nauki ścisłe
dodano: 2014-10-20
Cztery dekady liczydełka

Jaki praktyczny wynalazek był na początku lat 70. XX wieku prawie nieznany i kosztował kilkaset dolarów, a pięć lat później większość z nas (tych, którzy byli wówczas na świecie) nosiła go ze sobą na co dzień?

Pytanie wydaje się łatwe, gdy znamy odpowiedź, ale większość osób – nie tylko w młodym i średnim wieku – ma kłopot z odgadnięciem, że chodzi o minikalkulator (przeważnie typują zapalniczkę). Współczesne rozbudowane wersje tego urządzenia możliwościami niewiele ustępują mikrokomputerom. Te najprostsze sprzed czterech dekad umożliwiały korzystanie tylko z podstawowych działań, ale to wystarczyło, by nieco wzbogacone szybko odesłały do lamusa suwaki logarytmiczne. W połowie lat 70. gazety pisały o kalkulatorowym boomie, a dydaktycy spierali się, czy pozwolić uczniom korzystać z minikalkulatorów na lekcjach matematyki. Zauważono też, że urządzenia te stały się w rękach młodych ludzi praktycznymi zabawkami. Nazywano je „elektronicznymi hamburgerami”, czyli czymś, co nie tylko zaspokaja jakąś potrzebę, ale także sprawia przyjemność po prostu dlatego, że się tym dysponuje, posługuje i… szpanuje.

Cieszyła sama możliwość uporania się w mgnieniu oka z czynnością, która jeszcze niedawno wymagała od niejednego ucznia sporo wysiłku, jak na przykład pomnożenie dwóch liczb trzycyfrowych. Takie niefrasobliwe wykonywanie działań zaowocowało wieloma grami, trikami i zabawami liczbowymi. Jedna z pierwszych oparta była na spostrzeżeniu, że każdą kanciastą cyfrę na wyświetlaczu można przy odrobinie wyobraźni uznać – po obróceniu kalkulatora o 180°– za jakąś literę. Wśród naszej młodzieży najpopularniejsza była niepochlebna opinia o czyimś intelekcie, wyrażona obróconym „do góry nogami” iloczynem 110 przez 653. Warto zauważyć, że żadna inna para trzycyfrowych liczb nie umożliwia wydania takiej opinii. Anglosasi wymyślili mnóstwo podobnych figli. Autorem jednego z ciekawszych, w dodatku ubranego w polityczną fabułkę, jest autor „Sztuki programowania” Donald Knuth.

337 Arabów i 337 Izraelczyków walczy na kawałku pustyni, który ma kształt kwadratu o boku 8424 m. Kto wyjdzie zwycięsko z tego starcia?

Aby otrzymać odpowiedź, podnieś do kwadratu najpierw 337, potem 8424, a następnie dodaj oba kwadraty.

Nie przypominam sobie innych figli polskojęzycznych poza podanym wyżej. Ich wymyślanie jest łamigłówką słowno-literową. Może komuś uda się ułożyć coś fajnego, korzystając z tabelki obejmującej wszystkie „przekłady” cyfr na litery (rys. 1).

                rys. 1

Minikalkulator umożliwia łatwe zaobserwowanie wielu ciekawych własności liczb i działań. Na przykład granicy, do której zmierza ciąg, w którym każda kolejna liczba jest pierwiastkiem kwadratowym z poprzedniej. Wystarczy wciskać raz za razem klawisz z symbolem pierwiastka i obserwować, jak od pewnego momentu w okienku zaczyna przybywać zer poprzedzonych jedynką – jeśli zaczęliśmy od liczby większej od jedynki  albo dziewiątek za zerem – gdy początkowa liczba była mniejsza od 1.

Miły dla oka wynik powstanie, gdy największą podzielną przez 8 liczbę złożoną z różnych cyfr (proszę przypomnieć sobie cechę podzielności przez 8), podzielimy właśnie przez 8. Inną możliwością jest szybkie „odkrycie” tzw. stałej Kaprekara. Należy zacząć od wpisania dowolnej liczby czterocyfrowej, w której każda następna cyfra jest nie większa od poprzedniej i wszystkie nie są jednakowe. Od tej liczby odejmujemy jej palindrom (liczbę zapisaną wspak), po czym otrzymaną różnicę przekształcamy, ustawiając cyfry w kolejności rosnącej. Ten dwuetapowy cykl: ustawienie cyfr różnicy w kolejności rosnącej → odjęcie palindromu – kontynuujemy do pojawienia się, najpóźniej po siódmym cyklu, stałej Kaprekara, czyli liczby 6174. Ta liczba już się nie zmienia, ponieważ 7641–1467=6174.

Niezwykłe – choć łatwe do wyjaśnienia – własności liczb są podstawą wielu prostych trików i zabaw, które dzięki zastosowaniu minikalkulatora nabierają tempa, a więc zyskują na atrakcyjności. Oto kilka z nich.

1. Wpisz liczbę 98765432 i podziel ją przez 8. Powiedz mi teraz, jaka jest twoja szczęśliwa cyfra. Siedem? W takim razie pomnóż wynik, który pojawił się w okienku, przez 63. I co, jest pełnia szczęścia? Każde x prowadzi do pojawienia się sznureczka iksów, jeśli powyższy iloraz pomnożyć przez 9x. Taki sznureczek można też uzyskać w prostszy sposób. Wystarczy podzielić liczbę x przez 9, jeżeli jest jednocyfrowa, albo przez 99, jeżeli jest dwucyfrowa, przez 999, gdy jest trzycyfrowa itd. Oczywiście, gdy liczba x będzie utworzona tylko z dziewiątek, sznureczek się nie pojawi.

2. Pomyśl i zapamiętaj dowolną liczbę trzycyfrową. Zapisz ją dwukrotnie w okienku kalkulatora (np. po wybraniu 472 do okienka trafi 472472). Podziel tę sześciocyfrową liczbę kolejno przez 13, przez 11 i przez 7. Ostatni iloraz będzie zawsze liczbą pomyślaną na początku. Na podobnej zasadzie „podwojona” liczba 4-cyfrowa ulega odtworzeniu po podzieleniu jej przez 137 i 73.

3. Rzuć kostką do gry; wyrzuconą liczbę oczek pomnóż przez 999999, a iloczyn podziel przez 7. Wynik zawsze będzie złożony z tego samego kompletu sześciu cyfr – 1, 2, 4, 5, 7, 8.

4. Jedna osoba wpisuje do kalkulatora rok swojego urodzenia. Druga dodaje do tej liczby rok swojego urodzenia. Następnie pierwsza dodaje do tej sumy tyle lat, ile kończy w bieżącym roku, po czym druga robi to samo. Suma czterech liczb jest do przewidzenia – zawsze będzie równa 4028. Zaskakujące? Chyba nie.

Najbardziej „wyrachowana” sztuka, do której przydaje się minikalkulator, oparta jest na tzw. chińskim twierdzeniu o resztach. Iluzjonista odgaduje w niej jakąś liczbę, znając tylko trzy reszty z jej dzielenia przez trzy różne liczby. Jeśli na przykład umówimy się, że odgadywana liczba nie może być większa niż przyszły rok (2015), to sztukmistrz informowany jest o resztach: A (z dzielenia przez a=5), B (przez b=13) i C (przez c=31). Zadanie nie jest proste obliczeniowo, bowiem aby rozszyfrować liczbę, trzeba uporać się z działaniem: (xA+yB+zC):2015, gdzie x, y, z są współczynnikami, które na wstępie należy obliczyć. Współczynnik x równy jest najmniejszej wielokrotności iloczynu b×c, która przy dzieleniu przez a da resztę 1. Policzmy: b×c=13×31=403, a więc x=806. Współczynnik y to najmniejsza wielokrotność iloczynu a×c, która przy dzieleniu przez b da resztę 1, czyli a×c=155, zaś y=1860 (1860:13=143 i reszta 1). Współczynnik z jest najmniejszą wielokrotnością iloczynu a×b, która przy dzieleniu przez c da resztę 1: a×b=65, z=1365 (1365:31=44 i reszta 1).

Finalny wzór do triku prezentuje się „groźnie”: (806A+1860B+1365C):2015 – reszta z tego dzielenia jest odgadywaną liczbą. Sprawdźmy działanie wzoru. Załóżmy, że odgadujemy rok odsieczy wiedeńskiej, czyli 1683. Wówczas A=3, B=6, C=9. Po podstawieniu tych wartości do wzoru otrzymujemy: (2418+11160+12285):2015, a dalej 25863:2015=12 i reszta 1683. Działa!

W złotych czasach minikalkulatorów wymyślono wiele gier z ich wykorzystaniem. W niektórych kalkulatory są tylko przydatne, w innych prawie niezbędne. Jedna z nich warta jest przypomnienia.

 

 

                                rys. 2

„Planszę” do gry stanowi dziewięć klawiszy z cyframi od 1 do 9. Ich typowy układ na kalkulatorze wygląda tak, jak na rys. 2. Dwie osoby wykonują ruchy na przemian. Każdy ruch polega na wciśnięciu dwóch klawiszy: najpierw z cyfrą, a potem z plusem. W pierwszym ruchu wciskany jest dowolny klawisz, ale w następnych tylko taki, który sąsiaduje (wprost lub na ukos) z wciśniętym w poprzednim ruchu. Na przykład, po wciśnięciu 4 do wyboru pozostają 1, 2, 5, 7, 8; po 5 można dodać każdą cyfrę oprócz 5; następną po 3 będzie tylko jedna z cyfr 2, 5, 6. W trakcie rozgrywki w okienku rośnie suma kolejnych składników. Przegrywa ten, kto przekroczy jakąś wcześniej ustaloną jej wartość.

 

Gra jest ciekawa ze względu na nieprostą strategię, która praktycznie zaczyna się od momentu, gdy w okienku pojawi się suma mniejsza o nie więcej niż 13 od ustalonej końcowej. Jeśli więc końcową sumą będzie 50, to gracz, który przed wykonaniem ruchu jako pierwszy zobaczy w okienku liczbę 37 lub większą, może zapewnić sobie wygraną, czyli zmusić przeciwnika do przekroczenia w jednym z kolejnych ruchów 50. Wystarczy, jeśli będzie umiejętnie przewidywał możliwe zmiany sytuacji albo… skorzysta z zamieszczonej obok tabelki. Podane są w niej cyfry odpowiadające widocznej w okienku sumie, których wciśnięcie zapewnia wygraną, czyli wcześniej lub później zmusza przeciwnika do przekroczenia pięćdziesiątki. Wybierając jakąkolwiek inną cyfrę, możemy sami wpaść w tarapaty. Na przykład, gdy w okienku jest 41, należy wcisnąć 1, 7, 8 lub 9. Łatwo sprawdzić, że każda inna cyfra to „samobój”.

Minikalkulatory mają spory udział w rozwoju matematyki rekreacyjnej, choć głównie formalny. Ułatwiają, podobnie jak w wielu „poważnych” działach nauki, przebrnięcie przez etap wymagający żmudnych obliczeń, jeśli taki występuje w trakcie rozwiązywania zadań. Przykładem jest drugie z poniższych zadań konkursowych. To kryptarytm, z którym można się uporać na logikę, ale w końcówce przydaje się kalkulator .

 

ZADANIA

1.     W opisanej powyżej grze z kalkulatorem, rozpoczynający zawsze może zapewnić sobie zwycięstwo, jeśli do momentu, gdy w okienku pojawi się suma mniejsza o nie więcej niż 13 od ustalonej końcowej, będzie stosował bardzo prostą strategię, polegającą na wciskaniu w każdym ruchu – w zależności od sytuacji – jednego z dwóch klawiszy. Których?

2.     W zapisie mnożenia dwóch liczb 5-cyfrowych (rys. 3) niektóre cyfry – w tym wszystkie w czynnikach – zastąpiono literami, a pozostałe kratkami. Takim samym cyfrom odpowiadają jednakowe litery, a różnym – różne. W kratkach mogą pojawić się dowolne cyfry. Rozszyfruj działanie.

 

rys. 3

3.     Kalkulator używany w Nibylandii umożliwia wykonywanie tylko trzech działań: x–y, x+1 oraz 1/x. Dysponuje także pamięcią, a więc może przechowywać wyniki działań. Jak z pomocą tego kalkulatora, wykonując kolejno tylko sześć działań, podnieść dowolną liczbę naturalną większą od zera do kwadratu?

4.     Układ klawiszy z cyframi i znakiem plus z lewej strony (rys. 2) przypomina dodawanie 789+456=123, które jest oczywiście błędne. Jak uczynić je poprawnym, trzykrotnie zamieniając miejscami dwie cyfry?

 

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 listopada br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG11/14, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02-697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch  zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Michio Kaku Przyszłość umysłu ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

 

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Z NUMERU WRZEŚNIOWEGO

1.      Współrzędne czerwonych poziomych odcinków na diagramie: a2, b3, b6, c2, c7, d1, d3, f1, f6, f7.

2.      Pierwsze rozwiązanie: A-B-G-E-F-H-D-J-K-C-I-L-A; drugie rozwiązanie: A-B-G-E-C-K-J-D-H-F-I-L.

3.      Współrzędne końców stików: a4-c5, e6-h6, h2-h3 oraz f4-h3 lub f5-h6.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań nagrodę, książkę Seana Carrolla Cząstka na końcu Wszechświata. Bozon Higgsa i nowa wizja rzeczywistości, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Monika Fiołna, Marzena Gołuńska-Bendyk, Agnieszka Kita, Adam Mazurkiewicz, Jakub Wiszniewski.

 

Więcej w miesięczniku „Świat Nauki" nr 11/2014 »
Drukuj »
Komentarze
Dodany przez: Andrzej | 2014-11-08
Człowiek niewylewający za kołnierz = (tuzin) x (liczba pierwsza będąca sumą siedmiu (czterocyfrowych) kolejnych liczb pierwszych)
Aktualne numery
12/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
23
W 2003 r. miało miejsce całkowite zaćmienie Słońca widoczne w Australii, Nowej Zelandii, Antarktyce i Ameryce Południowej.
Warto przeczytać
Zmyl trop to użyteczna, ale i pełna powabu oraz przekonująca, kieszonkowa esencja wszystkiego, co chcielibyście wiedzieć o obronie przed inwigilacją.

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

dodano: 2014-10-20
Cztery dekady liczydełka

Jaki praktyczny wynalazek był na początku lat 70. XX wieku prawie nieznany i kosztował kilkaset dolarów, a pięć lat później większość z nas (tych, którzy byli wówczas na świecie) nosiła go ze sobą na co dzień?

Pytanie wydaje się łatwe, gdy znamy odpowiedź, ale większość osób – nie tylko w młodym i średnim wieku – ma kłopot z odgadnięciem, że chodzi o minikalkulator (przeważnie typują zapalniczkę). Współczesne rozbudowane wersje tego urządzenia możliwościami niewiele ustępują mikrokomputerom. Te najprostsze sprzed czterech dekad umożliwiały korzystanie tylko z podstawowych działań, ale to wystarczyło, by nieco wzbogacone szybko odesłały do lamusa suwaki logarytmiczne. W połowie lat 70. gazety pisały o kalkulatorowym boomie, a dydaktycy spierali się, czy pozwolić uczniom korzystać z minikalkulatorów na lekcjach matematyki. Zauważono też, że urządzenia te stały się w rękach młodych ludzi praktycznymi zabawkami. Nazywano je „elektronicznymi hamburgerami”, czyli czymś, co nie tylko zaspokaja jakąś potrzebę, ale także sprawia przyjemność po prostu dlatego, że się tym dysponuje, posługuje i… szpanuje.

Cieszyła sama możliwość uporania się w mgnieniu oka z czynnością, która jeszcze niedawno wymagała od niejednego ucznia sporo wysiłku, jak na przykład pomnożenie dwóch liczb trzycyfrowych. Takie niefrasobliwe wykonywanie działań zaowocowało wieloma grami, trikami i zabawami liczbowymi. Jedna z pierwszych oparta była na spostrzeżeniu, że każdą kanciastą cyfrę na wyświetlaczu można przy odrobinie wyobraźni uznać – po obróceniu kalkulatora o 180°– za jakąś literę. Wśród naszej młodzieży najpopularniejsza była niepochlebna opinia o czyimś intelekcie, wyrażona obróconym „do góry nogami” iloczynem 110 przez 653. Warto zauważyć, że żadna inna para trzycyfrowych liczb nie umożliwia wydania takiej opinii. Anglosasi wymyślili mnóstwo podobnych figli. Autorem jednego z ciekawszych, w dodatku ubranego w polityczną fabułkę, jest autor „Sztuki programowania” Donald Knuth.

337 Arabów i 337 Izraelczyków walczy na kawałku pustyni, który ma kształt kwadratu o boku 8424 m. Kto wyjdzie zwycięsko z tego starcia?

Aby otrzymać odpowiedź, podnieś do kwadratu najpierw 337, potem 8424, a następnie dodaj oba kwadraty.

Nie przypominam sobie innych figli polskojęzycznych poza podanym wyżej. Ich wymyślanie jest łamigłówką słowno-literową. Może komuś uda się ułożyć coś fajnego, korzystając z tabelki obejmującej wszystkie „przekłady” cyfr na litery (rys. 1).

                rys. 1

Minikalkulator umożliwia łatwe zaobserwowanie wielu ciekawych własności liczb i działań. Na przykład granicy, do której zmierza ciąg, w którym każda kolejna liczba jest pierwiastkiem kwadratowym z poprzedniej. Wystarczy wciskać raz za razem klawisz z symbolem pierwiastka i obserwować, jak od pewnego momentu w okienku zaczyna przybywać zer poprzedzonych jedynką – jeśli zaczęliśmy od liczby większej od jedynki  albo dziewiątek za zerem – gdy początkowa liczba była mniejsza od 1.

Miły dla oka wynik powstanie, gdy największą podzielną przez 8 liczbę złożoną z różnych cyfr (proszę przypomnieć sobie cechę podzielności przez 8), podzielimy właśnie przez 8. Inną możliwością jest szybkie „odkrycie” tzw. stałej Kaprekara. Należy zacząć od wpisania dowolnej liczby czterocyfrowej, w której każda następna cyfra jest nie większa od poprzedniej i wszystkie nie są jednakowe. Od tej liczby odejmujemy jej palindrom (liczbę zapisaną wspak), po czym otrzymaną różnicę przekształcamy, ustawiając cyfry w kolejności rosnącej. Ten dwuetapowy cykl: ustawienie cyfr różnicy w kolejności rosnącej → odjęcie palindromu – kontynuujemy do pojawienia się, najpóźniej po siódmym cyklu, stałej Kaprekara, czyli liczby 6174. Ta liczba już się nie zmienia, ponieważ 7641–1467=6174.

Niezwykłe – choć łatwe do wyjaśnienia – własności liczb są podstawą wielu prostych trików i zabaw, które dzięki zastosowaniu minikalkulatora nabierają tempa, a więc zyskują na atrakcyjności. Oto kilka z nich.

1. Wpisz liczbę 98765432 i podziel ją przez 8. Powiedz mi teraz, jaka jest twoja szczęśliwa cyfra. Siedem? W takim razie pomnóż wynik, który pojawił się w okienku, przez 63. I co, jest pełnia szczęścia? Każde x prowadzi do pojawienia się sznureczka iksów, jeśli powyższy iloraz pomnożyć przez 9x. Taki sznureczek można też uzyskać w prostszy sposób. Wystarczy podzielić liczbę x przez 9, jeżeli jest jednocyfrowa, albo przez 99, jeżeli jest dwucyfrowa, przez 999, gdy jest trzycyfrowa itd. Oczywiście, gdy liczba x będzie utworzona tylko z dziewiątek, sznureczek się nie pojawi.

2. Pomyśl i zapamiętaj dowolną liczbę trzycyfrową. Zapisz ją dwukrotnie w okienku kalkulatora (np. po wybraniu 472 do okienka trafi 472472). Podziel tę sześciocyfrową liczbę kolejno przez 13, przez 11 i przez 7. Ostatni iloraz będzie zawsze liczbą pomyślaną na początku. Na podobnej zasadzie „podwojona” liczba 4-cyfrowa ulega odtworzeniu po podzieleniu jej przez 137 i 73.

3. Rzuć kostką do gry; wyrzuconą liczbę oczek pomnóż przez 999999, a iloczyn podziel przez 7. Wynik zawsze będzie złożony z tego samego kompletu sześciu cyfr – 1, 2, 4, 5, 7, 8.

4. Jedna osoba wpisuje do kalkulatora rok swojego urodzenia. Druga dodaje do tej liczby rok swojego urodzenia. Następnie pierwsza dodaje do tej sumy tyle lat, ile kończy w bieżącym roku, po czym druga robi to samo. Suma czterech liczb jest do przewidzenia – zawsze będzie równa 4028. Zaskakujące? Chyba nie.

Najbardziej „wyrachowana” sztuka, do której przydaje się minikalkulator, oparta jest na tzw. chińskim twierdzeniu o resztach. Iluzjonista odgaduje w niej jakąś liczbę, znając tylko trzy reszty z jej dzielenia przez trzy różne liczby. Jeśli na przykład umówimy się, że odgadywana liczba nie może być większa niż przyszły rok (2015), to sztukmistrz informowany jest o resztach: A (z dzielenia przez a=5), B (przez b=13) i C (przez c=31). Zadanie nie jest proste obliczeniowo, bowiem aby rozszyfrować liczbę, trzeba uporać się z działaniem: (xA+yB+zC):2015, gdzie x, y, z są współczynnikami, które na wstępie należy obliczyć. Współczynnik x równy jest najmniejszej wielokrotności iloczynu b×c, która przy dzieleniu przez a da resztę 1. Policzmy: b×c=13×31=403, a więc x=806. Współczynnik y to najmniejsza wielokrotność iloczynu a×c, która przy dzieleniu przez b da resztę 1, czyli a×c=155, zaś y=1860 (1860:13=143 i reszta 1). Współczynnik z jest najmniejszą wielokrotnością iloczynu a×b, która przy dzieleniu przez c da resztę 1: a×b=65, z=1365 (1365:31=44 i reszta 1).

Finalny wzór do triku prezentuje się „groźnie”: (806A+1860B+1365C):2015 – reszta z tego dzielenia jest odgadywaną liczbą. Sprawdźmy działanie wzoru. Załóżmy, że odgadujemy rok odsieczy wiedeńskiej, czyli 1683. Wówczas A=3, B=6, C=9. Po podstawieniu tych wartości do wzoru otrzymujemy: (2418+11160+12285):2015, a dalej 25863:2015=12 i reszta 1683. Działa!

W złotych czasach minikalkulatorów wymyślono wiele gier z ich wykorzystaniem. W niektórych kalkulatory są tylko przydatne, w innych prawie niezbędne. Jedna z nich warta jest przypomnienia.

 

 

                                rys. 2

„Planszę” do gry stanowi dziewięć klawiszy z cyframi od 1 do 9. Ich typowy układ na kalkulatorze wygląda tak, jak na rys. 2. Dwie osoby wykonują ruchy na przemian. Każdy ruch polega na wciśnięciu dwóch klawiszy: najpierw z cyfrą, a potem z plusem. W pierwszym ruchu wciskany jest dowolny klawisz, ale w następnych tylko taki, który sąsiaduje (wprost lub na ukos) z wciśniętym w poprzednim ruchu. Na przykład, po wciśnięciu 4 do wyboru pozostają 1, 2, 5, 7, 8; po 5 można dodać każdą cyfrę oprócz 5; następną po 3 będzie tylko jedna z cyfr 2, 5, 6. W trakcie rozgrywki w okienku rośnie suma kolejnych składników. Przegrywa ten, kto przekroczy jakąś wcześniej ustaloną jej wartość.

 

Gra jest ciekawa ze względu na nieprostą strategię, która praktycznie zaczyna się od momentu, gdy w okienku pojawi się suma mniejsza o nie więcej niż 13 od ustalonej końcowej. Jeśli więc końcową sumą będzie 50, to gracz, który przed wykonaniem ruchu jako pierwszy zobaczy w okienku liczbę 37 lub większą, może zapewnić sobie wygraną, czyli zmusić przeciwnika do przekroczenia w jednym z kolejnych ruchów 50. Wystarczy, jeśli będzie umiejętnie przewidywał możliwe zmiany sytuacji albo… skorzysta z zamieszczonej obok tabelki. Podane są w niej cyfry odpowiadające widocznej w okienku sumie, których wciśnięcie zapewnia wygraną, czyli wcześniej lub później zmusza przeciwnika do przekroczenia pięćdziesiątki. Wybierając jakąkolwiek inną cyfrę, możemy sami wpaść w tarapaty. Na przykład, gdy w okienku jest 41, należy wcisnąć 1, 7, 8 lub 9. Łatwo sprawdzić, że każda inna cyfra to „samobój”.

Minikalkulatory mają spory udział w rozwoju matematyki rekreacyjnej, choć głównie formalny. Ułatwiają, podobnie jak w wielu „poważnych” działach nauki, przebrnięcie przez etap wymagający żmudnych obliczeń, jeśli taki występuje w trakcie rozwiązywania zadań. Przykładem jest drugie z poniższych zadań konkursowych. To kryptarytm, z którym można się uporać na logikę, ale w końcówce przydaje się kalkulator .

 

ZADANIA

1.     W opisanej powyżej grze z kalkulatorem, rozpoczynający zawsze może zapewnić sobie zwycięstwo, jeśli do momentu, gdy w okienku pojawi się suma mniejsza o nie więcej niż 13 od ustalonej końcowej, będzie stosował bardzo prostą strategię, polegającą na wciskaniu w każdym ruchu – w zależności od sytuacji – jednego z dwóch klawiszy. Których?

2.     W zapisie mnożenia dwóch liczb 5-cyfrowych (rys. 3) niektóre cyfry – w tym wszystkie w czynnikach – zastąpiono literami, a pozostałe kratkami. Takim samym cyfrom odpowiadają jednakowe litery, a różnym – różne. W kratkach mogą pojawić się dowolne cyfry. Rozszyfruj działanie.

 

rys. 3

3.     Kalkulator używany w Nibylandii umożliwia wykonywanie tylko trzech działań: x–y, x+1 oraz 1/x. Dysponuje także pamięcią, a więc może przechowywać wyniki działań. Jak z pomocą tego kalkulatora, wykonując kolejno tylko sześć działań, podnieść dowolną liczbę naturalną większą od zera do kwadratu?

4.     Układ klawiszy z cyframi i znakiem plus z lewej strony (rys. 2) przypomina dodawanie 789+456=123, które jest oczywiście błędne. Jak uczynić je poprawnym, trzykrotnie zamieniając miejscami dwie cyfry?

 

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 listopada br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG11/14, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02-697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch  zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Michio Kaku Przyszłość umysłu ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

 

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Z NUMERU WRZEŚNIOWEGO

1.      Współrzędne czerwonych poziomych odcinków na diagramie: a2, b3, b6, c2, c7, d1, d3, f1, f6, f7.

2.      Pierwsze rozwiązanie: A-B-G-E-F-H-D-J-K-C-I-L-A; drugie rozwiązanie: A-B-G-E-C-K-J-D-H-F-I-L.

3.      Współrzędne końców stików: a4-c5, e6-h6, h2-h3 oraz f4-h3 lub f5-h6.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań nagrodę, książkę Seana Carrolla Cząstka na końcu Wszechświata. Bozon Higgsa i nowa wizja rzeczywistości, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Monika Fiołna, Marzena Gołuńska-Bendyk, Agnieszka Kita, Adam Mazurkiewicz, Jakub Wiszniewski.