nauki ścisłe
Autor: Marek Penszko | dodano: 2015-01-21
Sfenicznego roku

Rok bieżący jest ostatnim w unikatowym trzyleciu, jakiego nie było od 125 lat
i nie będzie przez najbliższe 650.

Aby ujawnić jego wyjątkowość, wystarczy skorzystać z rozkładu na czynniki pierwsze:

2013=3×11×61

2014=2×19×53

2015=5×13×31

Trzy kolejne liczby są iloczynami trzech różnych liczb pierwszych. Taki tercet jest trzecim w ciągu liczb naturalnych. Dwa poprzednie to (1309, 1310, 1311) i (1885, 1886, 1887); dwa następne – (2665, 2666, 2667) i (3729, 3730, 3731).

Liczby, których rozkład na czynniki pierwsze składa się z trzech liczb i wszystkie one są różne, nazwano przed kilkunastu laty sfenicznymi. Tworzą one ciąg, zaczynający się od 30 (2×3×5): 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222,… Określenie „sfeniczny” pochodzi z języka greckiego – jest synonimem słowa „klinowy”. Nazwa wiąże się więc zapewne z tym, że czynników pierwszych jest tyle, ile boków klina. „Ochrzczenie” liczb, które do końca XX wieku były bezimienne, dodało im prestiżu i wiązało się z ich ciekawymi własnościami. Najbardziej spektakularną są wspomniane tercety, a także częstsze duety sfeniczne, kojarzące się z liczbami bliźniaczymi w ciągu liczb pierwszych. Kwartetów być nie może z prostego powodu – byłaby wśród nich wielokrotność czterech, a więc dwie dwójki w rozkładzie. Inne własności liczb sfenicznych dotyczą trudniejszych zagadnień. Na przykład jedna z nich jest następująca: wszystkie liczby, które są o 1 mniejsze od liczb sfenicznych, mają 13 podziałów doskonałych. Podział to rozkład liczby na składniki, czyli przedstawienie jej w postaci sumy. Na przykład, 7 ma 15 podziałów (uwzględnia się także rozkładaną liczbę):

I. 7

II. 6+1

III. 5+2

IV. 5+1+1

V. 4+3

*VI. 4+2+1

*VII. 4+1+1+1

VIII. 3+3+1

IX. 3+2+2

X. 3+2+1+1

XI. 3+1+1+1+1

*XII. 2+2+2+1

XIII. 2+2+1+1+1

XIV. 2+1+1+1+1+1

*XV. 1+1+1+1+1+1+1

Doskonałe podziały oznaczono gwiazdką. Doskonałość każdego polega na tym, że jest w nim zawarty jeden i tylko jeden podział każdej liczby mniejszej od 7. Inaczej mówiąc, z liczb tworzących podział doskonały liczby n można utworzyć każdą liczbę mniejszą od n – ale tylko na jeden sposób. Na przykład, podział XII jest doskonały, ponieważ 1=1, 2=2, 3=1+2, 4=2+2, 5=1+2+2, 6=2+2+2. Podziały bez gwiazdki nie są doskonałe, bowiem niektórych liczb z przedziału od 1 do 7 nie da się z nich utworzyć albo da się, ale na dwa lub więcej sposobów: z podziału IV nie uzyska się 3 ani 4, a z podziału X każdą z liczb 3, 4 i 5 można utworzyć na dwa sposoby.

Liczbą o 1 mniejszą od najmniejszej liczby sfenicznej jest 29; ma ona 4565 podziałów, wśród których dokładnie 13 jest doskonałych. Podobnie 13 podziałów doskonałych ma każda i tylko każda liczba o 1 mniejsza od sfenicznej.

Wróćmy do bieżącego roku. 2015 to iloczyn trzech liczb pierwszych, których suma jest kwadratem (5+13+31=49), a ponadto kwadratem jest suma dwóch z tych liczb: 5+31=36. Takie dwie cechy mają czynniki pierwsze tylko dwu mniejszych liczb sfenicznych – 506 (2+11+23=36; 2+23=25) oraz 1334 (2+23+39=64; 2+23=25). Czy może być tak, aby kwadratami były: suma trzech liczb pierwszych (a+b+c) oraz:

(1) suma każdych dwu z nich (a+b, a+c, b+c)?

(2) suma dwu par dwu z nich (np. a+b i a+c)?

Zacznijmy od podobnego zadania, znajdującego się w III Księdze Arytmetyki Diofantosa:

Znajdź trzy liczby całkowite większe od zera, których suma jest kwadratem, a także suma każdych dwu z nich jest kwadratem.

Rozwiązując to zadanie dziś, próbowalibyśmy znaleźć jakiś wzór lub algorytm, umożliwiający wyznaczanie – przynajmniej teoretycznie – wszystkich takich liczb. Można by zacząć na przykład tak:

Szukamy trzech liczb całkowitych dodatnich 0≤abc takich, że:

a+b+c=v2, a+b=x2, a+c=y2, b+c=z2.

Stąd:

2v2=2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(b+c)=x2+y2+z2

Ponadto:

2a=(a+b)+(a+c)–(b+c)=x2+y2z2

2b=(a+b)–(a+c)+(b+c)=x2y2+z2

2c=–(a+b)+(a+c)+(b+c)=–x2+y2+z2

Praktycznie zadanie sprowadza się więc do znalezienia trzech kwadratów mniejszych od v2, których suma równa jest 2v2, a następnie obliczenia odpowiednich wartości a, b i c. Komputer radzi sobie z tym błyskawicznie.

Rozwiązań jest nieskończenie wiele i można je podzielić (podobnie jak trójki pitagorejskie) na pierwotne i wtórne. Trójki pierwotne nie mają wspólnego dzielnika większego niż 1 – pierwszą jest [17,32,32]. Trójka wtórna powstaje z pierwotnej przez pomnożenie każdej liczby przez kwadrat. Na przykład [17,32,32]×4=[68,128,128]. Trójek pierwotnych, w których 0<a<b<cx:

a=2x+1, b=4x, c=x2–4x.

Przy takim zapisie sumy a+b+c, a+c i b+c są zawsze kwadratami. Natomiast w przypadku czwartej sumy warunek ma postać równania z dwiema niewiadomymi:

a+b=6x+1=(n–1)2=n2–2n+1.

Stąd x=(n2–2n)/6 i dla n=12 otrzymujemy x=20, a na koniec trójkę [41,80,320].

Pierwotne trójki „kwadratowe” są niemal równie interesujące, jak pitagorejskie, choć znacznie mniej znane. Mają przynajmniej kilka ciekawych własności. Na przykład: każdą tworzą dwie liczby będące wielokrotnościami 8 i jedna o 1 większa od wielokrotności 8.

Zadanie dotyczące bardzo podobnych trójek pojawiło się przed paru laty na jednej z olimpiad matematycznych dla uczniów szkół średnich:

Czy istnieją trzy różne liczby nieparzyste takie, że suma każdych dwóch z nich jest kwadratem liczby naturalnej?

Oznaczając szukane liczby jako a, b, c, możemy napisać: a=2x+1, b=2y+1, c=2z+1. Jeśli teraz zapiszemy trzy sumy: a+b=2(x+y+1), a+c=2(x+z+1), b+c=2(y+z+1), to każda z nich będzie kwadratem liczby parzystej, a więc będzie podzielna przez 4. Stąd wynika, że sumy w nawiasach są liczbami parzystymi, a sumy x+y, x+z i y+z – nieparzystymi. To jednak nie jest możliwe, bo dwie z trzech liczb x, y, z muszą być parzyste lub nieparzyste, a więc jedna z trzech sum będzie parzysta. Ta sprzeczność oznacza, że odpowiedź na postawione w zadaniu pytanie jest negatywna. Czy odpowiedź się zmieni, jeśli w treści zadania zamiast „trzy liczby nieparzyste” wstawimy „trzy liczby pierwsze”? Pytanie ma sens, bo jedna liczba pierwsza jest parzysta. Wiąże się z nim pierwsze zadanie konkursowe, którego rozwiązanie stanowi równocześnie odpowiedź na pytanie (1). Pytanie (2) pozostaje na razie otwarte.

Oprócz przynależności do liczb i tercetów sfenicznych 2015 można zaliczyć jeszcze do przynajmniej dwu innych mało znanych „elit”. Jedna z nich jest poważna, druga nieco żartobliwa. Poważną tworzą liczby Lucasa-Carmichaela – każda z nich spełnia następujące trzy warunki:

– jest nieparzysta,

– jest iloczynem różnych liczb pierwszych,

– każdy jej czynnik pierwszy jest o 1 mniejszy od dzielnika liczby o 1 większej.

To wąska elita, bo do miliona takich liczb jest 60 (399, 935, 2015, 2915, 4991, 5719, 7055, 8855, 12719,…). Sprawdźmy 2015: 3, 13, 31 to jej czynniki pierwsze, a 4, 14 i 32 są dzielnikami 2016.

Znacznie węższa jest żartobliwa elita zwana binarnymi liczbami Cyklopa, czyli takimi, w których zapisie dwójkowym występuje tylko jedno zero-oko umieszczone dokładnie po środku. 2015 to 11111011111. Para 2015 i 2016 ma jeszcze jedną osobliwą własność: kwadrat każdej z nich składa się z takich samych cyfr (0,2,4,5,6). Następną taką parę tworzą 2183 i 2184.

Na koniec coś dla przesądnych: x3x2x=2015 dla x=13, zaś piątków trzynastego dotyczy drugie zadanie konkursowe.

 

ZADANIA

  1. Mamy trzy liczby całkowite dodatnie takie, że suma każdych dwóch z nich jest kwadratem. Należy udowodnić, że dwie z tych liczb nie mogą być nieparzyste.
  2. Rok 2015 należy do lat, w których liczba piątków trzynastego jest największą z możliwych, czyli wynosi trzy. Który następny rok będzie równie bogaty w piątki trzynastego?

  3. Cyfry w zapisie mnożenia zasłonięto kratkami. Tylko cyfra ukryta za różową kratką nie jest żadną z występujących w liczbie 2015. Rozszyfruj mnożenie.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 28 lutego br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG02/15, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej jednego zadania wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Pożegnanie z rzeczywistością Jimma Baggotta ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński. 

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla Polityki.

 

Więcej w miesięczniku „Świat Nauki" nr 02/2015 »
Drukuj »
Ten artykuł nie został jeszcze skomentowany.
Aktualne numery
11/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
22
W 1904 r. urodził się Louis Néel, francuski fizyk, laureat Nagrody Nobla.
Warto przeczytać
Odkrycia Svante Pääbo zrewolucjonizowały antropologię i doprowadziły do naniesienia poprawek w naszym drzewie genealogicznym. Stały się fundamentem, na którym jeszcze przez długie lata budować będą inni badacze

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Marek Penszko | dodano: 2015-01-21
Sfenicznego roku

Rok bieżący jest ostatnim w unikatowym trzyleciu, jakiego nie było od 125 lat
i nie będzie przez najbliższe 650.

Aby ujawnić jego wyjątkowość, wystarczy skorzystać z rozkładu na czynniki pierwsze:

2013=3×11×61

2014=2×19×53

2015=5×13×31

Trzy kolejne liczby są iloczynami trzech różnych liczb pierwszych. Taki tercet jest trzecim w ciągu liczb naturalnych. Dwa poprzednie to (1309, 1310, 1311) i (1885, 1886, 1887); dwa następne – (2665, 2666, 2667) i (3729, 3730, 3731).

Liczby, których rozkład na czynniki pierwsze składa się z trzech liczb i wszystkie one są różne, nazwano przed kilkunastu laty sfenicznymi. Tworzą one ciąg, zaczynający się od 30 (2×3×5): 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222,… Określenie „sfeniczny” pochodzi z języka greckiego – jest synonimem słowa „klinowy”. Nazwa wiąże się więc zapewne z tym, że czynników pierwszych jest tyle, ile boków klina. „Ochrzczenie” liczb, które do końca XX wieku były bezimienne, dodało im prestiżu i wiązało się z ich ciekawymi własnościami. Najbardziej spektakularną są wspomniane tercety, a także częstsze duety sfeniczne, kojarzące się z liczbami bliźniaczymi w ciągu liczb pierwszych. Kwartetów być nie może z prostego powodu – byłaby wśród nich wielokrotność czterech, a więc dwie dwójki w rozkładzie. Inne własności liczb sfenicznych dotyczą trudniejszych zagadnień. Na przykład jedna z nich jest następująca: wszystkie liczby, które są o 1 mniejsze od liczb sfenicznych, mają 13 podziałów doskonałych. Podział to rozkład liczby na składniki, czyli przedstawienie jej w postaci sumy. Na przykład, 7 ma 15 podziałów (uwzględnia się także rozkładaną liczbę):

I. 7

II. 6+1

III. 5+2

IV. 5+1+1

V. 4+3

*VI. 4+2+1

*VII. 4+1+1+1

VIII. 3+3+1

IX. 3+2+2

X. 3+2+1+1

XI. 3+1+1+1+1

*XII. 2+2+2+1

XIII. 2+2+1+1+1

XIV. 2+1+1+1+1+1

*XV. 1+1+1+1+1+1+1

Doskonałe podziały oznaczono gwiazdką. Doskonałość każdego polega na tym, że jest w nim zawarty jeden i tylko jeden podział każdej liczby mniejszej od 7. Inaczej mówiąc, z liczb tworzących podział doskonały liczby n można utworzyć każdą liczbę mniejszą od n – ale tylko na jeden sposób. Na przykład, podział XII jest doskonały, ponieważ 1=1, 2=2, 3=1+2, 4=2+2, 5=1+2+2, 6=2+2+2. Podziały bez gwiazdki nie są doskonałe, bowiem niektórych liczb z przedziału od 1 do 7 nie da się z nich utworzyć albo da się, ale na dwa lub więcej sposobów: z podziału IV nie uzyska się 3 ani 4, a z podziału X każdą z liczb 3, 4 i 5 można utworzyć na dwa sposoby.

Liczbą o 1 mniejszą od najmniejszej liczby sfenicznej jest 29; ma ona 4565 podziałów, wśród których dokładnie 13 jest doskonałych. Podobnie 13 podziałów doskonałych ma każda i tylko każda liczba o 1 mniejsza od sfenicznej.

Wróćmy do bieżącego roku. 2015 to iloczyn trzech liczb pierwszych, których suma jest kwadratem (5+13+31=49), a ponadto kwadratem jest suma dwóch z tych liczb: 5+31=36. Takie dwie cechy mają czynniki pierwsze tylko dwu mniejszych liczb sfenicznych – 506 (2+11+23=36; 2+23=25) oraz 1334 (2+23+39=64; 2+23=25). Czy może być tak, aby kwadratami były: suma trzech liczb pierwszych (a+b+c) oraz:

(1) suma każdych dwu z nich (a+b, a+c, b+c)?

(2) suma dwu par dwu z nich (np. a+b i a+c)?

Zacznijmy od podobnego zadania, znajdującego się w III Księdze Arytmetyki Diofantosa:

Znajdź trzy liczby całkowite większe od zera, których suma jest kwadratem, a także suma każdych dwu z nich jest kwadratem.

Rozwiązując to zadanie dziś, próbowalibyśmy znaleźć jakiś wzór lub algorytm, umożliwiający wyznaczanie – przynajmniej teoretycznie – wszystkich takich liczb. Można by zacząć na przykład tak:

Szukamy trzech liczb całkowitych dodatnich 0≤abc takich, że:

a+b+c=v2, a+b=x2, a+c=y2, b+c=z2.

Stąd:

2v2=2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(b+c)=x2+y2+z2

Ponadto:

2a=(a+b)+(a+c)–(b+c)=x2+y2z2

2b=(a+b)–(a+c)+(b+c)=x2y2+z2

2c=–(a+b)+(a+c)+(b+c)=–x2+y2+z2

Praktycznie zadanie sprowadza się więc do znalezienia trzech kwadratów mniejszych od v2, których suma równa jest 2v2, a następnie obliczenia odpowiednich wartości a, b i c. Komputer radzi sobie z tym błyskawicznie.

Rozwiązań jest nieskończenie wiele i można je podzielić (podobnie jak trójki pitagorejskie) na pierwotne i wtórne. Trójki pierwotne nie mają wspólnego dzielnika większego niż 1 – pierwszą jest [17,32,32]. Trójka wtórna powstaje z pierwotnej przez pomnożenie każdej liczby przez kwadrat. Na przykład [17,32,32]×4=[68,128,128]. Trójek pierwotnych, w których 0<a<b<cx:

a=2x+1, b=4x, c=x2–4x.

Przy takim zapisie sumy a+b+c, a+c i b+c są zawsze kwadratami. Natomiast w przypadku czwartej sumy warunek ma postać równania z dwiema niewiadomymi:

a+b=6x+1=(n–1)2=n2–2n+1.

Stąd x=(n2–2n)/6 i dla n=12 otrzymujemy x=20, a na koniec trójkę [41,80,320].

Pierwotne trójki „kwadratowe” są niemal równie interesujące, jak pitagorejskie, choć znacznie mniej znane. Mają przynajmniej kilka ciekawych własności. Na przykład: każdą tworzą dwie liczby będące wielokrotnościami 8 i jedna o 1 większa od wielokrotności 8.

Zadanie dotyczące bardzo podobnych trójek pojawiło się przed paru laty na jednej z olimpiad matematycznych dla uczniów szkół średnich:

Czy istnieją trzy różne liczby nieparzyste takie, że suma każdych dwóch z nich jest kwadratem liczby naturalnej?

Oznaczając szukane liczby jako a, b, c, możemy napisać: a=2x+1, b=2y+1, c=2z+1. Jeśli teraz zapiszemy trzy sumy: a+b=2(x+y+1), a+c=2(x+z+1), b+c=2(y+z+1), to każda z nich będzie kwadratem liczby parzystej, a więc będzie podzielna przez 4. Stąd wynika, że sumy w nawiasach są liczbami parzystymi, a sumy x+y, x+z i y+z – nieparzystymi. To jednak nie jest możliwe, bo dwie z trzech liczb x, y, z muszą być parzyste lub nieparzyste, a więc jedna z trzech sum będzie parzysta. Ta sprzeczność oznacza, że odpowiedź na postawione w zadaniu pytanie jest negatywna. Czy odpowiedź się zmieni, jeśli w treści zadania zamiast „trzy liczby nieparzyste” wstawimy „trzy liczby pierwsze”? Pytanie ma sens, bo jedna liczba pierwsza jest parzysta. Wiąże się z nim pierwsze zadanie konkursowe, którego rozwiązanie stanowi równocześnie odpowiedź na pytanie (1). Pytanie (2) pozostaje na razie otwarte.

Oprócz przynależności do liczb i tercetów sfenicznych 2015 można zaliczyć jeszcze do przynajmniej dwu innych mało znanych „elit”. Jedna z nich jest poważna, druga nieco żartobliwa. Poważną tworzą liczby Lucasa-Carmichaela – każda z nich spełnia następujące trzy warunki:

– jest nieparzysta,

– jest iloczynem różnych liczb pierwszych,

– każdy jej czynnik pierwszy jest o 1 mniejszy od dzielnika liczby o 1 większej.

To wąska elita, bo do miliona takich liczb jest 60 (399, 935, 2015, 2915, 4991, 5719, 7055, 8855, 12719,…). Sprawdźmy 2015: 3, 13, 31 to jej czynniki pierwsze, a 4, 14 i 32 są dzielnikami 2016.

Znacznie węższa jest żartobliwa elita zwana binarnymi liczbami Cyklopa, czyli takimi, w których zapisie dwójkowym występuje tylko jedno zero-oko umieszczone dokładnie po środku. 2015 to 11111011111. Para 2015 i 2016 ma jeszcze jedną osobliwą własność: kwadrat każdej z nich składa się z takich samych cyfr (0,2,4,5,6). Następną taką parę tworzą 2183 i 2184.

Na koniec coś dla przesądnych: x3x2x=2015 dla x=13, zaś piątków trzynastego dotyczy drugie zadanie konkursowe.

 

ZADANIA

  1. Mamy trzy liczby całkowite dodatnie takie, że suma każdych dwóch z nich jest kwadratem. Należy udowodnić, że dwie z tych liczb nie mogą być nieparzyste.
  2. Rok 2015 należy do lat, w których liczba piątków trzynastego jest największą z możliwych, czyli wynosi trzy. Który następny rok będzie równie bogaty w piątki trzynastego?

  3. Cyfry w zapisie mnożenia zasłonięto kratkami. Tylko cyfra ukryta za różową kratką nie jest żadną z występujących w liczbie 2015. Rozszyfruj mnożenie.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 28 lutego br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG02/15, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej jednego zadania wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Pożegnanie z rzeczywistością Jimma Baggotta ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński. 

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla Polityki.