nauki ścisłe
Autor: Marek Penszko | dodano: 2015-02-24
Baseball, telefon i czynniki pierwsze

Czyli m.in. o tym, że w historii matematyki można się zapisać z bardzo zaskakujących powodów.

Z podstawowego twierdzenia arytmetyki korzystał chyba każdy, ale pytani o jego treść bardzo rzadko potrafią ją podać. Częstsze są żartobliwe odpowiedzi w rodzaju: „2+2=4”. Chodzi natomiast o sformułowanie: „każda liczba większa od 1 jest albo liczbą pierwszą, albo można ją przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych tylko na jeden sposób (kolejność liczb nie ma znaczenia)”.

Nie jest to wcale tak oczywiste, jak mogłoby się wydawać. Przeciwnie, klasyczny dowód unikalnego rozkładu liczby złożonej na czynniki pierwsze nie jest prosty, dlatego uczniowie korzystają z tego twierdzenia na wiarę – na przykład przy skracaniu ułamków.

Fakt, że podstawowe twierdzenie dotyczy liczb pierwszych, świadczy o ich pierwszorzędnym znaczeniu, co z kolei wiąże się jedną z największych zagadek matematyki: jaka reguła rządzi rozmieszczeniem liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych?

Początek szlaku wiodącego ku rozwikłaniu tej zagadki wydaje się przetarty. Odgałęziają się także od niego liczne ścieżki, które wprawdzie z założenia nie wiodą bezpośrednio do celu, ale trudno wykluczyć, że przypadkiem zawrócą do głównego szlaku. Inaczej mówiąc, na obrzeżach teorii liczb pierwszych pojawia się mnóstwo ciekawych tematów bliskich matematyce rekreacyjnej. Czasem nobilituje je to, że zajmują się nimi znani uczeni. Kilka takich na poły rozrywkowych zagadnień dotyczy obecnego w podstawowym twierdzeniu arytmetyki rozkładu liczb złożonych na czynniki pierwsze.

Jedna z istotnych informacji, które pojawiły się na początku kwietnia 1974 roku w amerykańskich mediach, zawierała dwie liczby – 714 i 715. Mniejsza była dotychczasowym, a większa – nowo ustanowionym baseballowym rekordem. Konkretnie chodziło o liczbę zdobytych przez gracza w karierze sportowej tzw. home runów. Ze względu na rangę baseballu sprawa zyskała duży rozgłos, a kilku młodych matematyków potraktowało liczby jak fenomen i wzięło je na warsztat. Po rozkładzie na czynniki pierwsze okazało się, że para jest rzeczywiście niezwykła.

714 = 2 × 3 × 7 × 17

715 = 5 × 11 × 13

W iloczynach po prawej stronie występuje siedem pierwszych liczb pierwszych. Jest to lepiej widoczne po zapisaniu w postaci:

714 × 715 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17

Dotąd nie znaleziono większej pary kolejnych liczb, których iloczyn byłby równocześnie iloczynem k pierwszych (różnych) liczb pierwszych. Mniejsze są tylko trzy:

2 × 3 = 2 × 3

5 × 6 = 2 × 3 × 5

14 × 15 = 2 × 3 × 5 × 7

Ale to nie koniec osobliwości. Ciekawszym okazało się spostrzeżenie, że suma czynników pierwszych obu liczb jest taka sama:

2 + 3 + 7 + 17 = 5 + 11 + 13 = 29

Liczby sąsiadki o tej drugiej  własności nazwano początkowo parami Aarona (od nazwiska baseballowego rekordzisty). Później w nazwie uwzględniono także gracza, którego rekord został pobity i dziś mówimy o liczbach Rutha-Aarona. Takie pary to rzadkość. Do tysiąca jest ich tylko siedem: (5, 6), (8, 9), (15, 16), (77, 78), (125, 126), (714, 715), (948, 949); do miliona – 149.

W krótkim artykule odkrywcy liczb Rutha-Aarona sugerowali, że (1) tworzą one ciąg nieskończony oraz że (2) im są większe, tym rzadziej występują w ciągu liczb naturalnych. Próba dowodu hipotezy (1) ograniczyła się do utworzenia sprytnego układu czterech wielomianów jednej zmiennej:

a=2x+1

b=8x+5

c=48x2+24x-1

d=48x2+30x-1

Nietrudno sprawdzić, że jeśli wartość x dobrać tak, aby a, b, c, d były liczbami pierwszymi, to iloczyny b×c oraz b×c+1=4×a×d utworzą parę Rutha-Aarona. Na przykład, dla x=3 powstanie para (14587, 14588), a dla x=6 – (99163, 99164); szukanie dalszych x to zadanie dla komputera – następny jest jedynym dwucyfrowym (39). Teraz należy odwołać się do tzw. hipotezy H zwanej też hipotezą Schinzla (od nazwiska jej twórcy, polskiego matematyka), zgodnie z którą układy wielomianów jednej zmiennej (spełniające określone warunki), których wartości  są liczbami pierwszymi dla jakiegoś x, są także liczbami pierwszymi dla nieskończenie wielu innych wartości x. A zatem udowodnienie hipotezy Schinzla oznaczałoby równocześnie, że par Rutha-Aarona jest nieskończenie wiele.

Pary te pozostałyby zapewne mało znaną ciekawostką, gdyby ich własnościami, a konkretnie dowodem hipotezy (1), nie zainteresował się jeden z najsłynniejszych matematyków XX wieku Paul Erdös. Wraz z innym znanym matematykiem, Carlem Pomerance, współautorem pierwszego artykułu o liczbach Rutha-Aarona, napisał drugi artykuł, znacznie poważniejszy, który ugruntował pozycję osobliwych par w teorii liczb.

Bycie dobrym baseballistą nie jest jedynym nietypowym sposobem trafienia do matematyki. Rozstrzygnąć o tym może również przypadek. Wystarczy na przykład mieć odpowiedni numer telefonu oraz znajomego wpływowego matematyka, który nagłośni sprawę. W roku 1982 Albert Wilansky, profesor matematyki na Uniwersytecie Lehigh w Bethlehem (Pensylwania), rozłożył na czynniki pierwsze telefon swojego szwagra, a ściślej – numer telefonu potraktowany jak liczba 7-cyfrowa – 4937775=3×5×5×65837, po czym zauważył, że suma cyfr po lewej stronie znaku równości (4+9+3+7+7+7+5), czyli tworzących numer, jest taka sama, jak suma cyfr po prawej  (3+5+5+6+5+8+3+7), czyli tworzących czynniki pierwsze – i równa 42. Zainteresował się wówczas liczbami złożonymi o takiej własności i jeszcze w tym samym roku opublikował o nich kilka krótkich artykułów, nazywając je liczbami Smitha, a tym samym niejako stawiając szwagrowi, Haroldowi Smithowi, mały matematyczny pomniczek. Temat podchwycili inni matematycy i w ciągu paru lat opublikowano kilkanaście artykułów o takich liczbach. Wzmianka o nich pojawiła się nawet w szacownym New York Timesie, co stało się przyczynkiem do dyskusji nad tym, dlaczego skądinąd poważni uczeni zajmują się liczbowymi ciekawostkami wątpliwej rangi. Jedni twierdzili, że to marnowanie czasu przez tych, którzy z jakichś powodów nie są w stanie zająć się czymś istotnym. Atakowani bronili się, pisząc o ich zdaniem poważnych aspektach matematycznych badanego obiektu.

Liczby Smitha występują wśród liczb naturalnych znacznie częściej niż pary Rutha-Aarona. Niebieskie punkty na wykresie (rys. 1) odpowiadają sumom cyfr S(n) liczb złożonych 4<nSp(n). Gdy punkty żółty i niebieski pokrywają się, pojawia się „zielony” smith. Pierwszym jest 4, następne to 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274… Należy także do nich kojarzona z Biblią tzw. Liczba Bestii, czyli 666=2×3×3×37 (6+6+6=2+3+3+3+7=18). Szansa, że Państwa 9-cyfrowy telefon komórkowy okaże się liczbą Smitha, też jest spora – wynosi ponad 4,5%, czyli 10-krotnie więcej niż szansa trafienia numerem w liczbę pierwszą.

Z parami bliźniaczymi liczb pierwszych (różniącymi się o 2, np. 11 i 13, 569 i 571, 1997 i 1999) kojarzą się „bracia Smith”, czyli liczby Smitha różniące się o 1. Najmniejszą taką parę tworzą 728 i 729. Braci może być jednak więcej, np. trzech (73 615, 73 616, 73 617). Ustalanie, ilu najwięcej, to swoiste współzawodnictwo komputerowe. Dotychczasowym rekordem są „siedmioraczki”, które zaczynają się od 164 736 913 905. W rodzinie smithów doszukano się wielu podobnych osobliwych cech i zależności, z reguły przypadkowych. To zabawa luźno związana z matematyką, ale niektóre jej aspekty są ciekawe i bliskie królowej nauk.

Liczby Smitha zasługują na uwagę między innymi dlatego, że stanowią swego rodzaju łącznik między liczbami pierwszymi a złożonymi. Mają z definicji taką własność, jak liczby pierwsze, ponieważ suma cyfr każdej liczby pierwszej – podobnie jak liczby Smitha – jest równa sumie cyfr jej czynników pierwszych, bo jedynym takim czynnikiem jest sama liczba. Ponadto w ciągu liczb Smitha, jak wśród liczb pierwszych, trudno doszukać się jakiejś reguły. Najciekawszym aspektem matematycznym smithów są jednak algorytmy, umożliwiające ich tworzenie. Wstępem do tego tematu może być następująca łamigłówka: znajdź liczbę, która po dopisaniu do niej zera zmieni się w smitha. Dopisanie zera oznacza pomnożenie przez 10, a więc wśród czynników pierwszych pojawi się 2 i 5, czyli suma cyfr czynników Sp(n) wzrośnie o 7 i w przypadku liczby Smitha zrówna się z sumą cyfr liczby S(n), która nie ulegnie zmianie. Wystarczy zatem znaleźć liczbę, dla której S(n)–Sp(n)=7.


Rys. 1

Niestety, „wystarczy” nie oznacza, że zadanie jest łatwe. Przeciwnie, nie obejdzie się bez komputera. Można też poszukać na rys. 1 niebieskiego punktu, który ulokowany jest o siedem „pięter” wyżej, niż odpowiadający mu punkt żółty. Na diagramie taki punkt jest tylko jeden – nad liczbą 69 (linia przerywana),  a zatem 690 to smith. Uogólniając: każda liczba, dla której różnica S(n)–Sp(n) równa jest 7k, zmienia się w smitha po dopisaniu k zer.

Większość generatorów liczb Smitha bazuje na liczbach pierwszych. Nietrudno zauważyć, że jeśli suma cyfr iloczynu dwóch liczb pierwszych p×q jest większa o q od sumy cyfr liczby p, to iloczyn jest smithem. Praktycznie możliwe i najwygodniejsze jest tworzenie w ten sposób liczb Smitha dla q=2, czyli przez podwajanie liczb pierwszych, ponieważ szukanie odpowiednich p jest w tym przypadku proste.


Rys.2

W tabeli (rys. 2) podane są m.in. wartości S(2n)–S(n) dla 0≤n≤9. Aby obliczyć, jak zmieni się suma cyfr liczby po jej podwojeniu, wystarczy zsumować zmiany jej poszczególnych cyfr z dolnego wiersza tabeli. Na przykład, dla 283 (numer tego Świata Nauki; liczba pierwsza) suma zmian wyniesie 2–1+3=4. Sprawdzamy: 283×2=566; S(283)=13, S(566)=17; 17–13=4, czyli działa! Z podanych w tabeli wartości wynika, że 0, 9 oraz pary cyfr, których suma równa jest 9 – nie wpływają na zmianę sumy cyfr liczby po jej podwojeniu. Wystarczy więc z liczby pierwszej wykreślić zera, dziewiątki oraz pary dopełniające się do 9, aby korzystając z odpowiadających pozostałym cyfrom wartości z dolnego rzędu tabeli określić, jak zmieni się suma cyfr po podwojeniu liczby. W ten sposób od razu widać, że smithami są dwukrotności 11, 29, 47, 83, 101, 137… Łatwo też ustalić, która z pary liczb pierwszych bliźniaczych – 15 640 319 czy 15 640 321 – po podwojeniu zmieni się w smitha.

Jeszcze w latach 80. udowodniono, że liczbami Smitha są też określone wielokrotności liczb pierwszych, składających się wyłącznie z jedynek lub tylko z zer i jedynek. Jeszcze innego generatora smithów dotyczy trzecie z poniższych zadań.

 

ZADANIA

1. Suma liczb tworzących parę Rutha-Arona jest zawsze liczbą nieparzystą, a czasem liczbą pierwszą. Aż pięć z siedmiu par mniejszych od tysiąca tworzy po zsumowaniu liczby pierwsze: 11 (5+6), 17 (8+9), 31 (15+16), 251 (125+126), 1429 (714+715). Cztery z tych liczb – oprócz 251 – mają jeszcze dwie cechy szczególne i w związku z tym należą do wyodrębnionych grup liczb pierwszych. Jedną z tych cech jest przynależność do liczb bliźniaczych, czyli par liczb pierwszych różniących się o 2 (11 i 13, 17 i 19, 29 i 31, 1427 i 1429). Jaka jest druga cecha?

2. Skoro dwukrotności wielu liczb pierwszych są liczbami Smitha, czemużby nie poszukać liczb pierwszych, które stają się smithami po pomnożeniu przez trzy. Proszę krótko udowodnić, że poszukiwania będą bezowocne, czyli takich liczb pierwszych nie ma.

3. Każda co najmniej dwucyfrowa liczba pierwsza, której suma cyfr wynosi X po pomnożeniu przez 21 daje liczbę Smitha. Ile równe jest X?

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 marca br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG03/15, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02-697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwu zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Czas odrodzony. Od kryzysu w fizyce do przyszłości Wszechświata Lee Smolina ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Z NUMERU styczniowego

1. Długość postronka wynosi około 11 m 65 cm.


Rys. 3

2. Koza zje trawę z półkola o promieniu r (ciemnozielone na rys. 3), jeśli uwiązana będzie dwoma postronkami o długości r, z których jeden będzie przymocowany do dolnego palika p, a drugi do pierścienia przesuwającego się po lince l, rozpiętej między dwoma górnymi palikami p.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej jednego zadania, książkę Leonarda Susskinda i George’a Hrabovsky’ego Teoretyczne minimum. Co musisz wiedzieć, żeby zacząć zajmować się fizyką, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Krzysztof Kaput z Jasła, Adam Krupowies z Zielonej Góry, Katarzyna Pasternak z Poznania, Elżbieta Plocek z Łodzi, Janusz Włodarczyk z Będzina.

Więcej w miesięczniku „Świat Nauki" nr 03/2015 »
Drukuj »
Ten artykuł nie został jeszcze skomentowany.
Aktualne numery
11/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
22
W 1904 r. urodził się Louis Néel, francuski fizyk, laureat Nagrody Nobla.
Warto przeczytać
Zmyl trop to użyteczna, ale i pełna powabu oraz przekonująca, kieszonkowa esencja wszystkiego, co chcielibyście wiedzieć o obronie przed inwigilacją.

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Marek Penszko | dodano: 2015-02-24
Baseball, telefon i czynniki pierwsze

Czyli m.in. o tym, że w historii matematyki można się zapisać z bardzo zaskakujących powodów.

Z podstawowego twierdzenia arytmetyki korzystał chyba każdy, ale pytani o jego treść bardzo rzadko potrafią ją podać. Częstsze są żartobliwe odpowiedzi w rodzaju: „2+2=4”. Chodzi natomiast o sformułowanie: „każda liczba większa od 1 jest albo liczbą pierwszą, albo można ją przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych tylko na jeden sposób (kolejność liczb nie ma znaczenia)”.

Nie jest to wcale tak oczywiste, jak mogłoby się wydawać. Przeciwnie, klasyczny dowód unikalnego rozkładu liczby złożonej na czynniki pierwsze nie jest prosty, dlatego uczniowie korzystają z tego twierdzenia na wiarę – na przykład przy skracaniu ułamków.

Fakt, że podstawowe twierdzenie dotyczy liczb pierwszych, świadczy o ich pierwszorzędnym znaczeniu, co z kolei wiąże się jedną z największych zagadek matematyki: jaka reguła rządzi rozmieszczeniem liczb pierwszych w ciągu liczb naturalnych?

Początek szlaku wiodącego ku rozwikłaniu tej zagadki wydaje się przetarty. Odgałęziają się także od niego liczne ścieżki, które wprawdzie z założenia nie wiodą bezpośrednio do celu, ale trudno wykluczyć, że przypadkiem zawrócą do głównego szlaku. Inaczej mówiąc, na obrzeżach teorii liczb pierwszych pojawia się mnóstwo ciekawych tematów bliskich matematyce rekreacyjnej. Czasem nobilituje je to, że zajmują się nimi znani uczeni. Kilka takich na poły rozrywkowych zagadnień dotyczy obecnego w podstawowym twierdzeniu arytmetyki rozkładu liczb złożonych na czynniki pierwsze.

Jedna z istotnych informacji, które pojawiły się na początku kwietnia 1974 roku w amerykańskich mediach, zawierała dwie liczby – 714 i 715. Mniejsza była dotychczasowym, a większa – nowo ustanowionym baseballowym rekordem. Konkretnie chodziło o liczbę zdobytych przez gracza w karierze sportowej tzw. home runów. Ze względu na rangę baseballu sprawa zyskała duży rozgłos, a kilku młodych matematyków potraktowało liczby jak fenomen i wzięło je na warsztat. Po rozkładzie na czynniki pierwsze okazało się, że para jest rzeczywiście niezwykła.

714 = 2 × 3 × 7 × 17

715 = 5 × 11 × 13

W iloczynach po prawej stronie występuje siedem pierwszych liczb pierwszych. Jest to lepiej widoczne po zapisaniu w postaci:

714 × 715 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17

Dotąd nie znaleziono większej pary kolejnych liczb, których iloczyn byłby równocześnie iloczynem k pierwszych (różnych) liczb pierwszych. Mniejsze są tylko trzy:

2 × 3 = 2 × 3

5 × 6 = 2 × 3 × 5

14 × 15 = 2 × 3 × 5 × 7

Ale to nie koniec osobliwości. Ciekawszym okazało się spostrzeżenie, że suma czynników pierwszych obu liczb jest taka sama:

2 + 3 + 7 + 17 = 5 + 11 + 13 = 29

Liczby sąsiadki o tej drugiej  własności nazwano początkowo parami Aarona (od nazwiska baseballowego rekordzisty). Później w nazwie uwzględniono także gracza, którego rekord został pobity i dziś mówimy o liczbach Rutha-Aarona. Takie pary to rzadkość. Do tysiąca jest ich tylko siedem: (5, 6), (8, 9), (15, 16), (77, 78), (125, 126), (714, 715), (948, 949); do miliona – 149.

W krótkim artykule odkrywcy liczb Rutha-Aarona sugerowali, że (1) tworzą one ciąg nieskończony oraz że (2) im są większe, tym rzadziej występują w ciągu liczb naturalnych. Próba dowodu hipotezy (1) ograniczyła się do utworzenia sprytnego układu czterech wielomianów jednej zmiennej:

a=2x+1

b=8x+5

c=48x2+24x-1

d=48x2+30x-1

Nietrudno sprawdzić, że jeśli wartość x dobrać tak, aby a, b, c, d były liczbami pierwszymi, to iloczyny b×c oraz b×c+1=4×a×d utworzą parę Rutha-Aarona. Na przykład, dla x=3 powstanie para (14587, 14588), a dla x=6 – (99163, 99164); szukanie dalszych x to zadanie dla komputera – następny jest jedynym dwucyfrowym (39). Teraz należy odwołać się do tzw. hipotezy H zwanej też hipotezą Schinzla (od nazwiska jej twórcy, polskiego matematyka), zgodnie z którą układy wielomianów jednej zmiennej (spełniające określone warunki), których wartości  są liczbami pierwszymi dla jakiegoś x, są także liczbami pierwszymi dla nieskończenie wielu innych wartości x. A zatem udowodnienie hipotezy Schinzla oznaczałoby równocześnie, że par Rutha-Aarona jest nieskończenie wiele.

Pary te pozostałyby zapewne mało znaną ciekawostką, gdyby ich własnościami, a konkretnie dowodem hipotezy (1), nie zainteresował się jeden z najsłynniejszych matematyków XX wieku Paul Erdös. Wraz z innym znanym matematykiem, Carlem Pomerance, współautorem pierwszego artykułu o liczbach Rutha-Aarona, napisał drugi artykuł, znacznie poważniejszy, który ugruntował pozycję osobliwych par w teorii liczb.

Bycie dobrym baseballistą nie jest jedynym nietypowym sposobem trafienia do matematyki. Rozstrzygnąć o tym może również przypadek. Wystarczy na przykład mieć odpowiedni numer telefonu oraz znajomego wpływowego matematyka, który nagłośni sprawę. W roku 1982 Albert Wilansky, profesor matematyki na Uniwersytecie Lehigh w Bethlehem (Pensylwania), rozłożył na czynniki pierwsze telefon swojego szwagra, a ściślej – numer telefonu potraktowany jak liczba 7-cyfrowa – 4937775=3×5×5×65837, po czym zauważył, że suma cyfr po lewej stronie znaku równości (4+9+3+7+7+7+5), czyli tworzących numer, jest taka sama, jak suma cyfr po prawej  (3+5+5+6+5+8+3+7), czyli tworzących czynniki pierwsze – i równa 42. Zainteresował się wówczas liczbami złożonymi o takiej własności i jeszcze w tym samym roku opublikował o nich kilka krótkich artykułów, nazywając je liczbami Smitha, a tym samym niejako stawiając szwagrowi, Haroldowi Smithowi, mały matematyczny pomniczek. Temat podchwycili inni matematycy i w ciągu paru lat opublikowano kilkanaście artykułów o takich liczbach. Wzmianka o nich pojawiła się nawet w szacownym New York Timesie, co stało się przyczynkiem do dyskusji nad tym, dlaczego skądinąd poważni uczeni zajmują się liczbowymi ciekawostkami wątpliwej rangi. Jedni twierdzili, że to marnowanie czasu przez tych, którzy z jakichś powodów nie są w stanie zająć się czymś istotnym. Atakowani bronili się, pisząc o ich zdaniem poważnych aspektach matematycznych badanego obiektu.

Liczby Smitha występują wśród liczb naturalnych znacznie częściej niż pary Rutha-Aarona. Niebieskie punkty na wykresie (rys. 1) odpowiadają sumom cyfr S(n) liczb złożonych 4<nSp(n). Gdy punkty żółty i niebieski pokrywają się, pojawia się „zielony” smith. Pierwszym jest 4, następne to 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274… Należy także do nich kojarzona z Biblią tzw. Liczba Bestii, czyli 666=2×3×3×37 (6+6+6=2+3+3+3+7=18). Szansa, że Państwa 9-cyfrowy telefon komórkowy okaże się liczbą Smitha, też jest spora – wynosi ponad 4,5%, czyli 10-krotnie więcej niż szansa trafienia numerem w liczbę pierwszą.

Z parami bliźniaczymi liczb pierwszych (różniącymi się o 2, np. 11 i 13, 569 i 571, 1997 i 1999) kojarzą się „bracia Smith”, czyli liczby Smitha różniące się o 1. Najmniejszą taką parę tworzą 728 i 729. Braci może być jednak więcej, np. trzech (73 615, 73 616, 73 617). Ustalanie, ilu najwięcej, to swoiste współzawodnictwo komputerowe. Dotychczasowym rekordem są „siedmioraczki”, które zaczynają się od 164 736 913 905. W rodzinie smithów doszukano się wielu podobnych osobliwych cech i zależności, z reguły przypadkowych. To zabawa luźno związana z matematyką, ale niektóre jej aspekty są ciekawe i bliskie królowej nauk.

Liczby Smitha zasługują na uwagę między innymi dlatego, że stanowią swego rodzaju łącznik między liczbami pierwszymi a złożonymi. Mają z definicji taką własność, jak liczby pierwsze, ponieważ suma cyfr każdej liczby pierwszej – podobnie jak liczby Smitha – jest równa sumie cyfr jej czynników pierwszych, bo jedynym takim czynnikiem jest sama liczba. Ponadto w ciągu liczb Smitha, jak wśród liczb pierwszych, trudno doszukać się jakiejś reguły. Najciekawszym aspektem matematycznym smithów są jednak algorytmy, umożliwiające ich tworzenie. Wstępem do tego tematu może być następująca łamigłówka: znajdź liczbę, która po dopisaniu do niej zera zmieni się w smitha. Dopisanie zera oznacza pomnożenie przez 10, a więc wśród czynników pierwszych pojawi się 2 i 5, czyli suma cyfr czynników Sp(n) wzrośnie o 7 i w przypadku liczby Smitha zrówna się z sumą cyfr liczby S(n), która nie ulegnie zmianie. Wystarczy zatem znaleźć liczbę, dla której S(n)–Sp(n)=7.


Rys. 1

Niestety, „wystarczy” nie oznacza, że zadanie jest łatwe. Przeciwnie, nie obejdzie się bez komputera. Można też poszukać na rys. 1 niebieskiego punktu, który ulokowany jest o siedem „pięter” wyżej, niż odpowiadający mu punkt żółty. Na diagramie taki punkt jest tylko jeden – nad liczbą 69 (linia przerywana),  a zatem 690 to smith. Uogólniając: każda liczba, dla której różnica S(n)–Sp(n) równa jest 7k, zmienia się w smitha po dopisaniu k zer.

Większość generatorów liczb Smitha bazuje na liczbach pierwszych. Nietrudno zauważyć, że jeśli suma cyfr iloczynu dwóch liczb pierwszych p×q jest większa o q od sumy cyfr liczby p, to iloczyn jest smithem. Praktycznie możliwe i najwygodniejsze jest tworzenie w ten sposób liczb Smitha dla q=2, czyli przez podwajanie liczb pierwszych, ponieważ szukanie odpowiednich p jest w tym przypadku proste.


Rys.2

W tabeli (rys. 2) podane są m.in. wartości S(2n)–S(n) dla 0≤n≤9. Aby obliczyć, jak zmieni się suma cyfr liczby po jej podwojeniu, wystarczy zsumować zmiany jej poszczególnych cyfr z dolnego wiersza tabeli. Na przykład, dla 283 (numer tego Świata Nauki; liczba pierwsza) suma zmian wyniesie 2–1+3=4. Sprawdzamy: 283×2=566; S(283)=13, S(566)=17; 17–13=4, czyli działa! Z podanych w tabeli wartości wynika, że 0, 9 oraz pary cyfr, których suma równa jest 9 – nie wpływają na zmianę sumy cyfr liczby po jej podwojeniu. Wystarczy więc z liczby pierwszej wykreślić zera, dziewiątki oraz pary dopełniające się do 9, aby korzystając z odpowiadających pozostałym cyfrom wartości z dolnego rzędu tabeli określić, jak zmieni się suma cyfr po podwojeniu liczby. W ten sposób od razu widać, że smithami są dwukrotności 11, 29, 47, 83, 101, 137… Łatwo też ustalić, która z pary liczb pierwszych bliźniaczych – 15 640 319 czy 15 640 321 – po podwojeniu zmieni się w smitha.

Jeszcze w latach 80. udowodniono, że liczbami Smitha są też określone wielokrotności liczb pierwszych, składających się wyłącznie z jedynek lub tylko z zer i jedynek. Jeszcze innego generatora smithów dotyczy trzecie z poniższych zadań.

 

ZADANIA

1. Suma liczb tworzących parę Rutha-Arona jest zawsze liczbą nieparzystą, a czasem liczbą pierwszą. Aż pięć z siedmiu par mniejszych od tysiąca tworzy po zsumowaniu liczby pierwsze: 11 (5+6), 17 (8+9), 31 (15+16), 251 (125+126), 1429 (714+715). Cztery z tych liczb – oprócz 251 – mają jeszcze dwie cechy szczególne i w związku z tym należą do wyodrębnionych grup liczb pierwszych. Jedną z tych cech jest przynależność do liczb bliźniaczych, czyli par liczb pierwszych różniących się o 2 (11 i 13, 17 i 19, 29 i 31, 1427 i 1429). Jaka jest druga cecha?

2. Skoro dwukrotności wielu liczb pierwszych są liczbami Smitha, czemużby nie poszukać liczb pierwszych, które stają się smithami po pomnożeniu przez trzy. Proszę krótko udowodnić, że poszukiwania będą bezowocne, czyli takich liczb pierwszych nie ma.

3. Każda co najmniej dwucyfrowa liczba pierwsza, której suma cyfr wynosi X po pomnożeniu przez 21 daje liczbę Smitha. Ile równe jest X?

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 marca br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG03/15, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02-697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwu zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Czas odrodzony. Od kryzysu w fizyce do przyszłości Wszechświata Lee Smolina ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Z NUMERU styczniowego

1. Długość postronka wynosi około 11 m 65 cm.


Rys. 3

2. Koza zje trawę z półkola o promieniu r (ciemnozielone na rys. 3), jeśli uwiązana będzie dwoma postronkami o długości r, z których jeden będzie przymocowany do dolnego palika p, a drugi do pierścienia przesuwającego się po lince l, rozpiętej między dwoma górnymi palikami p.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej jednego zadania, książkę Leonarda Susskinda i George’a Hrabovsky’ego Teoretyczne minimum. Co musisz wiedzieć, żeby zacząć zajmować się fizyką, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Krzysztof Kaput z Jasła, Adam Krupowies z Zielonej Góry, Katarzyna Pasternak z Poznania, Elżbieta Plocek z Łodzi, Janusz Włodarczyk z Będzina.