa-a=a(10δ-1) jest podzielna przez b. Ponieważ a i b są względnie pierwsze, zatem – pamiętając, że pierwszy okres kończy się przy pierwszym pojawieniu się a jako reszty z dzielenia cząstkowego – można stwierdzić, że:

długość okresu ułamka dziesiętnego, odpowiadającego ułamkowi zwykłemu a/b, jest najmniejszą liczbą δ(b), dla której różnica 10δ-1 jest podzielna przez b.

Teraz już mamy prawie pewność, że niezależnie od tego, czy przez 2015 dzielimy 1, 2, 28, 44, 777 czy jakąkolwiek inną liczbę względnie pierwszą z 2015 – długość okresu otrzymanego ułamka będzie zawsze taka sama. Prawie pewność, bo skoro 2015=403×5, to w ułamku występuje przedokres, który – być może – wpływa na długość okresu. Że przedokres nic nie zmienia, łatwo wykazać na prostym przykładzie, przekształcając ułamek:

6/(7×5)=6/35=60/35/10=(1+5/7)/10

Rezultat jest sumą 0,1 i ułamka, który nie zawiera przedokresu, a jedynym następstwem dzielenia przez 10 jest przesunięcie przecinka o jedno miejsce, w którym pojawia się właśnie przedokresowa jedynka.

Jak wynika ze stwierdzenia wyróżnionego obok, aby ustalić długość okresu (b) ułamka dziesiętnego, odpowiadającego ułamkowi zwykłemu a/b, wystarczy znaleźć najmniejszą wielokrotność b złożoną z samych dziewiątek – ile będzie dziewiątek, taka jest wartość δ(b). Należy przy tym pamiętać, że ponieważ przedokres nie wpływa na długość okresu, więc uwzględniamy tylko wartości b niepodzielne przez 2 ani 5. Sposób można jeszcze nieco uprościć, pomijając także b podzielne przez 3 (długość okresu jest taka, jak dla k/3). Wtedy dziewiątkowa wielokrotność b zmieni się w jedynkową – 11111… I będzie jasne, dlaczego w 1773 roku niemiecki matematyk Jϕohann III Bernoulli opublikował w artykule dotyczącym ułamków dziesiętnych tabelę, której część przedstawiona jest na rys. 2.

Korzystając z niej, można ustalić długość okresu dziesiętnych odwrotności niektórych liczb, na przykład 23940. Zaczniemy od „oczyszczenia” tej liczby z wielokrotności 2, 3 i 5, dzieląc ją przez 4, 9 i 5. Pozostanie 133, którą rozkładamy na czynniki pierwsze – 7 i 19. Teraz w tabeli szukamy z prawej strony znaku równości iloczynu, zawierającego oba te czynniki. Znajdziemy je w równości, której odpowiada 18 jedynek, a zatem wynikiem dzielenia 1/23940 będzie ułamek z 18-cyfrowym okresem (004177109440267335), następującym po dwóch zerach przedokresu. Niestety, tabeli nie staje, aby uporać się z okresem 1/2015.



Rys.2 

Nie jest znany krótszy sposób obliczania długości okresu niż z wykorzystaniem powyższej tabeli, która od połowy XX wieku, wraz ze zwiększaniem mocy obliczeniowej komputerów, była systematycznie wydłużana. Nie bez znaczenia jest również to, że rozkład liczb jedynkowych (zwanych też repunitami) na czynniki pierwsze wiąże się z tzw. teorią kodów. Dziś tabela sięga repunitów złożonych z blisko pół miliona cyfr, a głównym bodźcem do jej powiększania jest szukanie jedynkowych liczb pierwszych. Dotąd znaleziono ich dziewięć: 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86543, 109297, 270343 – to liczby tworzących je jedynek.

Na koniec, nawiązując do bieżącego i przyszłego roku, warto przypomnieć pewną osobliwość związaną z ułamkami okresowymi:

2015,999999…=2016

Dlaczego to jest równość, a nie przybliżenie – nietrudno dowieść.

 

ZADANIA

1.         (dla wytrwałych, programistów lub… szperaczy). Z ilu cyfr składa się okres ułamka dziesiętnego, będącego odwrotnością liczby 2015 i jaka cyfra występuje w nim tylko raz?

 

2.         Para liczb naturalnych takich, że suma dzielników każdej z nich równa jest drugiej liczbie, zwana jest liczbami zaprzyjaźnionymi. Takie pary znane są od dawna, najmniejsza (220 i 284) – od starożytności.

            Nazwiemy zaprzyjaźnionymi ułamkami okresowymi pary 0,(x) i 0,(y), dla których zachodzi następująca „krzyżowa” zależność:

            1/x=0,(y) 1/y=0,(x)

            Jeżeli w okresie (x) lub (y) na początku są zera, pomijamy je.

            Dla x=y=3 mamy jedyną zaprzyjaźnioną parę „bliźniaczą”, bo 1/3=0,(3)

            Proszę znaleźć dwie pary zaprzyjaźnionych ułamków okresowych, czyli praktycznie pary liczb x, y>1 – takich, w których przynajmniej jedna liczba jest dwucyfrowa.

 

3.         5×142857=714285 – tę osobliwą własność można opisać tak: po przeniesieniu ostatniej cyfry na początek liczba zwiększyła się k-krotnie. Jaka jest największa liczba 6-cyfrowa o takiej własności dla dowolnego całkowitego k? Najmniejsza to 102564 (pomijamy „liczbę” 000001 i inne zaczynające się od zera).

 

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 lipca br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG07/15, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwu zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Wszechświat w lustrzanym odbiciu Dave'a Goldberga ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

 

 

Więcej w miesięczniku „Świat Nauki" nr 07/2015 »
Drukuj »
Komentarze
Dodany przez: Andrzej | 2015-09-05
Trochę informacji na temat ułamków dziesiętnych w Chinach (na długo przed ukazaniem się pracy Simona Stevina) można znaleźć w książce: Robert Temple, "Geniusz Chin. 3000 lat nauki, odkryć i wynalazków".
Dodany przez: Andrzej | 2015-06-28
Porównywanie ułamków zwykłych może być kłopotliwe, więc, zrozumiałe jest, że Simon Stevin zachęcał do stosowania ułamków dziesiętnych.

A oto jak do problemu porównywania ułamków zwykłych podszedł pewien rosyjski matematyk.
W przedmowie do książki "Miłość i matematyka. Istota ukrytej rzeczywistości" Edwarda Frenkela, autor przytacza słowa jednego ze swoich nauczycieli - Israela Gelfanda: 
" ... . Gdyby spytać pijaka, która liczba jest większa, 2/3 czy 3/5, to zapewne nie potrafiłby odpowiedzieć. Ale jeśli inaczej sformułujemy pytanie i zapytamy: co jest lepsze, 2 butelki wódki na 3 osoby, czy 3 butelki na 5 osób, to z miejsca poda rozwiązanie - jasne, że 2 butelki na 3 osoby".
Aktualne numery
11/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
22
W 1904 r. urodził się Louis Néel, francuski fizyk, laureat Nagrody Nobla.
Warto przeczytać
Zmyl trop to użyteczna, ale i pełna powabu oraz przekonująca, kieszonkowa esencja wszystkiego, co chcielibyście wiedzieć o obronie przed inwigilacją.

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Marek Penszko | dodano: 2015-06-23
Rok pod kreską

Ułamkom dziesiętnym stuknęło 430 lat.

Tę okrągłą rocznicę można by wprawdzie kwestionować, bo dostojny jubilat z przecinkiem wychynął był już w matematyce wedyjskiej, czyli przynajmniej kilkaset lat przed naszą erą, a i później także tu i ówdzie go doświadczano – jednak niemal do końca XVI wieku działo się to sporadycznie i jakby cichaczem. Przełom, po którym na dobre zadomowił się w matematyce, nastąpił dopiero po opublikowaniu w 1585 roku książki zatytułowanej De Thiende (w dosłownym tłumaczeniu – „Dziesięcina”). Jej autor, flamandzki matematyk Simon Stevin, przekonująco uzasadniał potrzebę korzystania z ułamków dziesiętnych. Głównym argumentem było to, że porównywanie ułamków zwykłych jest kłopotliwe. Na przykład, aby wykazać, że 28/65 to więcej niż 13/31, należy sprowadzić liczby do wspólnego mianownika (2015); natomiast w przypadku odpowiadających im ułamków dziesiętnych od razu widać, że 0,43…>0,42…. Na jednym z głównych placów Brugii, rodzinnego miasta Stevina, Belgowie wznieśli uczonemu pomnik (na zdjęciu), upamiętniający między innymi wypromowanie przezeń ułamków dziesiętnych (Stevin własnym sumptem jeszcze w 1585 roku wydał francuski przekład De Thiende, a nieco później angielski).

Już w XVII wieku matematycy zauważyli, że ułamki dziesiętne są dość zagadkowe. Powstają, jak wiadomo, w procesie „przeróbki” ułamków zwykłych, polegającej na podzieleniu licznika przez mianownik.

Umówmy się, że w tym artykule surowiec zawsze jest „czysty”, czyli właściwy (licznik mniejszy od mianownika) i nieskracalny (licznik i mianownik są względnie pierwsze, a zatem nie mają wspólnych podzielników). Produkt będzie więc zawsze zaczynał się od zera, poprzedzającego przecinek. Interesuje nas wyłącznie to, co dzieje się po przecinku, czyli ułamek w ścisłym znaczeniu tego słowa, jako część całości.

Ułamki dziesiętne można poklasyfikować. Podstawą podziału jest zapis surowca, czyli ułamka zwykłego a/b w postaci a/2m5nk. Mówiąc ściślej, wykładniki potęg (m i n) są nieujemne, a liczba k>0 oraz niepodzielna przez 2 i 5. Dla każdej z tych trzech zmiennych mamy dwie możliwości: k=1 lub k>1, m=0 lub m>0, n=0 lub n>0. W sumie daje to osiem kombinacji trzech różnych zmiennych, ale sensowne i skuteczne są trzy:
 

I           k=1 i przynajmniej jeden wykładnik większy od zera.

            Przykłady: 45/64=0,703125; 7/25=0,28; 3/40=0,075.

II         k>1, m=0, n=0.

            Przykłady: 4/9=0,44444…; 8/11=0,727272…; 3/7=0,428571428571428…

III        k>1 i przynajmniej jeden wykładnik większy od zera.

            Przykłady: 5/6=0,833333…; 8/75=0,1066666…; 21/88=0,238636363…
 

W wariancie I powstają ułamki skończone, w wariantach II i III nieskończone, które są zawsze okresowe, a więc od jakiegoś miejsca po przecinku pojawia się w nich cykl, czyli powtarzająca się w nieskończoność cyfra lub grupa cyfr. W ułamkach w wariancie II cykl zaczyna się od razu po przecinku, w wariancie III poprzedzony jest tzw. przedokresem złożonym z tylu cyfr, ile wynosi wartość większego z wykładników potęg.

Niekończąca się okresowość jest znacznie ciekawsza i bardziej zagadkowa od skończoności. Wiążą się z nią pytania, na które matematycy szukali lub nadal szukają odpowiedzi. Podstawowe można sprowadzić do następującego konkretnego przykładu: korzystając tylko z kartki i ołówka należy ustalić długość cyklu (okresu) dziesiętnej odwrotności 2015; czy w tym celu trzeba wykonać zapewne długie i żmudne dzielenie 1/2015, czy też można skorzystać z jakiegoś krótkiego, sprytnego sposobu, np. wzoru lub algorytmu?



Rys.1

Dlaczego w ogóle cykl być musi? Na rys. 1 przedstawiony jest zapis w słupku dzielenia 1:7, prowadzący do najsłynniejszego „rozrywkowego” ułamka okresowego. Czerwone liczby – reszty z dzieleń cząstkowych – są zawsze mniejsze od 7, czyli równe tylko 1, 2, 3, 4, 5 lub 6. Najdalej więc po szóstym dzieleniu cząstkowym któraś z nich się powtórzy i po dopisaniu zera utworzy dzielną, która była już w słupku wcześniej. To oznacza powtórkę fragmentu słupka, a więc także grupy cyfr w ułamku dziesiętnym, która odtąd „wpadnie w cykl”. W dzieleniu 1:7 występuje powtarzający się czerwony sekstet w kolejności: 1–3–2–6–4–5. W ułamku dziesiętnym odpowiada mu grupa 142857. A zatem okres ułamka dziesiętnego, otrzymanego z ułamka zwykłego a/b składa się z co najwyżej b-1 cyfr. Ten wniosek można uściślić: okres zawiera najwyżej tyle cyfr, ile jest liczb względnie pierwszych z b mniejszych od b (wynika to z faktu, że względnie pierwsze są licznik i mianownik – niepodzielny przez 2 i 5 – a więc także każda reszta z dzielenia cząstkowego i mianownik). Liczba tych cyfr, zwana funkcją Eulera, jest oznaczana grecką literą ϕ. Dla b będącego liczbą pierwszą ϕ(b) równa się oczywiście b-1, czyli ϕ(7)=6, ale na przykład ϕ (21)=12, czyli okres ułamka z mianownikiem równym 21 nie może być dłuższy niż 12-cyfrowy, bo tyle jest liczb względnie pierwszych z 21 mniejszych od 21.

Okres ułamka z rys. 1 (142857) jest znany w matematyce rekreacyjnej ze względu na następującą osobliwą własność:

2×142857=285714

3×142857=428571

4×142857=571428

5×142857=714285

6×142857=857142

Każda kolejna (mniejsza od 7) wielokrotność 142857 powstaje po cyklicznym przestawieniu cyfr w tej liczbie. Z czerwonych i fioletowych cyfr w zapisie dzielenia na rys. 1 łatwo wywnioskować, dlaczego tak się dzieje. Podobne, ale bardziej złożone zależności są charakterystyczne dla okresów paru innych ułamków, otrzymywanych z dzielenia przez liczbę pierwszą.

Z podanej wyżej własności okresu (142857) można wysnuć wniosek, że długość okresu nie zależy od wartości licznika ułamka-surowca a/b. Nietrudno to udowodnić. Jeśli w ułamku nie ma przedokresu, a długość okresu oznaczymy przez δ, to po wykonaniu δ dzieleń cząstkowych jako reszta pojawi się a. Jednak każda dzielna cząstkowa powstaje przez dopisanie zera do reszty, więc dzielenie, w którego wyniku wystąpi ponownie pierwsza cyfra cyklu ma w istocie postać: 10δa/b. A zatem różnica 10δa-a=a(10δ-1) jest podzielna przez b. Ponieważ a i b są względnie pierwsze, zatem – pamiętając, że pierwszy okres kończy się przy pierwszym pojawieniu się a jako reszty z dzielenia cząstkowego – można stwierdzić, że:

długość okresu ułamka dziesiętnego, odpowiadającego ułamkowi zwykłemu a/b, jest najmniejszą liczbą δ(b), dla której różnica 10δ-1 jest podzielna przez b.

Teraz już mamy prawie pewność, że niezależnie od tego, czy przez 2015 dzielimy 1, 2, 28, 44, 777 czy jakąkolwiek inną liczbę względnie pierwszą z 2015 – długość okresu otrzymanego ułamka będzie zawsze taka sama. Prawie pewność, bo skoro 2015=403×5, to w ułamku występuje przedokres, który – być może – wpływa na długość okresu. Że przedokres nic nie zmienia, łatwo wykazać na prostym przykładzie, przekształcając ułamek:

6/(7×5)=6/35=60/35/10=(1+5/7)/10

Rezultat jest sumą 0,1 i ułamka, który nie zawiera przedokresu, a jedynym następstwem dzielenia przez 10 jest przesunięcie przecinka o jedno miejsce, w którym pojawia się właśnie przedokresowa jedynka.

Jak wynika ze stwierdzenia wyróżnionego obok, aby ustalić długość okresu (b) ułamka dziesiętnego, odpowiadającego ułamkowi zwykłemu a/b, wystarczy znaleźć najmniejszą wielokrotność b złożoną z samych dziewiątek – ile będzie dziewiątek, taka jest wartość δ(b). Należy przy tym pamiętać, że ponieważ przedokres nie wpływa na długość okresu, więc uwzględniamy tylko wartości b niepodzielne przez 2 ani 5. Sposób można jeszcze nieco uprościć, pomijając także b podzielne przez 3 (długość okresu jest taka, jak dla k/3). Wtedy dziewiątkowa wielokrotność b zmieni się w jedynkową – 11111… I będzie jasne, dlaczego w 1773 roku niemiecki matematyk Jϕohann III Bernoulli opublikował w artykule dotyczącym ułamków dziesiętnych tabelę, której część przedstawiona jest na rys. 2.

Korzystając z niej, można ustalić długość okresu dziesiętnych odwrotności niektórych liczb, na przykład 23940. Zaczniemy od „oczyszczenia” tej liczby z wielokrotności 2, 3 i 5, dzieląc ją przez 4, 9 i 5. Pozostanie 133, którą rozkładamy na czynniki pierwsze – 7 i 19. Teraz w tabeli szukamy z prawej strony znaku równości iloczynu, zawierającego oba te czynniki. Znajdziemy je w równości, której odpowiada 18 jedynek, a zatem wynikiem dzielenia 1/23940 będzie ułamek z 18-cyfrowym okresem (004177109440267335), następującym po dwóch zerach przedokresu. Niestety, tabeli nie staje, aby uporać się z okresem 1/2015.



Rys.2 

Nie jest znany krótszy sposób obliczania długości okresu niż z wykorzystaniem powyższej tabeli, która od połowy XX wieku, wraz ze zwiększaniem mocy obliczeniowej komputerów, była systematycznie wydłużana. Nie bez znaczenia jest również to, że rozkład liczb jedynkowych (zwanych też repunitami) na czynniki pierwsze wiąże się z tzw. teorią kodów. Dziś tabela sięga repunitów złożonych z blisko pół miliona cyfr, a głównym bodźcem do jej powiększania jest szukanie jedynkowych liczb pierwszych. Dotąd znaleziono ich dziewięć: 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86543, 109297, 270343 – to liczby tworzących je jedynek.

Na koniec, nawiązując do bieżącego i przyszłego roku, warto przypomnieć pewną osobliwość związaną z ułamkami okresowymi:

2015,999999…=2016

Dlaczego to jest równość, a nie przybliżenie – nietrudno dowieść.

 

ZADANIA

1.         (dla wytrwałych, programistów lub… szperaczy). Z ilu cyfr składa się okres ułamka dziesiętnego, będącego odwrotnością liczby 2015 i jaka cyfra występuje w nim tylko raz?

 

2.         Para liczb naturalnych takich, że suma dzielników każdej z nich równa jest drugiej liczbie, zwana jest liczbami zaprzyjaźnionymi. Takie pary znane są od dawna, najmniejsza (220 i 284) – od starożytności.

            Nazwiemy zaprzyjaźnionymi ułamkami okresowymi pary 0,(x) i 0,(y), dla których zachodzi następująca „krzyżowa” zależność:

            1/x=0,(y) 1/y=0,(x)

            Jeżeli w okresie (x) lub (y) na początku są zera, pomijamy je.

            Dla x=y=3 mamy jedyną zaprzyjaźnioną parę „bliźniaczą”, bo 1/3=0,(3)

            Proszę znaleźć dwie pary zaprzyjaźnionych ułamków okresowych, czyli praktycznie pary liczb x, y>1 – takich, w których przynajmniej jedna liczba jest dwucyfrowa.

 

3.         5×142857=714285 – tę osobliwą własność można opisać tak: po przeniesieniu ostatniej cyfry na początek liczba zwiększyła się k-krotnie. Jaka jest największa liczba 6-cyfrowa o takiej własności dla dowolnego całkowitego k? Najmniejsza to 102564 (pomijamy „liczbę” 000001 i inne zaczynające się od zera).

 

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 lipca br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG07/15, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród autorów poprawnych rozwiązań przynajmniej dwu zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Wszechświat w lustrzanym odbiciu Dave'a Goldberga ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.