nauki ścisłe
Autor: Marek Penszko | dodano: 2014-12-22
Koza na okrągło

Czym różni się koza matematyczna od zwykłej domowej?

Głównie tym, że jest uwiązana, co w hodowli zdarza się bardzo rzadko. Koza jest zwierzęciem inteligentnym i lubiącym swobodę. Po uwiązaniu przystępuje do strajku głodowego, a ściślej – zaczyna się tylko tak paść, żeby nie paść, więc praktycznie pożytku z niej nie ma. Zapewne nie wiedział o tym Henry Dudeney, autor pierwszego zadania z kozą matematyczną, opublikowanego w roku 1900 na łamach angielskiego tygodnika Weekly Dispatch:

Na półakrowej łące, która ma kształt trójkąta równobocznego, pasie się koza przywiązana do słupka w rogu łąki. Jak długi jest postronek, jeśli koza może zjeść trawę z połowy trójkątnego pola? Zakładamy, że koniec postronka wyznacza zasięg konsumpcji.

Dwa lata wcześniej w innym brytyjskim tygodniku Dudeney zamieścił bliźniacze zadanie, w którym łąka miała prostokątny kształt, a połowę jej powierzchni ogałacała z trawy przywiązana w rogu krowa. Być może późniejsze zastąpienie krowy kozą było przewrotne, ponieważ ta ostatnia jest zwierzęciem bardziej rozrywkowym. W każdym razie od początku XX wieku matematyczna koza zdominowała „wypasione” łamigłówki, z rzadka tylko ustępując miejsca innym zwierzętom.

Oba findesieclowe zadania są na poziomie gimnazjalnym – mogłyby uatrakcyjnić lekcję na temat okręgu, ze szczególnym uwzględnieniem wycinka kołowego. Koza na trójkątnej łące jest jednak nieco bardziej rozrywkowa także ze względu na sprytne rozwiązanie zaproponowane przez Dudeneya. Zauważył on, że po sześciokrotnym powiększeniu łąki powstaje nieco prostsza sytuacja, przedstawiona na rys. 1. Teraz zadanie sprowadza się do obliczenia promienia r koła o powierzchni dwukrotnie mniejszej od pola danego sześciokąta. Na przykład, przy założeniu, że łąka ma powierzchnię p/3, pole sześciokąta równe jest 2p, a zatem 2pr2=2p, czyli r=1.

Trudno dokładnie określić, kto pierwszy przywiązał kozę najbardziej spektakularnie, czyli na skraju okrągłej łąki. Prawdopodobnie uczynił to na początku lat 40. angielski matematyk Dan Pedoe, przypominając w „fabularyzowanej” formie na łamach popularnego pisma Mathematical Gazette zadanie nieco starsze niż wspomniane łamigłówki Dudeneya:

Koło A o promieniu R przecięte jest kołem B, którego środek znajduje się na okręgu A. Pole części wspólnej obu kół równe jest połowie pola A. Jaki jest promień r koła B?

Ponieważ Mathematical Gazette adresowana jest głównie do nastoletnich czytelników, interesujących się matematyką, więc wzbogacenie odkurzonego zadania o fabułkę było uzasadnione – koło A zmieniło się w łąkę, a promień koła B w postronek z palikiem na jednym końcu – na obwodzie koła A i z kozą na drugim. W takiej formie zadanie co pewien czas powraca, spędzając sen z powiek nie tylko miłośnikom łamania głowy. Szkopuł tkwi po pierwsze – w ustaleniu sposobu rozwiązywania, po drugie – w tym, że uzyskanie rozwiązania w postaci wzoru na promień, czyli jako funkcji jawnej, jest niemożliwe. Można tylko dojść do funkcji uwikłanej i na tej podstawie oszacować wartość promienia. Zacznijmy jednak od początku.

 

Rys. 1

Klasyczny, ale dość żmudny sposób radzenia sobie z kozim postronkiem jest oparty na wycinkach kołowych. Na rys. 2 punkt C to środek koła A o promieniu R, zaś punkt O – środek koła B o promieniu r. Ciepłymi kolorami oznaczono połowę części wspólnej obu kół, czyli – uwzględniając podany w zadaniu warunek – 1/4 powierzchni koła A. Pole tej „ciepłej” figury tworzy suma pól żółto-różowego (wycinek koła A) i żółto-pomarańczowego (wycinek koła B) pomniejszona o żółty trójkąt. Można zatem, korzystając z wzorów na pole wycinka kołowego i trójkąta, napisać wzór startowy na kozią część łąki (kąty w radianach):

 

S = 2(R2a/2 + r2b/2 – Rh/2)


Rys. 2 


Rys. 3

Dalsze przekształcanie tego wzoru zmierza do ograniczenia do jednej liczby zmiennych. Podstawą przekształceń są zależności trygonometryczne w żółtym trójkącie. Można też skorzystać z tych zależności, zaczynając rozwiązywanie inaczej – po nowemu. Nowe polega na rozpoczęciu nie od wycinków kołowych, lecz od odcinków kół oznaczonych kolorami niebieskim i fioletowym na rys. 3. Wzór na pole P takiego odcinka (rys. 4) jest mało znany, choć można go znaleźć w podręcznikach do geometrii; łatwo go także wyprowadzić:

P = r2(J – sinJ)/2 

Wzór wyjściowy będzie zatem wyglądał następująco:

S = R2(2a–sin2a)/2 + r2(2b – sin2b)/2

Kolej na przekształcenia – takie, aby po prawej stronie pozostała tylko jedna zmienna. Żółty trójkąt na rys. 2, występujący także na rys. 3, jest równoramienny, a zatem: 

a = p–2b

Z kolei po poprowadzeniu w tym trójkącie wysokości z wierzchołka C łatwo zauważyć, że:

r = 2Rcosb

Po podstawieniu obu wartości do wzoru na S i po przekształceniach otrzymamy:

S = R2(p + 2bcos2b – sin2b)

Skoro S ma być równe połowie koła A, czyli pR2/2, zatem wzór końcowy, w którym jedyna zmienną jest kąt b, przybierze postać: sin2b – 2bcos2b = p/2

Niemożliwe jest takie przekształcenie tego wzoru, aby wartość kąta b udało się bezpośrednio wyliczyć. Tym bardziej nie jest to możliwe dla promienia r=2Rcosb. Wypada zatem sięgnąć po kalkulator (lub skorzystać z komputera) i aproksymując, określić najpierw wartość kąta b z określoną dokładnością, a potem długość postronka. Oto wyniki po zaokrągleniu: b=54°35’39’’, r=1,15872847R.


Rys. 4

Zadanie z kozą doczekało się przynajmniej kilku wariacji na temat. Zmieniał się kształt łąki i miejsce palika, koza pasła się na zewnątrz łąki, na łące pojawiały się przeszkody – duże, zwykle prostokątne lub koliste obiekty, które koza musiała okrążać. Większość tych modyfikacji jest jednak rozrywkowa inaczej, czyli bardzo skomplikowana obliczeniowo, wymagająca stosowania na przykład rachunku całkowego. Nie wymagają tego jednak poniższe dwa zadania konkursowe, choć zapewne łatwe nie są.

1. Przyzagrodowa łączka o powierzchni 4 arów ma kształt kwadratu. W połowie boku tego kwadratu wbity jest palik, do którego na postronku uwiązano kozę. Jak długi jest postronek (z dokładnością do centymetra), jeśli koza zjada trawę z połowy łączki?

2. Na środku nieograniczonej, pustej łąki należy uwiązać kozę tak, aby zjadała trawę z części łąki w kształcie półkola. Opracuj i opisz sposób uwiązania (podpowiedź: jeden postronek nie wystarczy).       

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 stycznia br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG01/15. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej jednego zadania wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Leonarda Susskinda, George'a Hrabovskiego Teoretyczne minimum. Co musisz wiedzieć, żeby zacząć zajmować się fizyką ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

 

ROZWIĄZANIA ZADAŃ

Z NUMERU październikowego
1.
Nowy układ kart (zgodnie z ruchem wskazówek zegara): As-3–7-4–2-10–6-8–5-9.
2.
Układ kart (rzędami od góry): A-W-K-D/W-K-A-D/K-D-A-W/W-D-A-K.
3.
W środku leży walet (układ kart: D-K-A/W-W-D/D-K-A).

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań nagrodę, książkę Rogera M. Hazena Historia Ziemi. Od gwiezdnego pyłu do żyjącej planety, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Tomasz Kowalczyk, Michał Knapik, Karolina Nowaczyk, Annika Olejarz, Artur Tomaszewski.

Z NUMERU listopadowego
1.
1 i 3 – to dwa klawisze, których wciskanie (do chwili, gdy suma w okienku kalkulatora nie będzie mniejsza o mniej niż 14 od sumy końcowej) zapewnia wygraną.
2.
13805 × 40268 = 555899740.
3.
I. x+1=a; II. 1/a=1/(x+1)=b; III. 1/x=c; IV. c–b=1/x–1/(x+1)=1/(x2+x)=d; V. 1/d=x2+x=e; VI. e–x=x2 (kolejność etapów może być nieco inna).
4.
Są cztery rozwiązania parami „bliźniacze” (wystarczyło znaleźć jedno): zamiana miejscami 1–7, 2–8, 4–6 prowadzi do dodawania 129+654=783; 1–8, 2–7, 4–6 – 219+654=873; 1–7, 3–9, 4–5 – 183+546=729; 1–9, 3–7, 4–5 – 381+546=927.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań
nagrodę, książkę Michio Kaku Przyszłość umysłu, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Paweł Gąsior, Joanna Jałmużna, Andrzej Księżny, Jarosław Tajcher, Andrzej Żołyński.

Więcej w miesięczniku „Świat Nauki" nr 01/2015 »
Drukuj »
Ten artykuł nie został jeszcze skomentowany.
Aktualne numery
11/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
20
W 1985 r. Microsoft zaprezentował system operacyjny Windows 1.0.
Warto przeczytać
Historia Polski pełna jest mitów, półprawd, przemilczeń i niedomówień. Różne jej wątki bywały w ciągu wieków retuszowane, poprawiane i wygładzane, by w końcu przybrać postać miłej dla ucha opowieści – stawały się narodowymi mitami.

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Marek Penszko | dodano: 2014-12-22
Koza na okrągło

Czym różni się koza matematyczna od zwykłej domowej?

Głównie tym, że jest uwiązana, co w hodowli zdarza się bardzo rzadko. Koza jest zwierzęciem inteligentnym i lubiącym swobodę. Po uwiązaniu przystępuje do strajku głodowego, a ściślej – zaczyna się tylko tak paść, żeby nie paść, więc praktycznie pożytku z niej nie ma. Zapewne nie wiedział o tym Henry Dudeney, autor pierwszego zadania z kozą matematyczną, opublikowanego w roku 1900 na łamach angielskiego tygodnika Weekly Dispatch:

Na półakrowej łące, która ma kształt trójkąta równobocznego, pasie się koza przywiązana do słupka w rogu łąki. Jak długi jest postronek, jeśli koza może zjeść trawę z połowy trójkątnego pola? Zakładamy, że koniec postronka wyznacza zasięg konsumpcji.

Dwa lata wcześniej w innym brytyjskim tygodniku Dudeney zamieścił bliźniacze zadanie, w którym łąka miała prostokątny kształt, a połowę jej powierzchni ogałacała z trawy przywiązana w rogu krowa. Być może późniejsze zastąpienie krowy kozą było przewrotne, ponieważ ta ostatnia jest zwierzęciem bardziej rozrywkowym. W każdym razie od początku XX wieku matematyczna koza zdominowała „wypasione” łamigłówki, z rzadka tylko ustępując miejsca innym zwierzętom.

Oba findesieclowe zadania są na poziomie gimnazjalnym – mogłyby uatrakcyjnić lekcję na temat okręgu, ze szczególnym uwzględnieniem wycinka kołowego. Koza na trójkątnej łące jest jednak nieco bardziej rozrywkowa także ze względu na sprytne rozwiązanie zaproponowane przez Dudeneya. Zauważył on, że po sześciokrotnym powiększeniu łąki powstaje nieco prostsza sytuacja, przedstawiona na rys. 1. Teraz zadanie sprowadza się do obliczenia promienia r koła o powierzchni dwukrotnie mniejszej od pola danego sześciokąta. Na przykład, przy założeniu, że łąka ma powierzchnię p/3, pole sześciokąta równe jest 2p, a zatem 2pr2=2p, czyli r=1.

Trudno dokładnie określić, kto pierwszy przywiązał kozę najbardziej spektakularnie, czyli na skraju okrągłej łąki. Prawdopodobnie uczynił to na początku lat 40. angielski matematyk Dan Pedoe, przypominając w „fabularyzowanej” formie na łamach popularnego pisma Mathematical Gazette zadanie nieco starsze niż wspomniane łamigłówki Dudeneya:

Koło A o promieniu R przecięte jest kołem B, którego środek znajduje się na okręgu A. Pole części wspólnej obu kół równe jest połowie pola A. Jaki jest promień r koła B?

Ponieważ Mathematical Gazette adresowana jest głównie do nastoletnich czytelników, interesujących się matematyką, więc wzbogacenie odkurzonego zadania o fabułkę było uzasadnione – koło A zmieniło się w łąkę, a promień koła B w postronek z palikiem na jednym końcu – na obwodzie koła A i z kozą na drugim. W takiej formie zadanie co pewien czas powraca, spędzając sen z powiek nie tylko miłośnikom łamania głowy. Szkopuł tkwi po pierwsze – w ustaleniu sposobu rozwiązywania, po drugie – w tym, że uzyskanie rozwiązania w postaci wzoru na promień, czyli jako funkcji jawnej, jest niemożliwe. Można tylko dojść do funkcji uwikłanej i na tej podstawie oszacować wartość promienia. Zacznijmy jednak od początku.

 

Rys. 1

Klasyczny, ale dość żmudny sposób radzenia sobie z kozim postronkiem jest oparty na wycinkach kołowych. Na rys. 2 punkt C to środek koła A o promieniu R, zaś punkt O – środek koła B o promieniu r. Ciepłymi kolorami oznaczono połowę części wspólnej obu kół, czyli – uwzględniając podany w zadaniu warunek – 1/4 powierzchni koła A. Pole tej „ciepłej” figury tworzy suma pól żółto-różowego (wycinek koła A) i żółto-pomarańczowego (wycinek koła B) pomniejszona o żółty trójkąt. Można zatem, korzystając z wzorów na pole wycinka kołowego i trójkąta, napisać wzór startowy na kozią część łąki (kąty w radianach):

 

S = 2(R2a/2 + r2b/2 – Rh/2)


Rys. 2 


Rys. 3

Dalsze przekształcanie tego wzoru zmierza do ograniczenia do jednej liczby zmiennych. Podstawą przekształceń są zależności trygonometryczne w żółtym trójkącie. Można też skorzystać z tych zależności, zaczynając rozwiązywanie inaczej – po nowemu. Nowe polega na rozpoczęciu nie od wycinków kołowych, lecz od odcinków kół oznaczonych kolorami niebieskim i fioletowym na rys. 3. Wzór na pole P takiego odcinka (rys. 4) jest mało znany, choć można go znaleźć w podręcznikach do geometrii; łatwo go także wyprowadzić:

P = r2(J – sinJ)/2 

Wzór wyjściowy będzie zatem wyglądał następująco:

S = R2(2a–sin2a)/2 + r2(2b – sin2b)/2

Kolej na przekształcenia – takie, aby po prawej stronie pozostała tylko jedna zmienna. Żółty trójkąt na rys. 2, występujący także na rys. 3, jest równoramienny, a zatem: 

a = p–2b

Z kolei po poprowadzeniu w tym trójkącie wysokości z wierzchołka C łatwo zauważyć, że:

r = 2Rcosb

Po podstawieniu obu wartości do wzoru na S i po przekształceniach otrzymamy:

S = R2(p + 2bcos2b – sin2b)

Skoro S ma być równe połowie koła A, czyli pR2/2, zatem wzór końcowy, w którym jedyna zmienną jest kąt b, przybierze postać: sin2b – 2bcos2b = p/2

Niemożliwe jest takie przekształcenie tego wzoru, aby wartość kąta b udało się bezpośrednio wyliczyć. Tym bardziej nie jest to możliwe dla promienia r=2Rcosb. Wypada zatem sięgnąć po kalkulator (lub skorzystać z komputera) i aproksymując, określić najpierw wartość kąta b z określoną dokładnością, a potem długość postronka. Oto wyniki po zaokrągleniu: b=54°35’39’’, r=1,15872847R.


Rys. 4

Zadanie z kozą doczekało się przynajmniej kilku wariacji na temat. Zmieniał się kształt łąki i miejsce palika, koza pasła się na zewnątrz łąki, na łące pojawiały się przeszkody – duże, zwykle prostokątne lub koliste obiekty, które koza musiała okrążać. Większość tych modyfikacji jest jednak rozrywkowa inaczej, czyli bardzo skomplikowana obliczeniowo, wymagająca stosowania na przykład rachunku całkowego. Nie wymagają tego jednak poniższe dwa zadania konkursowe, choć zapewne łatwe nie są.

1. Przyzagrodowa łączka o powierzchni 4 arów ma kształt kwadratu. W połowie boku tego kwadratu wbity jest palik, do którego na postronku uwiązano kozę. Jak długi jest postronek (z dokładnością do centymetra), jeśli koza zjada trawę z połowy łączki?

2. Na środku nieograniczonej, pustej łąki należy uwiązać kozę tak, aby zjadała trawę z części łąki w kształcie półkola. Opracuj i opisz sposób uwiązania (podpowiedź: jeden postronek nie wystarczy).       

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 stycznia br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG01/15. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej jednego zadania wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Leonarda Susskinda, George'a Hrabovskiego Teoretyczne minimum. Co musisz wiedzieć, żeby zacząć zajmować się fizyką ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

 

ROZWIĄZANIA ZADAŃ

Z NUMERU październikowego
1.
Nowy układ kart (zgodnie z ruchem wskazówek zegara): As-3–7-4–2-10–6-8–5-9.
2.
Układ kart (rzędami od góry): A-W-K-D/W-K-A-D/K-D-A-W/W-D-A-K.
3.
W środku leży walet (układ kart: D-K-A/W-W-D/D-K-A).

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań nagrodę, książkę Rogera M. Hazena Historia Ziemi. Od gwiezdnego pyłu do żyjącej planety, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Tomasz Kowalczyk, Michał Knapik, Karolina Nowaczyk, Annika Olejarz, Artur Tomaszewski.

Z NUMERU listopadowego
1.
1 i 3 – to dwa klawisze, których wciskanie (do chwili, gdy suma w okienku kalkulatora nie będzie mniejsza o mniej niż 14 od sumy końcowej) zapewnia wygraną.
2.
13805 × 40268 = 555899740.
3.
I. x+1=a; II. 1/a=1/(x+1)=b; III. 1/x=c; IV. c–b=1/x–1/(x+1)=1/(x2+x)=d; V. 1/d=x2+x=e; VI. e–x=x2 (kolejność etapów może być nieco inna).
4.
Są cztery rozwiązania parami „bliźniacze” (wystarczyło znaleźć jedno): zamiana miejscami 1–7, 2–8, 4–6 prowadzi do dodawania 129+654=783; 1–8, 2–7, 4–6 – 219+654=873; 1–7, 3–9, 4–5 – 183+546=729; 1–9, 3–7, 4–5 – 381+546=927.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań
nagrodę, książkę Michio Kaku Przyszłość umysłu, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Paweł Gąsior, Joanna Jałmużna, Andrzej Księżny, Jarosław Tajcher, Andrzej Żołyński.