nauki ścisłe
Autor: Marek Penszko | dodano: 2014-09-22
Teoria grafów. Sekret starego zegara

 „Stawianie pasjansów – ulubiona rozrywka naszych babć i dziadków – jakimś cudem przetrwało do naszych czasów. Te karciane krzyżówki mają w sobie dużą moc uspokajającą, idealnie odprężają, są naprawdę dobrym wypoczynkiem. A tego niejednemu z nas trzeba”[1]

Ten cytat z książki wydanej przed ponad półwieczemchyba nie stracił na aktualności. Układanki z kart trafiły na duże i małe ekrany, ale wiele osób nadal preferuje stolikową formę w stylu retro.

Pasjanse są czasem zaliczane do łamigłówek wielochodowych, choć określenie „łamigłówki” nie wydaje się w tym przypadku zbyt trafne. Z reguły ruszanie głową sprowadza się bowiem do prostych decyzji i wyborów – którą kartę odkryć albo którą i gdzie przełożyć. Dawne, klasyczne pasjanse, są często rozrywką niemal mechaniczną, czyli, mówiąc wprost, prawie bezmyślną. Nawet jednak te najprostsze wymagają spostrzegawczości i skupienia, a przede wszystkim są skuteczną formą relaksu.

Łamanie głowy pojawia się wówczas, gdy pasjans potraktujemy jak model matematyczny i spróbujemy odpowiedzieć na pytanie: jakie jest prawdopodobieństwo, że wyjdzie, oraz jaką strategię zastosować, aby tak się stało – zakładając, że jest to możliwe. Szczególnym pasjansem – takim, którego mechanizm można „rozszyfrować” – jest co najmniej wiekowy zegar.

 

 

Rys. 1

Korzystamy z pełnej talii, czyli 52 kart, które po potasowaniu rozkładamy na 13 zakrytych stosów – po 4 karty w każdym. Dwanaście rozmieszczonych jest koliście, jak godziny na tarczy zegara, trzynasty znajduje się w środku (rys. 1). Pozycja każdego stosu na okręgu odpowiada określonej godzinie, a praktycznie wartości karty: pierwsza godzina to as, druga – dwójka, trzecia – trójka, ... , jedenasta – walet, dwunasta – dama; centralny stos jest królewski. Rozgrywkę zaczynamy od odwrócenia wierzchniej karty z centralnego stosu i umieszczenia jej, obrazkiem do góry, pod spodem stosu, oznaczającego godzinę zgodną z jej wartością. Na przykład: piątka trafi pod stos na godzinie piątej, walet – pod stos na jedenastej, as – pod stos na pierwszej itd. Następnie ze stosu, pod który trafiła karta, zdejmujemy wierzchnią kartę i postępujemy z nią identycznie, czyli umieszczamy obrazkiem do góry pod właściwym godzinowo stosem. Rozgrywkę prowadzimy dalej w taki sam sposób. Ujawniane króle należy lokować pod środkowym stosem. Pojawienie się odkrytego czwartego króla i umieszczenie go pod centralnym stosem kończy zabawę. Jeżeli do tego momentu wszystkie karty zostaną odkryte, uważa się, że pasjans wyszedł. Ujawnienie czterech króli przed odkryciem 48 pozostałych kart oznacza porażkę.

O strategii zegara nie może być mowy, bo układanka jest czysto mechaniczna, jak dzierganie na drutach. Trzeba tylko uważać, aby każde „oczko” znalazło się na właściwym miejscu. Warto natomiast zastanowić się nad dwoma zagadnieniami: jakie jest prawdopodobieństwo happy endu oraz czy można w prosty sposób przewidzieć, czy „end” będzie „happy”, czy nie.

Pozycja każdej karty na początku jest ściśle określona – zajmuje ona konkretne miejsce w danym stosie. A zatem liczba możliwych układów – permutacji z powtórzeniami (kolory pomijamy, bo nie mają znaczenia, więc każda karta występuje czterokrotnie) – jest taka sama, jak liczba możliwych układów kart w talii. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ostatnią kartą w talii będzie król? To jedna z 13 możliwości, a więc 1/13. Takie też będzie prawdopodobieństwo, że król ujawni się jako ostatni w zegarze, a to stanowi warunek, by pasjans wyszedł. Szansa na happy end jest więc niewielka.

Czy rozgrywka zawsze zakończy się odkryciem czwartego króla, niezależnie od tego, w jakim momencie to nastąpi? Czy nie może być tak, że podsuniemy kartę pod jakiś godzinowy stos, w którym wszystkie karty będą odkryte, a więc zabawa się skończy, bo na wierzchu stosu nie będzie nic do odkrycia? Nie jest to możliwe, ponieważ po umieszczeniu karty pod każdym godzinowym stosem zawsze pojawia się w nim pięć kart, więc wierzchnia musi być zakryta. Tylko środkowy stos królewski może składać się z czterech odkrytych kart po umieszczeniu pod nim czwartego króla. Z kolei odsłonięcie króla jako ostatniej karty może nastąpić tylko wtedy, gdy znajdzie się on na początku pod spodem jednego z 12 godzinowych stosów (może być też przedostatnim odkrytym, ale wtedy ostatni król powinien być w środku). Czy to oznacza, że wystarczy na początku zajrzeć pod spód zegara, aby mieć pewność, jaki będzie wynik? I tak, i nie. Tak, bo jeśli nie zauważymy króla, to możemy się od razu poddać. Nie, bo jeśli będzie król, to zakończenie pozostaje zagadką. Można ją jednak łatwo rozwiązać bez potrzeby rozgrywania pasjansa. Wystarczy skorzystać z teorii grafów.

 

 

Rys. 2

Załóżmy, że dolne karty godzinowych stosów będą takie jak na rys. 2a. Każdą z nich łączymy linią z godziną, odpowiadającą jej wartości. Po zakończeniu tej czynności wystarczy przyjrzeć się otrzymanemu grafowi, czyli układowi linii i łączących je punktów (rys. 2b). Jeżeli graf obejmuje 13 punktów oraz jest tzw. drzewem, czyli linie nigdzie nie tworzą cyklu, to pasjans wyjdzie. Na rys. 2b cykl się, niestety, pojawił – oznaczony jest na czerwono, czyli happy end nie nastąpi. Natomiast w innym układzie (rys. 3a) wszystko gra, bo w odpowiadającym mu grafie (rys. 3b) cyklu brak, czyli pasjans wyjdzie. Łatwo to sprawdzić, konstruując zegar, czyli umieszczając 12 spodnich kart tak, jak na rys. 3a (kolory nie są oczywiście istotne), a 40 pozostałych dowolnie.

 

 

Rys. 3

Dlaczego rozmieszczenie ponad 3/4 kart nie wpływa na efekt końcowy? – oto zagadka, która w pierwszej chwili może się wydać nieprosta. Wystarczy jednak uświadomić sobie, że jeśli mamy wygrać, to musimy się dobrać do spodnich kart, a jeśli się dobierzemy, to wśród nich musi być król (warunek konieczny). Dopóki to nie nastąpi, dolne karty nie odgrywają żadnej roli, a gdy nastąpi, wtedy nieobecność cyklu stanowi warunek dostateczny, zapewniający sukces. Właściwa zagadka sprowadza się więc do wyjaśnienia decydującej roli cyklu. W tym celu najlepiej zacząć od minicyklu, który pojawia się wówczas, gdy wartość dolnej karty (k) równa jest godzinie, na której jest ona umieszczona, a więc np. as znajduje się na godzinie pierwszej, czwórka na czwartej lub walet na jedenastej. Linia w grafie stanowi wówczas pętlę – wychodzi i wraca do tego samego punktu – czyli jest cyklem. W takiej sytuacji pasjans nie wyjdzie, bo stos z tak umieszczoną dolną kartą nigdy nie zostanie całkiem odkryty. Będzie tak dlatego, ponieważ pełne odkrycie stosu następuje tylko wtedy, gdy czwarta karta k – odkryta i wzięta z innego stosu – wsuwana jest pod stos z kartami k; natomiast w tym przypadku czwarta karta k pozostanie zakryta w stosie k. A co się stanie, jeśli cykl utworzą dwie dolne karty, jak w przykładzie na rys. 4? Rozumując podobnie, jak w przypadku minicyklu, dojdziemy do wniosku, że żaden ze stosów z tymi kartami nie zostanie całkowicie odkryty – każda ze spodnich kart „blokuje” bowiem możliwość pełnego odkrycia stosu z drugą kartą. Analogiczne wzajemne cykliczne blokowanie występuje w dłuższych cyklach, czyli każdy stos, którego dolna karta znajdzie się w cyklu, pozostanie do końca z zakrytą kartą. Pasjans nie wyjdzie.

 

 

Rys. 4

Ujawnienie tajemnicy zegara odbiera pasjansowi sporo uroku. Nie każdy ma ochotę się bawić, wiedząc, że może ustalić, jak zakończy się zabawa. W ramach rekompensaty proponuję więc nowy zegar – nie tak schematyczny i niepozbawiony strategii.

W tym przypadku karciana tarcza tworzona jest w trakcie układania pasjansa. Na początku oznaczany jest tylko jej „szkielet”, czyli miejsca odpowiadające godzinom, na których układane będą stosy (rys. 5a). Karty wykładamy z pełnej zakrytej talii, odkrywając kolejno po jednej – zaczynamy od położenia pierwszej na godzinie pierwszej. Drugą i każdą następną umieszczamy albo na jednej z poprzednio wyłożonych kart, albo na dotąd pustej kolejnej godzinie. Na pustej godzinie kartę możemy położyć zawsze, natomiast na jednej z poprzednio wyłożonych kart tylko wtedy, gdy ma mniejszą wartość (as=1, walet=11, dama=12, król=13). W przypadku równych wartości o kolejności decyduje brydżowe starszeństwo kolorów (trefl<karo<kier

 

 

Rys. 5

Załóżmy, że siódemka rozpoczyna pierwszą godzinę, potem na drugiej pojawia się walet, a następnie piątka ląduje na siódemce. Przy kolejnej karcie – szóstce, trzeba decydować, czy położyć ją na waleta, „marnując” spory odstęp między kartami, czy zacząć kolejny stos na godzinie trzeciej, zostawiając waleta na lepszą okazję. Wybieramy drugą ewentualność i chyba słusznie, bo kolejną ujawnioną kartą okazuje się dziesiątka. Następnie odkrywamy drugiego waleta, który zaczyna godzinę czwartą (rys. 5b) itd. Pasjans wyjdzie, jeżeli pozbędziemy się wszystkich kart, nie przekraczając godziny dwunastej. Szanse na powodzenie są spore, zwłaszcza jeśli skorzysta się z odpowiedniej strategii, która nie jest zbyt trudna do samodzielnego ustalenia: przede wszystkim trzeba pamiętać o figurach, dla których nie powinno zabraknąć miejsca.

 

ZADANIA

 

 

Rys. 6

1.         Z talii wybieramy 10 kart: asa (będzie pełnił rolę jedynki), osiem blotek (od dwójki do dziewiątki) i dziesiątkę. Z wszystkich zakrytych, po potasowaniu, układamy nietypową 10-godzinną tarczę zegara (rys. 6a) i rozpoczynamy rozgrywkę pasjansową złożoną z 10 ruchów. Pierwszy ruch polega na odwróceniu dowolnej karty i odliczeniu w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, zaczynając od następnej karty, tylu kart, jaka liczba jest na odwróconej. Od karty, na której zakończy się liczenie, wykonywany jest drugi analogiczny ruch, czyli odwrócenie karty, a potem odliczanie do tylu kart, ile wskazuje liczba na karcie odwróconej. Dalej w taki sam sposób następują kolejne ruchy (ostatni, dziesiąty, jest tylko odwróceniem karty). Jest bardzo mało prawdopodobne, aby każda z dziewięciu wyliczanek kończyła się na zakrytej karcie, czyli aby zostały odkryte wszystkie karty (przyjmuje się, że minipasjans wyszedł, jeśli odkryjemy sześć kart). Załóżmy, że układ kart – widziany od spodu – jest zgodny z kolejnością liczb (rys. 6b) i zaczynamy od odwrócenia asa. Wówczas odkrytych zostałoby pięć kart (rys. 6c), bo piąte odliczanie zakończyłoby się na odwróconej już dwójce. Zadanie polega na zmianie układu z rys. 6b tak, aby pasjans, rozpoczynający się odwróceniem asa, zakończył się odkryciem wszystkich kart. Jak będzie wyglądał nowy układ, jeśli powinien on spełniać dwa warunki:

–          as, czwórka i ósemka pozostają na swoich miejscach (rys. 6d);

–          wartości żadnych dwóch sąsiednich kart nie różnią
się o 1?

2.         Z 16 figur wyjętych z talii ułożono cztery rzędy po cztery karty w każdym rzędzie (rys. 7). Na rysunku ujawniono kolory wszystkich kart oraz rodzaj jednej (as). Należy ustalić rodzaj każdej z pozostałych 15 kart, korzystając z podanych przy brzegach informacji – każda wskazuje, jakie karty leżą w danym rzędzie lub kolumnie.

 

 

Rys. 7

 

Rys. 8

3.         Dziewięć kart ułożonych tak, jak na rys. 8, styka się tylko bokami. Każdy as styka się z królem i z damą. Każdy król styka się z damą i waletem. Każda dama styka się z waletem. Wśród tych kart są przynajmniej dwa asy, dwa króle, dwie damy i dwa walety. Jaka karta leży w środku?

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 października br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG10/14, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Prosimy o podawanie swojego adresu! Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Historia Ziemi. Od gwiezdnego pyłu do żyjącej planety Rogera M. Hazena ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

Rozwiązanie zadań z numeru sierpniowego

 

1.         Kierunek wyjścia króla z środkowego pola – NW.

2.         Długość trasy – 113,5 (64+35√−2).

3.         Kolejne liczby w trzecim wierszu od góry: 17–64–13–62–51–60–48–43.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań nagrodę, książkę Silniki grawitacji. Jak czarne dziury rządzą galaktykami i gwiazdami Caleba Scharfa, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Damian Grabowski, Bartosz Miselis, Jan Rzymkowski, Paweł Świeboda i Zbigniew Zydor.

 

 


[1] * Edyta Zabierzowska, 45 pasjansów, „Sport i Turystyka", Warszawa 1957

Więcej w specjalnym wydaniu miesięcznika „Świat Nauki" nr 10/2014 »
Drukuj »
Ten artykuł nie został jeszcze skomentowany.
Aktualne numery
11/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
20
W 1985 r. Microsoft zaprezentował system operacyjny Windows 1.0.
Warto przeczytać
Czy znasz powiedzenie że matematykowi do pracy wystarczy kartka, ołówek i kosz na śmieci? To nieprawda! Pasjonującą, efektowną i praktyczną matematykę poznaje się dopiero w laboratorium.

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Marek Penszko | dodano: 2014-09-22
Teoria grafów. Sekret starego zegara

 „Stawianie pasjansów – ulubiona rozrywka naszych babć i dziadków – jakimś cudem przetrwało do naszych czasów. Te karciane krzyżówki mają w sobie dużą moc uspokajającą, idealnie odprężają, są naprawdę dobrym wypoczynkiem. A tego niejednemu z nas trzeba”[1]

Ten cytat z książki wydanej przed ponad półwieczemchyba nie stracił na aktualności. Układanki z kart trafiły na duże i małe ekrany, ale wiele osób nadal preferuje stolikową formę w stylu retro.

Pasjanse są czasem zaliczane do łamigłówek wielochodowych, choć określenie „łamigłówki” nie wydaje się w tym przypadku zbyt trafne. Z reguły ruszanie głową sprowadza się bowiem do prostych decyzji i wyborów – którą kartę odkryć albo którą i gdzie przełożyć. Dawne, klasyczne pasjanse, są często rozrywką niemal mechaniczną, czyli, mówiąc wprost, prawie bezmyślną. Nawet jednak te najprostsze wymagają spostrzegawczości i skupienia, a przede wszystkim są skuteczną formą relaksu.

Łamanie głowy pojawia się wówczas, gdy pasjans potraktujemy jak model matematyczny i spróbujemy odpowiedzieć na pytanie: jakie jest prawdopodobieństwo, że wyjdzie, oraz jaką strategię zastosować, aby tak się stało – zakładając, że jest to możliwe. Szczególnym pasjansem – takim, którego mechanizm można „rozszyfrować” – jest co najmniej wiekowy zegar.

 

 

Rys. 1

Korzystamy z pełnej talii, czyli 52 kart, które po potasowaniu rozkładamy na 13 zakrytych stosów – po 4 karty w każdym. Dwanaście rozmieszczonych jest koliście, jak godziny na tarczy zegara, trzynasty znajduje się w środku (rys. 1). Pozycja każdego stosu na okręgu odpowiada określonej godzinie, a praktycznie wartości karty: pierwsza godzina to as, druga – dwójka, trzecia – trójka, ... , jedenasta – walet, dwunasta – dama; centralny stos jest królewski. Rozgrywkę zaczynamy od odwrócenia wierzchniej karty z centralnego stosu i umieszczenia jej, obrazkiem do góry, pod spodem stosu, oznaczającego godzinę zgodną z jej wartością. Na przykład: piątka trafi pod stos na godzinie piątej, walet – pod stos na jedenastej, as – pod stos na pierwszej itd. Następnie ze stosu, pod który trafiła karta, zdejmujemy wierzchnią kartę i postępujemy z nią identycznie, czyli umieszczamy obrazkiem do góry pod właściwym godzinowo stosem. Rozgrywkę prowadzimy dalej w taki sam sposób. Ujawniane króle należy lokować pod środkowym stosem. Pojawienie się odkrytego czwartego króla i umieszczenie go pod centralnym stosem kończy zabawę. Jeżeli do tego momentu wszystkie karty zostaną odkryte, uważa się, że pasjans wyszedł. Ujawnienie czterech króli przed odkryciem 48 pozostałych kart oznacza porażkę.

O strategii zegara nie może być mowy, bo układanka jest czysto mechaniczna, jak dzierganie na drutach. Trzeba tylko uważać, aby każde „oczko” znalazło się na właściwym miejscu. Warto natomiast zastanowić się nad dwoma zagadnieniami: jakie jest prawdopodobieństwo happy endu oraz czy można w prosty sposób przewidzieć, czy „end” będzie „happy”, czy nie.

Pozycja każdej karty na początku jest ściśle określona – zajmuje ona konkretne miejsce w danym stosie. A zatem liczba możliwych układów – permutacji z powtórzeniami (kolory pomijamy, bo nie mają znaczenia, więc każda karta występuje czterokrotnie) – jest taka sama, jak liczba możliwych układów kart w talii. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ostatnią kartą w talii będzie król? To jedna z 13 możliwości, a więc 1/13. Takie też będzie prawdopodobieństwo, że król ujawni się jako ostatni w zegarze, a to stanowi warunek, by pasjans wyszedł. Szansa na happy end jest więc niewielka.

Czy rozgrywka zawsze zakończy się odkryciem czwartego króla, niezależnie od tego, w jakim momencie to nastąpi? Czy nie może być tak, że podsuniemy kartę pod jakiś godzinowy stos, w którym wszystkie karty będą odkryte, a więc zabawa się skończy, bo na wierzchu stosu nie będzie nic do odkrycia? Nie jest to możliwe, ponieważ po umieszczeniu karty pod każdym godzinowym stosem zawsze pojawia się w nim pięć kart, więc wierzchnia musi być zakryta. Tylko środkowy stos królewski może składać się z czterech odkrytych kart po umieszczeniu pod nim czwartego króla. Z kolei odsłonięcie króla jako ostatniej karty może nastąpić tylko wtedy, gdy znajdzie się on na początku pod spodem jednego z 12 godzinowych stosów (może być też przedostatnim odkrytym, ale wtedy ostatni król powinien być w środku). Czy to oznacza, że wystarczy na początku zajrzeć pod spód zegara, aby mieć pewność, jaki będzie wynik? I tak, i nie. Tak, bo jeśli nie zauważymy króla, to możemy się od razu poddać. Nie, bo jeśli będzie król, to zakończenie pozostaje zagadką. Można ją jednak łatwo rozwiązać bez potrzeby rozgrywania pasjansa. Wystarczy skorzystać z teorii grafów.

 

 

Rys. 2

Załóżmy, że dolne karty godzinowych stosów będą takie jak na rys. 2a. Każdą z nich łączymy linią z godziną, odpowiadającą jej wartości. Po zakończeniu tej czynności wystarczy przyjrzeć się otrzymanemu grafowi, czyli układowi linii i łączących je punktów (rys. 2b). Jeżeli graf obejmuje 13 punktów oraz jest tzw. drzewem, czyli linie nigdzie nie tworzą cyklu, to pasjans wyjdzie. Na rys. 2b cykl się, niestety, pojawił – oznaczony jest na czerwono, czyli happy end nie nastąpi. Natomiast w innym układzie (rys. 3a) wszystko gra, bo w odpowiadającym mu grafie (rys. 3b) cyklu brak, czyli pasjans wyjdzie. Łatwo to sprawdzić, konstruując zegar, czyli umieszczając 12 spodnich kart tak, jak na rys. 3a (kolory nie są oczywiście istotne), a 40 pozostałych dowolnie.

 

 

Rys. 3

Dlaczego rozmieszczenie ponad 3/4 kart nie wpływa na efekt końcowy? – oto zagadka, która w pierwszej chwili może się wydać nieprosta. Wystarczy jednak uświadomić sobie, że jeśli mamy wygrać, to musimy się dobrać do spodnich kart, a jeśli się dobierzemy, to wśród nich musi być król (warunek konieczny). Dopóki to nie nastąpi, dolne karty nie odgrywają żadnej roli, a gdy nastąpi, wtedy nieobecność cyklu stanowi warunek dostateczny, zapewniający sukces. Właściwa zagadka sprowadza się więc do wyjaśnienia decydującej roli cyklu. W tym celu najlepiej zacząć od minicyklu, który pojawia się wówczas, gdy wartość dolnej karty (k) równa jest godzinie, na której jest ona umieszczona, a więc np. as znajduje się na godzinie pierwszej, czwórka na czwartej lub walet na jedenastej. Linia w grafie stanowi wówczas pętlę – wychodzi i wraca do tego samego punktu – czyli jest cyklem. W takiej sytuacji pasjans nie wyjdzie, bo stos z tak umieszczoną dolną kartą nigdy nie zostanie całkiem odkryty. Będzie tak dlatego, ponieważ pełne odkrycie stosu następuje tylko wtedy, gdy czwarta karta k – odkryta i wzięta z innego stosu – wsuwana jest pod stos z kartami k; natomiast w tym przypadku czwarta karta k pozostanie zakryta w stosie k. A co się stanie, jeśli cykl utworzą dwie dolne karty, jak w przykładzie na rys. 4? Rozumując podobnie, jak w przypadku minicyklu, dojdziemy do wniosku, że żaden ze stosów z tymi kartami nie zostanie całkowicie odkryty – każda ze spodnich kart „blokuje” bowiem możliwość pełnego odkrycia stosu z drugą kartą. Analogiczne wzajemne cykliczne blokowanie występuje w dłuższych cyklach, czyli każdy stos, którego dolna karta znajdzie się w cyklu, pozostanie do końca z zakrytą kartą. Pasjans nie wyjdzie.

 

 

Rys. 4

Ujawnienie tajemnicy zegara odbiera pasjansowi sporo uroku. Nie każdy ma ochotę się bawić, wiedząc, że może ustalić, jak zakończy się zabawa. W ramach rekompensaty proponuję więc nowy zegar – nie tak schematyczny i niepozbawiony strategii.

W tym przypadku karciana tarcza tworzona jest w trakcie układania pasjansa. Na początku oznaczany jest tylko jej „szkielet”, czyli miejsca odpowiadające godzinom, na których układane będą stosy (rys. 5a). Karty wykładamy z pełnej zakrytej talii, odkrywając kolejno po jednej – zaczynamy od położenia pierwszej na godzinie pierwszej. Drugą i każdą następną umieszczamy albo na jednej z poprzednio wyłożonych kart, albo na dotąd pustej kolejnej godzinie. Na pustej godzinie kartę możemy położyć zawsze, natomiast na jednej z poprzednio wyłożonych kart tylko wtedy, gdy ma mniejszą wartość (as=1, walet=11, dama=12, król=13). W przypadku równych wartości o kolejności decyduje brydżowe starszeństwo kolorów (trefl<karo<kier

 

 

Rys. 5

Załóżmy, że siódemka rozpoczyna pierwszą godzinę, potem na drugiej pojawia się walet, a następnie piątka ląduje na siódemce. Przy kolejnej karcie – szóstce, trzeba decydować, czy położyć ją na waleta, „marnując” spory odstęp między kartami, czy zacząć kolejny stos na godzinie trzeciej, zostawiając waleta na lepszą okazję. Wybieramy drugą ewentualność i chyba słusznie, bo kolejną ujawnioną kartą okazuje się dziesiątka. Następnie odkrywamy drugiego waleta, który zaczyna godzinę czwartą (rys. 5b) itd. Pasjans wyjdzie, jeżeli pozbędziemy się wszystkich kart, nie przekraczając godziny dwunastej. Szanse na powodzenie są spore, zwłaszcza jeśli skorzysta się z odpowiedniej strategii, która nie jest zbyt trudna do samodzielnego ustalenia: przede wszystkim trzeba pamiętać o figurach, dla których nie powinno zabraknąć miejsca.

 

ZADANIA

 

 

Rys. 6

1.         Z talii wybieramy 10 kart: asa (będzie pełnił rolę jedynki), osiem blotek (od dwójki do dziewiątki) i dziesiątkę. Z wszystkich zakrytych, po potasowaniu, układamy nietypową 10-godzinną tarczę zegara (rys. 6a) i rozpoczynamy rozgrywkę pasjansową złożoną z 10 ruchów. Pierwszy ruch polega na odwróceniu dowolnej karty i odliczeniu w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, zaczynając od następnej karty, tylu kart, jaka liczba jest na odwróconej. Od karty, na której zakończy się liczenie, wykonywany jest drugi analogiczny ruch, czyli odwrócenie karty, a potem odliczanie do tylu kart, ile wskazuje liczba na karcie odwróconej. Dalej w taki sam sposób następują kolejne ruchy (ostatni, dziesiąty, jest tylko odwróceniem karty). Jest bardzo mało prawdopodobne, aby każda z dziewięciu wyliczanek kończyła się na zakrytej karcie, czyli aby zostały odkryte wszystkie karty (przyjmuje się, że minipasjans wyszedł, jeśli odkryjemy sześć kart). Załóżmy, że układ kart – widziany od spodu – jest zgodny z kolejnością liczb (rys. 6b) i zaczynamy od odwrócenia asa. Wówczas odkrytych zostałoby pięć kart (rys. 6c), bo piąte odliczanie zakończyłoby się na odwróconej już dwójce. Zadanie polega na zmianie układu z rys. 6b tak, aby pasjans, rozpoczynający się odwróceniem asa, zakończył się odkryciem wszystkich kart. Jak będzie wyglądał nowy układ, jeśli powinien on spełniać dwa warunki:

–          as, czwórka i ósemka pozostają na swoich miejscach (rys. 6d);

–          wartości żadnych dwóch sąsiednich kart nie różnią
się o 1?

2.         Z 16 figur wyjętych z talii ułożono cztery rzędy po cztery karty w każdym rzędzie (rys. 7). Na rysunku ujawniono kolory wszystkich kart oraz rodzaj jednej (as). Należy ustalić rodzaj każdej z pozostałych 15 kart, korzystając z podanych przy brzegach informacji – każda wskazuje, jakie karty leżą w danym rzędzie lub kolumnie.

 

 

Rys. 7

 

Rys. 8

3.         Dziewięć kart ułożonych tak, jak na rys. 8, styka się tylko bokami. Każdy as styka się z królem i z damą. Każdy król styka się z damą i waletem. Każda dama styka się z waletem. Wśród tych kart są przynajmniej dwa asy, dwa króle, dwie damy i dwa walety. Jaka karta leży w środku?

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 października br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG10/14, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Prosimy o podawanie swojego adresu! Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Historia Ziemi. Od gwiezdnego pyłu do żyjącej planety Rogera M. Hazena ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

Rozwiązanie zadań z numeru sierpniowego

 

1.         Kierunek wyjścia króla z środkowego pola – NW.

2.         Długość trasy – 113,5 (64+35√−2).

3.         Kolejne liczby w trzecim wierszu od góry: 17–64–13–62–51–60–48–43.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań nagrodę, książkę Silniki grawitacji. Jak czarne dziury rządzą galaktykami i gwiazdami Caleba Scharfa, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Damian Grabowski, Bartosz Miselis, Jan Rzymkowski, Paweł Świeboda i Zbigniew Zydor.

 

 


[1] * Edyta Zabierzowska, 45 pasjansów, „Sport i Turystyka", Warszawa 1957