nauki ścisłe
Autor: Marek Penszko | dodano: 2014-08-21
Polistiki. Zabawy w układanie

Odcinek, stanowiący bok najmniejszego kwadracika siatki kwadratowej, bywa czasem nazywany stikiem (z ang. stick – patyk). Określenie to pojawia się wówczas, gdy z siatki kwadratowej „wyjmujemy” fragmenty złożone z kilku połączonych stików. Na rys. 1 wyróżniono pięć przykładów takich fragmentów: 2-stikowy, czyli distik, 3-stikowy (tristik) i dalej – tetrastik, pentastik oraz heksastik; ten ostatni, nomen omen, w kształcie szóstki. Ogólnie takie układy linii zwane są polistikami. Można je także zdefiniować jako odcinki jednakowej długości połączone końcami pod kątem prostym lub półpełnym.

 

                                  

                                  Rys. 1

 

                            

                              Rys. 2

 

Polistiki pojawiły się w matematyce stosunkowo niedawno – w roku 1990 w artykule zamieszczonym na łamach Journal of Recreational Mathematics. Przede wszystkim ustalono ich liczbę p(s) dla każdej liczby s tworzących je odcinków. Łatwo sprawdzić, że różne distiki są 2, tristików jest 5, a tetrastików 16 (rys. 2). Wartości p(s) dla 1≤s≤10 podane są w drugim wierszu tabeli. Liczby te dotyczą polistików dwustronnych, czyli takich, których odbicia lustrzane nie są uważane za inne figury.

 

Jeśli natomiast przyjąć, że polistiki są jednostronne, to ich liczba wzrośnie do wartości p1(s) w dolnym wierszu – zwiększy się o zwierciadlane odbicia tych, które nie mają symetrii lustrzanej. Na przykład, w skład siedmiu jednostronnych tristików wchodzą dwie pary „bliźniacze” (rys. 3).

 

                           

                           Rys. 3

Polistyki w matematyce rekreacyjnej są przede wszystkim elementami ciekawych układanek – niektóre stanowiły lub stanowią nadal niełatwe do rozwiązania problemy. Większość polega na tworzeniu wielobocznych fragmentów siatki kwadratowej o możliwie regularnych kształtach. Aby zabawa nie była benedyktyńska, korzysta się z niezbyt licznych kompletów – z reguły są to wybrane tetrastiki uzupełniane czasem di- i tristikami. Obowiązuje zasada: polistiki nie mogą się przecinać.

Tuż po debiucie polistików na rynku pojawiła się tajwańska łamigłówka z 10 dwustronnych tetrastików, które należało umieścić w kwadratowym pudełku, tworząc „kratownicę” 4×4. Kratownica przypominała ornament, bo tetrastiki były zaokrąglone i wpasowywane między koliste wypukłości w dnie pudełka (fot. obok rys. 4 z takim samym układem identycznych elementów, ale „kanciastych”). Z instrukcji wynikało, że rozwiązań jest 845, ale była to informacja myląca, związana z sugerowanym przez producenta sposobem rozwiązywania: należało zacząć od wybranej pozycji startowej, czyli umieszczenia jakiegoś elementu w określony sposób w lewym górnym rogu, a następnie wpasować 9 pozostałych. Liczba możliwych wpasowań była różna dla różnych pozycji startowych – w sumie było ich 845, jednak wiele się powtarzało. Na przykład, układ na rys. 4 jest jednym z 16, które można utworzyć, zaczynając od jasnoniebieskiego tetrastika „F”, umieszczonego tak, jak na tym rysunku. Układ ten jest także jednym z 23, jeśli zacząć od umieszczenia różowego tetrastika „h” tak, jak na rys. 4. Łącznie w obu przypadkach liczba różnych układów będzie więc zawarta między 23 a 38, a nie – jak liczył producent – 16+23=39.

 

                     

                         Rys. 4

Tajwańska układanka miała spore powodzenie i zainteresowała matematyków. W ruch poszły komputery; ustalono, że całkowicie różnych rozwiązań jest 83. Próbowano modyfikować łamigłówkę, dobierając inny zestaw 10 tetrastików – taki, aby rozwiązań było mniej. Donald Knuth, jeden z pionierów informatyki, zaproponował dość radykalną, skuteczną i nieco zabawną zmianę, polegającą na skorzystaniu z wszystkich jednostronnych tetrastików nieliniowych, czyli takich, które nie są jedną linią łamaną. Wówczas rozwiązania są trzy. Dwa symetryczne przedstawiono na rys. 5. Znalezienie trzeciego profesor Knuth pozostawił amatorom główkowania, informując tylko, że tetrastik „+” zajmuje w nim centralną pozycję (rys. 6a). Przy rozwiązywaniu należy pamiętać, że polistiki są jednostronne i różne, czyli nie wolno ich odwracać – pary lustrzane powinny takimi pozostać, więc rozwiązanie na rys. 6b jest błędne.

 

                      

                       Rys. 5

 

                      

                     Rys. 6

Jaki fragment siatki kwadratowej (wielobok złożony z kwadratów) można utworzyć z wszystkich 16 dwustronnych tetrastików? Okazuje się, że tylko niesymetryczny, np. taki, jak na rys. 7. Symetrycznych nie sposób skonstruować, ze względu na 5 tetrastików nieparzystych (niebieskie na rys. 2) – w każdym z nich 3 stiki umieszczone są równolegle względem siebie, a jeden prostopadle do nich. Zatem w wieloboku utworzonym z wszystkich tetrastików liczby stików leżących poziomo i pionowo będą nieparzyste, jak na rys. 7 (każda stanowi sumę liczb parzystych i nieparzystej liczby liczb nieparzystych). To jednak wyklucza symetrię, która wymaga parzystości obu tych liczb, skoro wszystkich stików jest 64.

 

                      

                     Rys. 7

Dopiero usunięcie jednego tetrastiku nieparzystego umożliwia układanie figur symetrycznych. Najbardziej elegancką z nich, czyli kwadrat 5×5, można utworzyć, usuwając dowolny nieparzysty tetrastik – w każdym przypadku na wiele sposobów. Wszystkich sposobów jest aż 1795, jednak skonstruować jakikolwiek kwadrat bardzo trudno; to zadanie raczej dla komputera. Efekty takiej zabawy bez tetrastiku „h” są 72 – jeden z nich na rys. 8.

 

                    

                   Rys. 8

 Czy można utworzyć kwadrat 5×5, usuwając tetrastik kwadrat? Pytanie właściwie bezsensowne, skoro tetrastik w kształcie kwadratu jest parzysty. A jednak… takim kwadratem 5×5 jest właśnie ten na rys. 8. Wystarczy odpowiednio potraktować nieobecny w nim tetrastik „h” – przyda się szczypta wyobraźni i poczucia humoru.

Układanka, która najbardziej zafrapowała matematyków i z którą programiści długo się zmagali, polegała na ułożeniu z 25 jednostronnych tetrastików tzw. zębatego kwadratu. W pełni uporał się z nią w roku 2001 profesor Alfred Wassermann z Uniwersytetu w Bayreuth, publikując 107 rozwiązań. Na rys. 9 przedstawione jest jedno z nich, wyróżniające się tym, że tetrastiki tworzące cztery lustrzane pary (fioletowe, zielone, niebieskie i pomarańczowe) są położone symetrycznie względem jednej z osi zębatego kwadratu.

 

                     

                      Rys. 9

Polistiki goszczą w kilku grach. Najpopularniejszą jest wydana przez znaną wiedeńską firmę Piatnik karcianka Digit dla 2, 3 lub 4 osób, stanowiąca przede wszystkim znakomity sprawdzian i trening wyobraźni geometrycznej, ale wymagająca także logicznego myślenia. Do gry służy talia złożona z 55 kart z rysunkami wszystkich pentastików oraz pięć krótkich plastikowych patyczków w roli stików. Zabawa zaczyna się od wyciągnięcia jednej karty i ułożenia z patyczków na środku stołu umieszczonego na niej pentastika. Gracze otrzymują po pięć kart i każdy w swojej kolejce stara się pozbyć jednej karty. Może to zrobić, jeśli zmieniając położenie tylko jednego patyczka utworzy pentastik umieszczony na jednej ze swoich kart – właśnie tę kartę odkłada. Jeżeli nie ma takiej możliwości, musi dobrać jedną kartę. Od takiej konieczności może go jednak uwolnić inny gracz, wykonując ruch, czyli przekładając stik i pozbywając się jednej ze swoich kart poza kolejnością. Wygrywa ten, kto jako pierwszy pozbędzie się wszystkich kart z ręki. Wyobraźnia geometryczna odgrywa w Digit główną rolę, ponieważ pentastiki są dwustronne, więc układ patyczków na stole uważa się za identyczny jak na karcie nie tylko wtedy, gdy jest on obrócony, ale także gdy stanowi odbicie lustrzane. Nie zawsze łatwo to zauważyć. Logiczny i matematyczny aspekt gry wiąże się z różną przekształcalnością poszczególnych pentastików. Na przykład, przekształcalność liniowego prostego pentastika (rys. 10a) jest mała – przemieszczając jeden stik można go zmienić tylko w 3 inne pentastiki. Natomiast pentastik na rys. 10b można zmodyfikować aż na 16 różnych sposobów, więc szansa pozbycia się karty z nim w trakcie gry jest znacznie większa.

 

             

                     Rys. 10

Polistiki i gra Digit są nie tylko rozrywką. Związane z nimi zagadnienia matematyczne były przed kilku laty tematem pracy dyplomowej na wydziale informatyki Uniwersytetu Kraju Saary.

 

                                                         ZADANIA

1.         10 dwustronnych tetrastików liniowych rozmieszczono na fragmencie siatki 7×7. Najkrótsze odcinki łamanych oznaczono na czerwono, a na diagramie ujawniono wszystkie czerwone odcinki leżące pionowo (rys. 11). Należy oznaczyć położenie wszystkich tetrastików, jeśli wiadomo, że żadne dwa nie stykają się ze sobą, czyli nie sięgają tego samego skrzyżowania siatki. W rozwiązaniu wystarczy podać, korzystając ze współrzędnych, położenie dziesięciu czerwonych odcinków poziomych.

 

              

                    Rys. 11

2.         Na rys. 12 znajduje się 12 kart do gry Digit z umieszczonymi na nich pentastikami. Zadanie polega na ustawieniu tego tuzina pentastików w takiej kolejności, aby każdy następny różnił się od poprzedniego położeniem tylko jednego stika, a ponadto by ostatni różnił się położeniem jednego stika od pierwszego. Dwie możliwości pierwszego i ostatniego „ruchu” łatwo zauważyć (wiążą się one z rys. 10a). Umówmy się, że zaczynamy od A→B… Jaki będzie ciąg dalszy aż do dwunastej przemiany …L→A? Pentastiki są dwustronne, czyli zmieniając je, trzeba pamiętać, że efektem modyfikacji może być także pentastik, który powstanie w wyniku obrotu lub/i odbicia lustrzanego znajdującego się na karcie. Zadanie ma dwa rozwiązania. Należy znaleźć oba.

 

           

                  Rys. 12

3.         Łamana na rys. 13 utworzona jest z dziewięciu liniowych dwustronnych tetrastików (wszystkie różne poza kwadratem) i czterech różnych liniowych dwustronnych tristików. Nie oznaczono „złączy” w polistikach. Zadanie polega na ustaleniu punktów granicznych między polistikami. W rozwiązaniu wystarczy podać współrzędne końców tristików.

 

          

                   Rys. 13

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 września br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG09/14, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Cząstka na końcu Wszechświata. Bozon Higgsa i nowa wizja rzeczywistości Seana Carrolla ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

 

                          Rozwiązanie zadań z numeru lipcowego

1.         Wystarczą dwa przekształcenia – przykładowe na rys. 14.

Rys. 14

 

2.         12 kamieni leżących poziomo.

3.         Piąty kamień – 0–4.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań nagrodę, książkę Paula Halperna Nasz inny Wszechświat. Poza kosmiczny horyzont i dalej, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Marzena Gołuńska-Bendyk, Andrzej Kołek, Hieronim Kubica, Monika Machnik i Bruno Najder.

Więcej w miesięczniku „Świat Nauki" nr 09/2014 »
Drukuj »
Ten artykuł nie został jeszcze skomentowany.
Aktualne numery
11/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
22
W 1904 r. urodził się Louis Néel, francuski fizyk, laureat Nagrody Nobla.
Warto przeczytać
Chwila bez biologii… nie istnieje. W nas i wokół nas kipi życie. Dlaczego by wobec tego nie poznać go bliżej, najlepiej we własnym laboratorium? By nie sięgać daleko, można zacząć od siebie.

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Marek Penszko | dodano: 2014-08-21
Polistiki. Zabawy w układanie

Odcinek, stanowiący bok najmniejszego kwadracika siatki kwadratowej, bywa czasem nazywany stikiem (z ang. stick – patyk). Określenie to pojawia się wówczas, gdy z siatki kwadratowej „wyjmujemy” fragmenty złożone z kilku połączonych stików. Na rys. 1 wyróżniono pięć przykładów takich fragmentów: 2-stikowy, czyli distik, 3-stikowy (tristik) i dalej – tetrastik, pentastik oraz heksastik; ten ostatni, nomen omen, w kształcie szóstki. Ogólnie takie układy linii zwane są polistikami. Można je także zdefiniować jako odcinki jednakowej długości połączone końcami pod kątem prostym lub półpełnym.

 

                                  

                                  Rys. 1

 

                            

                              Rys. 2

 

Polistiki pojawiły się w matematyce stosunkowo niedawno – w roku 1990 w artykule zamieszczonym na łamach Journal of Recreational Mathematics. Przede wszystkim ustalono ich liczbę p(s) dla każdej liczby s tworzących je odcinków. Łatwo sprawdzić, że różne distiki są 2, tristików jest 5, a tetrastików 16 (rys. 2). Wartości p(s) dla 1≤s≤10 podane są w drugim wierszu tabeli. Liczby te dotyczą polistików dwustronnych, czyli takich, których odbicia lustrzane nie są uważane za inne figury.

 

Jeśli natomiast przyjąć, że polistiki są jednostronne, to ich liczba wzrośnie do wartości p1(s) w dolnym wierszu – zwiększy się o zwierciadlane odbicia tych, które nie mają symetrii lustrzanej. Na przykład, w skład siedmiu jednostronnych tristików wchodzą dwie pary „bliźniacze” (rys. 3).

 

                           

                           Rys. 3

Polistyki w matematyce rekreacyjnej są przede wszystkim elementami ciekawych układanek – niektóre stanowiły lub stanowią nadal niełatwe do rozwiązania problemy. Większość polega na tworzeniu wielobocznych fragmentów siatki kwadratowej o możliwie regularnych kształtach. Aby zabawa nie była benedyktyńska, korzysta się z niezbyt licznych kompletów – z reguły są to wybrane tetrastiki uzupełniane czasem di- i tristikami. Obowiązuje zasada: polistiki nie mogą się przecinać.

Tuż po debiucie polistików na rynku pojawiła się tajwańska łamigłówka z 10 dwustronnych tetrastików, które należało umieścić w kwadratowym pudełku, tworząc „kratownicę” 4×4. Kratownica przypominała ornament, bo tetrastiki były zaokrąglone i wpasowywane między koliste wypukłości w dnie pudełka (fot. obok rys. 4 z takim samym układem identycznych elementów, ale „kanciastych”). Z instrukcji wynikało, że rozwiązań jest 845, ale była to informacja myląca, związana z sugerowanym przez producenta sposobem rozwiązywania: należało zacząć od wybranej pozycji startowej, czyli umieszczenia jakiegoś elementu w określony sposób w lewym górnym rogu, a następnie wpasować 9 pozostałych. Liczba możliwych wpasowań była różna dla różnych pozycji startowych – w sumie było ich 845, jednak wiele się powtarzało. Na przykład, układ na rys. 4 jest jednym z 16, które można utworzyć, zaczynając od jasnoniebieskiego tetrastika „F”, umieszczonego tak, jak na tym rysunku. Układ ten jest także jednym z 23, jeśli zacząć od umieszczenia różowego tetrastika „h” tak, jak na rys. 4. Łącznie w obu przypadkach liczba różnych układów będzie więc zawarta między 23 a 38, a nie – jak liczył producent – 16+23=39.

 

                     

                         Rys. 4

Tajwańska układanka miała spore powodzenie i zainteresowała matematyków. W ruch poszły komputery; ustalono, że całkowicie różnych rozwiązań jest 83. Próbowano modyfikować łamigłówkę, dobierając inny zestaw 10 tetrastików – taki, aby rozwiązań było mniej. Donald Knuth, jeden z pionierów informatyki, zaproponował dość radykalną, skuteczną i nieco zabawną zmianę, polegającą na skorzystaniu z wszystkich jednostronnych tetrastików nieliniowych, czyli takich, które nie są jedną linią łamaną. Wówczas rozwiązania są trzy. Dwa symetryczne przedstawiono na rys. 5. Znalezienie trzeciego profesor Knuth pozostawił amatorom główkowania, informując tylko, że tetrastik „+” zajmuje w nim centralną pozycję (rys. 6a). Przy rozwiązywaniu należy pamiętać, że polistiki są jednostronne i różne, czyli nie wolno ich odwracać – pary lustrzane powinny takimi pozostać, więc rozwiązanie na rys. 6b jest błędne.

 

                      

                       Rys. 5

 

                      

                     Rys. 6

Jaki fragment siatki kwadratowej (wielobok złożony z kwadratów) można utworzyć z wszystkich 16 dwustronnych tetrastików? Okazuje się, że tylko niesymetryczny, np. taki, jak na rys. 7. Symetrycznych nie sposób skonstruować, ze względu na 5 tetrastików nieparzystych (niebieskie na rys. 2) – w każdym z nich 3 stiki umieszczone są równolegle względem siebie, a jeden prostopadle do nich. Zatem w wieloboku utworzonym z wszystkich tetrastików liczby stików leżących poziomo i pionowo będą nieparzyste, jak na rys. 7 (każda stanowi sumę liczb parzystych i nieparzystej liczby liczb nieparzystych). To jednak wyklucza symetrię, która wymaga parzystości obu tych liczb, skoro wszystkich stików jest 64.

 

                      

                     Rys. 7

Dopiero usunięcie jednego tetrastiku nieparzystego umożliwia układanie figur symetrycznych. Najbardziej elegancką z nich, czyli kwadrat 5×5, można utworzyć, usuwając dowolny nieparzysty tetrastik – w każdym przypadku na wiele sposobów. Wszystkich sposobów jest aż 1795, jednak skonstruować jakikolwiek kwadrat bardzo trudno; to zadanie raczej dla komputera. Efekty takiej zabawy bez tetrastiku „h” są 72 – jeden z nich na rys. 8.

 

                    

                   Rys. 8

 Czy można utworzyć kwadrat 5×5, usuwając tetrastik kwadrat? Pytanie właściwie bezsensowne, skoro tetrastik w kształcie kwadratu jest parzysty. A jednak… takim kwadratem 5×5 jest właśnie ten na rys. 8. Wystarczy odpowiednio potraktować nieobecny w nim tetrastik „h” – przyda się szczypta wyobraźni i poczucia humoru.

Układanka, która najbardziej zafrapowała matematyków i z którą programiści długo się zmagali, polegała na ułożeniu z 25 jednostronnych tetrastików tzw. zębatego kwadratu. W pełni uporał się z nią w roku 2001 profesor Alfred Wassermann z Uniwersytetu w Bayreuth, publikując 107 rozwiązań. Na rys. 9 przedstawione jest jedno z nich, wyróżniające się tym, że tetrastiki tworzące cztery lustrzane pary (fioletowe, zielone, niebieskie i pomarańczowe) są położone symetrycznie względem jednej z osi zębatego kwadratu.

 

                     

                      Rys. 9

Polistiki goszczą w kilku grach. Najpopularniejszą jest wydana przez znaną wiedeńską firmę Piatnik karcianka Digit dla 2, 3 lub 4 osób, stanowiąca przede wszystkim znakomity sprawdzian i trening wyobraźni geometrycznej, ale wymagająca także logicznego myślenia. Do gry służy talia złożona z 55 kart z rysunkami wszystkich pentastików oraz pięć krótkich plastikowych patyczków w roli stików. Zabawa zaczyna się od wyciągnięcia jednej karty i ułożenia z patyczków na środku stołu umieszczonego na niej pentastika. Gracze otrzymują po pięć kart i każdy w swojej kolejce stara się pozbyć jednej karty. Może to zrobić, jeśli zmieniając położenie tylko jednego patyczka utworzy pentastik umieszczony na jednej ze swoich kart – właśnie tę kartę odkłada. Jeżeli nie ma takiej możliwości, musi dobrać jedną kartę. Od takiej konieczności może go jednak uwolnić inny gracz, wykonując ruch, czyli przekładając stik i pozbywając się jednej ze swoich kart poza kolejnością. Wygrywa ten, kto jako pierwszy pozbędzie się wszystkich kart z ręki. Wyobraźnia geometryczna odgrywa w Digit główną rolę, ponieważ pentastiki są dwustronne, więc układ patyczków na stole uważa się za identyczny jak na karcie nie tylko wtedy, gdy jest on obrócony, ale także gdy stanowi odbicie lustrzane. Nie zawsze łatwo to zauważyć. Logiczny i matematyczny aspekt gry wiąże się z różną przekształcalnością poszczególnych pentastików. Na przykład, przekształcalność liniowego prostego pentastika (rys. 10a) jest mała – przemieszczając jeden stik można go zmienić tylko w 3 inne pentastiki. Natomiast pentastik na rys. 10b można zmodyfikować aż na 16 różnych sposobów, więc szansa pozbycia się karty z nim w trakcie gry jest znacznie większa.

 

             

                     Rys. 10

Polistiki i gra Digit są nie tylko rozrywką. Związane z nimi zagadnienia matematyczne były przed kilku laty tematem pracy dyplomowej na wydziale informatyki Uniwersytetu Kraju Saary.

 

                                                         ZADANIA

1.         10 dwustronnych tetrastików liniowych rozmieszczono na fragmencie siatki 7×7. Najkrótsze odcinki łamanych oznaczono na czerwono, a na diagramie ujawniono wszystkie czerwone odcinki leżące pionowo (rys. 11). Należy oznaczyć położenie wszystkich tetrastików, jeśli wiadomo, że żadne dwa nie stykają się ze sobą, czyli nie sięgają tego samego skrzyżowania siatki. W rozwiązaniu wystarczy podać, korzystając ze współrzędnych, położenie dziesięciu czerwonych odcinków poziomych.

 

              

                    Rys. 11

2.         Na rys. 12 znajduje się 12 kart do gry Digit z umieszczonymi na nich pentastikami. Zadanie polega na ustawieniu tego tuzina pentastików w takiej kolejności, aby każdy następny różnił się od poprzedniego położeniem tylko jednego stika, a ponadto by ostatni różnił się położeniem jednego stika od pierwszego. Dwie możliwości pierwszego i ostatniego „ruchu” łatwo zauważyć (wiążą się one z rys. 10a). Umówmy się, że zaczynamy od A→B… Jaki będzie ciąg dalszy aż do dwunastej przemiany …L→A? Pentastiki są dwustronne, czyli zmieniając je, trzeba pamiętać, że efektem modyfikacji może być także pentastik, który powstanie w wyniku obrotu lub/i odbicia lustrzanego znajdującego się na karcie. Zadanie ma dwa rozwiązania. Należy znaleźć oba.

 

           

                  Rys. 12

3.         Łamana na rys. 13 utworzona jest z dziewięciu liniowych dwustronnych tetrastików (wszystkie różne poza kwadratem) i czterech różnych liniowych dwustronnych tristików. Nie oznaczono „złączy” w polistikach. Zadanie polega na ustaleniu punktów granicznych między polistikami. W rozwiązaniu wystarczy podać współrzędne końców tristików.

 

          

                   Rys. 13

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 września br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG09/14, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Cząstka na końcu Wszechświata. Bozon Higgsa i nowa wizja rzeczywistości Seana Carrolla ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

 

                          Rozwiązanie zadań z numeru lipcowego

1.         Wystarczą dwa przekształcenia – przykładowe na rys. 14.

Rys. 14

 

2.         12 kamieni leżących poziomo.

3.         Piąty kamień – 0–4.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań nagrodę, książkę Paula Halperna Nasz inny Wszechświat. Poza kosmiczny horyzont i dalej, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Marzena Gołuńska-Bendyk, Andrzej Kołek, Hieronim Kubica, Monika Machnik i Bruno Najder.