nauki ścisłe
Autor: Marek Penszko | dodano: 2014-07-21
Król na spacerze. Krok po kroku przez całą szachownicę

Dwie figury szachowe – najsilniejsza, czyli hetman, i najsłabsza, choć najważniejsza, czyli król – mają ze sobą wiele wspólnego. Król bywa czasem nazywany „chromym hetmanem”, co wiąże się ze sposobem ruchu obu figur. Każda może się przemieszczać w ośmiu kierunkach, ale hetman pomyka tak daleko, jak chce i może, a król kuśtyka po jednym polu. Mimo to, choć drobnymi kroczkami, jest w stanie dotrzeć wszędzie, a więc także obejść całą szachownicę. Takich właśnie obchodów dotyczy niniejszy artykuł.

Pozornie sprawa jest prosta. Przewędrować królem 64 pola, goszcząc na każdym dokładnie raz – nietrudno. Trzeba tylko uważać, aby po drodze nie zostawić takiego pustego pola, do którego później nie będzie można dotrzeć. Różnych królewskich wędrówek jest mnóstwo; wprawdzie dla miniszachownicy 2×2 zaledwie trzy (rys. 1), ale dla 8×8 blisko tryliard (1021). Najprościej obejść wszystkie pola ruchem wieży, np. tak, jak na rys. 2, bowiem taka trasa jest również królewska, jednak pominięcie ruchów na ukos wydaje się „nie fair”, zwłaszcza że właśnie z nimi wiążą się ciekawe zagadnienia.

                            

                                                            Rys. 1

Przed wielu laty, na jednej z olimpiad matematycznych pojawiło się zadanie, polegające na określeniu najdłuższej drogi króla na szachownicy. Inaczej mówiąc, należało wykazać, ile najwięcej ruchów na ukos (o długości równej √2) albo najmniej na wprost (długość równa 1) może obejmować taka droga. Właściwie zadanie ma cztery warianty w zależności od warunków dodatkowych. Łamana może być zamknięta, czyli kończyć się w polu startowym albo nie; może także przecinać samą siebie lub nigdzie się nie krzyżować.

                                     

                                                        Rys. 2

                                   

                                                        Rys. 3

Rozwiązanie jest najprostsze dla drogi otwartej i bez skrzyżowań. Wystarczy zauważyć, że przez każdy punkt styku czterech pól król może przejść w ruchu na ukos tylko raz, zatem takich ruchów nie może być więcej niż punktów, czyli 49 – przykładowa trasa na rys. 3. Jeżeli postawimy wymóg, aby łamana była zamknięta (tak było na olimpiadzie), ograniczy to ruchliwość króla, a liczba ruchów na ukos zmaleje. Do ilu?

Trasa musi zaliczyć 28 skrajnych pól planszy. Jeśli dwa skrajne pola, stanowiące końce fragmentu łamanej, nie będą sąsiednimi (dwa przykłady na rys. 4a), to łącząca je linia odetnie część szachownicy, a to spowoduje, że cała trasa przetnie samą siebie. Pola te muszą być zatem sąsiednimi, a więc będą różnego koloru. Stąd wniosek, że na łączącym je fragmencie łamanej znajdzie się przynajmniej jeden ruch na wprost, aby nastąpiła zmiana koloru pól na tym fragmencie. W szczególnym przypadku dwa sąsiednie skrajne pola będą połączone bezpośrednio jednym ruchem na wprost. W sumie między każdymi dwoma kolejnymi skrajnymi polami na trasie musi pojawić się przynajmniej jeden ruch na wprost, a więc wszystkich takich ruchów będzie co najmniej 28, a ruchów na ukos najwyżej 36 – przykład trasy na rys. 4b.

                  

                                                                Rys. 4

Nieco trudniej ustalić maksymalną długość królewskiej drogi, która może przecinać samą siebie. Zaczniemy od trasy otwartej. Wygodnie jest posłużyć się schematem z rys. 5a, przedstawiającym pełny graf wędrówki króla tylko po białych polach, ale podzielony na 9 części. Gdyby królowi udało się przejść cały ten graf „za jednym zamachem”, a potem ruchem na wprost przeskoczyć na bliźniaczy graf obejmujący niebieskie pola, to wszystkie ruchy na trasie, poza jednym, byłyby na ukos. Łatwo sprawdzić, że nie jest to możliwe. A zatem biały graf trzeba pokonywać etapami, zaliczając między nimi bliźniacze części niebieskiego. Im mniej etapów, tym dłuższa trasa. Ile może ich być najmniej?

                

                                                              Rys. 5

Każda z sześciu małych części grafu w kształcie krzyża obejmuje 4 ruchy, ale zaliczyć można tylko 2; dwie narożne części mają po 8 ruchów, ale więcej niż 5 nie sposób wykonać; grupa w centrum to 9 ruchów, ale do zaliczenia tylko 6. Ograniczenia we wszystkich trzech przypadkach wiążą się oczywiście z tym, że nie można dwukrotnie gościć na tym samym polu. A zatem na całej trasie króla znajdzie się co najwyżej 6×2+2×5+6=28 ruchów na ukos między białymi polami. Wiedząc, że do przejścia są 32 białe pola, łatwo wyliczyć, ile musi być etapów. Gdyby był jeden etap, to ruchów byłoby 31, przy dwóch etapach – 30, przy trzech – 29, przy czterech – 28. Reasumując, król ma do pokonania przynajmniej cztery białe i cztery niebieskie „ukośne” etapy połączone 63–2×28=7 ruchami na wprost. Najprostsza trasa składa się z 4 „warkoczyków” (rys. 5b).

Pozostał najtrudniejszy przypadek – łamana przecina samą siebie i jest zamknięta. Jaka będzie najdłuższa? Można przypuszczać, że zamknięcie łamanej niejako wymusi większą liczbę ruchów na wprost. Jest to o tyle słuszne, że pojawi się jeden taki ruch, łączący końce trasy, a więc wszystkich ruchów na wprost będzie 8. Jednak poza tym cały poprzedni dowód dla otwartej drogi, związany z jej podziałem na osiem etapów i zakończony łamaną z 56 ukośnymi ruchami, wydaje się słuszny także w tym przypadku. Trudność polega natomiast na wyznaczeniu trasy zamkniętej, zawierającej 56 ruchów na ukos. Przez długi czas uważano, że taka trasa nie istnieje i próbowano to udowodnić. Dopiero przed czterema laty z pomocą komputera udało się znaleźć dwie drogi (rys. 6) i prawdopodobnie więcej ich nie ma. A zatem maksymalna długość wędrówki króla po szachownicy, bez odwiedzania dwukrotnie tego samego pola, równa jest 8+56√2≈87,196.

               

                                                             Rys. 6

Królewskiemu wędrowaniu stawiano też inne warunki, powstawały więc zadania i problemy, z których część pozostaje nierozwiązana. Na przykład w grze matematycznej zwanej cetno dwaj gracze wykonują na przemian ruchy królem, przestawiając go jednak zawsze wyłącznie na jedno z pól graniczących (bokiem lub tylko rogiem) z parzystą liczbą pól dotąd odwiedzonych – licząc także to, na którym w danej chwili król się znajduje. Ta reguła obowiązuje oczywiście od drugiego ruchu. Przegrywa, kto jako pierwszy nie będzie mógł wykonać ruchu.

W praktyce jest to gra typu papier-ołówek na kartce w kratkę. Na początku wyznacza się planszę, czyli rysuje dowolny wielokąt obejmujący kilkadziesiąt pól – najlepiej o nieregularnym kształcie – a następnie gracze wpisują do pól kolejne liczby, zaczynając od jedynki w polu startowym. Po drugim ruchu mogą powstać tylko dwa układy (rys. 7, kropkami oznaczono pola dla czwórki, czyli trzeciego ruchu), ale dalej sytuacja bardzo się komplikuje. Gra cetno ma też wersję licho – każdą liczbę należy wpisywać do kratki graniczącej z nieparzystą liczbą ponumerowanych kratek. Czy gdyby warunek z cetna lub licha postawić królowi wędrującemu po szachownicy, to obszedłby całą planszę? Okazuje się, że w przypadku cetna nie jest to możliwe i dotyczy nie tylko planszy 8×8, ale wszystkich prostokątów większych niż 1×2, a dowód jest dość prosty; natomiast dla licha dowód nie jest znany, ale komputery podpowiadają, że także nie ma takiej możliwości.

                                     

                                                             Rys. 7

Z numerowaniem kolejnych pól królewskiej wędrówki wiąże się kilka ciekawych problemów i łamigłówek matematycznych. Najstarsza, znana od ponad 100 lat, zwana jest drogą magiczną. Polega na wyznaczeniu takiej trasy króla w kwadracie 8×8, aby liczby w polach tworzyły kwadrat magiczny, czyli aby ich sumy w wierszach, kolumnach i na obu przekątnych były takie same, równe 260. Zadanie wydaje się karkołomne bez komputerowego wsparcia, ale cierpliwy brytyjski matematyk Walter Rouse Ball poradził sobie z nim na początku ubiegłego wieku. Efekt, czyli trasa króla i odpowiadający jej kwadrat magiczny, przedstawione są na rys. 8. Znacznie później, korzystając z komputerów, wyznaczono wiele innych tras magicznych.

                 

                                                               Rys. 8

W roku 2006 na fali mody na sudoku wypłynęła królewska łamigłówka oparta na bardzo prostym pomyśle: w kwadracie ujawnione są tylko niektóre numery kolejnych pól trasy króla – na tej podstawie należy odtworzyć przebieg całej trasy, czyli ponumerować wszystkie pozostałe pola. Autor łamigłówki, izraelski matematyk Gyora Benedek, spodziewał się, że jego dziełko podbije świat podobnie jak sudoku. Zastrzegł nawet nazwę – hidato, co na niewiele się zdało, bo łamigłówka zaczęła się pojawiać pod innymi nazwami. Miała swoje pięć minut, gościła przez kilka miesięcy na łamach paru czasopism angielskich i amerykańskich, a potem stała się niszowa, jak wiele innych. Zasługuje jednak na przypomnienie, zwłaszcza że może być nieprosta, jak w trzecim zadaniu konkursowym.

 

ZADANIA

1. Król odwiedził wszystkie 21 pól diagramu na rys. 9, na którym ujawniono cztery fragmenty jego jednokierunkowej trasy. Każda czerwona strzałka oznacza kierunek wyjścia z danego pola. Jaki był kierunek wyjścia z środkowego pola, jeśli wiadomo, że w każdym z pięciu wierszy i w każdej z pięciu kolumn diagramu kierunki te były różne?

                                     

                                                               Rys. 9

2. Król ma do przejścia 100 pól oznaczonych literami (rys. 10). Zaczyna od A w lewym górnym rogu, skończyć powinien w prawym dolnym D. Trasa nie może przecinać samej siebie, ani przechodzić dwukrotnie przez to samo pole. Ciąg znajdujących się na niej liter powinien składać się z 25 cykli A-B-C-D (A-B-C-D-A-B-C-D-A-B-C-D…). W rozwiązaniu wystarczy podać, jaka jest długość trasy, przyjmując bok pola za jednostkę – z dokładnością do jednej cyfry po przecinku.

                                       

                                                              Rys. 10

3. Z zamkniętej trasy króla na szachownicy ujawnionych jest tylko 11 liczb, oznaczających kolejność odwiedzanych pól (rys. 11). Tyle wystarcza do zrekonstruowania całej trasy, czyli wpisania do pustych pól pozostałych 53 liczb. W rozwiązaniu wystarczy podać kolejne liczby w trzecim wierszu od góry.

                                       

                                                              Rys. 11

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 sierpnia br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG08/14, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Silniki grawitacji. Jak czarne dziury rządzą galaktykami i gwiazdami Caleba Scharfa, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

Rozwiązanie zadań z numeru czerwcowego

1.         Suma siedemnastu cyfr na przekątnych – 104.

2.         Suma magiczna – 393.

3.         96433469.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań nagrodę, książkę Iana Stewarta Wielkie problemy matematyczne, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Kamil Cerazy z Wałcza, Robert Motyka z Bogatyni, Anna Nowaczewska z Kutna, Paulina Sadowska z Czarnkowa, Alicja Wichowska z Kwidzyna.

 

Więcej w miesięczniku „Świat Nauki" nr 08/2014 »
Drukuj »
Ten artykuł nie został jeszcze skomentowany.
Aktualne numery
11/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
23
W 2003 r. miało miejsce całkowite zaćmienie Słońca widoczne w Australii, Nowej Zelandii, Antarktyce i Ameryce Południowej.
Warto przeczytać
Odkrycia Svante Pääbo zrewolucjonizowały antropologię i doprowadziły do naniesienia poprawek w naszym drzewie genealogicznym. Stały się fundamentem, na którym jeszcze przez długie lata budować będą inni badacze

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Marek Penszko | dodano: 2014-07-21
Król na spacerze. Krok po kroku przez całą szachownicę

Dwie figury szachowe – najsilniejsza, czyli hetman, i najsłabsza, choć najważniejsza, czyli król – mają ze sobą wiele wspólnego. Król bywa czasem nazywany „chromym hetmanem”, co wiąże się ze sposobem ruchu obu figur. Każda może się przemieszczać w ośmiu kierunkach, ale hetman pomyka tak daleko, jak chce i może, a król kuśtyka po jednym polu. Mimo to, choć drobnymi kroczkami, jest w stanie dotrzeć wszędzie, a więc także obejść całą szachownicę. Takich właśnie obchodów dotyczy niniejszy artykuł.

Pozornie sprawa jest prosta. Przewędrować królem 64 pola, goszcząc na każdym dokładnie raz – nietrudno. Trzeba tylko uważać, aby po drodze nie zostawić takiego pustego pola, do którego później nie będzie można dotrzeć. Różnych królewskich wędrówek jest mnóstwo; wprawdzie dla miniszachownicy 2×2 zaledwie trzy (rys. 1), ale dla 8×8 blisko tryliard (1021). Najprościej obejść wszystkie pola ruchem wieży, np. tak, jak na rys. 2, bowiem taka trasa jest również królewska, jednak pominięcie ruchów na ukos wydaje się „nie fair”, zwłaszcza że właśnie z nimi wiążą się ciekawe zagadnienia.

                            

                                                            Rys. 1

Przed wielu laty, na jednej z olimpiad matematycznych pojawiło się zadanie, polegające na określeniu najdłuższej drogi króla na szachownicy. Inaczej mówiąc, należało wykazać, ile najwięcej ruchów na ukos (o długości równej √2) albo najmniej na wprost (długość równa 1) może obejmować taka droga. Właściwie zadanie ma cztery warianty w zależności od warunków dodatkowych. Łamana może być zamknięta, czyli kończyć się w polu startowym albo nie; może także przecinać samą siebie lub nigdzie się nie krzyżować.

                                     

                                                        Rys. 2

                                   

                                                        Rys. 3

Rozwiązanie jest najprostsze dla drogi otwartej i bez skrzyżowań. Wystarczy zauważyć, że przez każdy punkt styku czterech pól król może przejść w ruchu na ukos tylko raz, zatem takich ruchów nie może być więcej niż punktów, czyli 49 – przykładowa trasa na rys. 3. Jeżeli postawimy wymóg, aby łamana była zamknięta (tak było na olimpiadzie), ograniczy to ruchliwość króla, a liczba ruchów na ukos zmaleje. Do ilu?

Trasa musi zaliczyć 28 skrajnych pól planszy. Jeśli dwa skrajne pola, stanowiące końce fragmentu łamanej, nie będą sąsiednimi (dwa przykłady na rys. 4a), to łącząca je linia odetnie część szachownicy, a to spowoduje, że cała trasa przetnie samą siebie. Pola te muszą być zatem sąsiednimi, a więc będą różnego koloru. Stąd wniosek, że na łączącym je fragmencie łamanej znajdzie się przynajmniej jeden ruch na wprost, aby nastąpiła zmiana koloru pól na tym fragmencie. W szczególnym przypadku dwa sąsiednie skrajne pola będą połączone bezpośrednio jednym ruchem na wprost. W sumie między każdymi dwoma kolejnymi skrajnymi polami na trasie musi pojawić się przynajmniej jeden ruch na wprost, a więc wszystkich takich ruchów będzie co najmniej 28, a ruchów na ukos najwyżej 36 – przykład trasy na rys. 4b.

                  

                                                                Rys. 4

Nieco trudniej ustalić maksymalną długość królewskiej drogi, która może przecinać samą siebie. Zaczniemy od trasy otwartej. Wygodnie jest posłużyć się schematem z rys. 5a, przedstawiającym pełny graf wędrówki króla tylko po białych polach, ale podzielony na 9 części. Gdyby królowi udało się przejść cały ten graf „za jednym zamachem”, a potem ruchem na wprost przeskoczyć na bliźniaczy graf obejmujący niebieskie pola, to wszystkie ruchy na trasie, poza jednym, byłyby na ukos. Łatwo sprawdzić, że nie jest to możliwe. A zatem biały graf trzeba pokonywać etapami, zaliczając między nimi bliźniacze części niebieskiego. Im mniej etapów, tym dłuższa trasa. Ile może ich być najmniej?

                

                                                              Rys. 5

Każda z sześciu małych części grafu w kształcie krzyża obejmuje 4 ruchy, ale zaliczyć można tylko 2; dwie narożne części mają po 8 ruchów, ale więcej niż 5 nie sposób wykonać; grupa w centrum to 9 ruchów, ale do zaliczenia tylko 6. Ograniczenia we wszystkich trzech przypadkach wiążą się oczywiście z tym, że nie można dwukrotnie gościć na tym samym polu. A zatem na całej trasie króla znajdzie się co najwyżej 6×2+2×5+6=28 ruchów na ukos między białymi polami. Wiedząc, że do przejścia są 32 białe pola, łatwo wyliczyć, ile musi być etapów. Gdyby był jeden etap, to ruchów byłoby 31, przy dwóch etapach – 30, przy trzech – 29, przy czterech – 28. Reasumując, król ma do pokonania przynajmniej cztery białe i cztery niebieskie „ukośne” etapy połączone 63–2×28=7 ruchami na wprost. Najprostsza trasa składa się z 4 „warkoczyków” (rys. 5b).

Pozostał najtrudniejszy przypadek – łamana przecina samą siebie i jest zamknięta. Jaka będzie najdłuższa? Można przypuszczać, że zamknięcie łamanej niejako wymusi większą liczbę ruchów na wprost. Jest to o tyle słuszne, że pojawi się jeden taki ruch, łączący końce trasy, a więc wszystkich ruchów na wprost będzie 8. Jednak poza tym cały poprzedni dowód dla otwartej drogi, związany z jej podziałem na osiem etapów i zakończony łamaną z 56 ukośnymi ruchami, wydaje się słuszny także w tym przypadku. Trudność polega natomiast na wyznaczeniu trasy zamkniętej, zawierającej 56 ruchów na ukos. Przez długi czas uważano, że taka trasa nie istnieje i próbowano to udowodnić. Dopiero przed czterema laty z pomocą komputera udało się znaleźć dwie drogi (rys. 6) i prawdopodobnie więcej ich nie ma. A zatem maksymalna długość wędrówki króla po szachownicy, bez odwiedzania dwukrotnie tego samego pola, równa jest 8+56√2≈87,196.

               

                                                             Rys. 6

Królewskiemu wędrowaniu stawiano też inne warunki, powstawały więc zadania i problemy, z których część pozostaje nierozwiązana. Na przykład w grze matematycznej zwanej cetno dwaj gracze wykonują na przemian ruchy królem, przestawiając go jednak zawsze wyłącznie na jedno z pól graniczących (bokiem lub tylko rogiem) z parzystą liczbą pól dotąd odwiedzonych – licząc także to, na którym w danej chwili król się znajduje. Ta reguła obowiązuje oczywiście od drugiego ruchu. Przegrywa, kto jako pierwszy nie będzie mógł wykonać ruchu.

W praktyce jest to gra typu papier-ołówek na kartce w kratkę. Na początku wyznacza się planszę, czyli rysuje dowolny wielokąt obejmujący kilkadziesiąt pól – najlepiej o nieregularnym kształcie – a następnie gracze wpisują do pól kolejne liczby, zaczynając od jedynki w polu startowym. Po drugim ruchu mogą powstać tylko dwa układy (rys. 7, kropkami oznaczono pola dla czwórki, czyli trzeciego ruchu), ale dalej sytuacja bardzo się komplikuje. Gra cetno ma też wersję licho – każdą liczbę należy wpisywać do kratki graniczącej z nieparzystą liczbą ponumerowanych kratek. Czy gdyby warunek z cetna lub licha postawić królowi wędrującemu po szachownicy, to obszedłby całą planszę? Okazuje się, że w przypadku cetna nie jest to możliwe i dotyczy nie tylko planszy 8×8, ale wszystkich prostokątów większych niż 1×2, a dowód jest dość prosty; natomiast dla licha dowód nie jest znany, ale komputery podpowiadają, że także nie ma takiej możliwości.

                                     

                                                             Rys. 7

Z numerowaniem kolejnych pól królewskiej wędrówki wiąże się kilka ciekawych problemów i łamigłówek matematycznych. Najstarsza, znana od ponad 100 lat, zwana jest drogą magiczną. Polega na wyznaczeniu takiej trasy króla w kwadracie 8×8, aby liczby w polach tworzyły kwadrat magiczny, czyli aby ich sumy w wierszach, kolumnach i na obu przekątnych były takie same, równe 260. Zadanie wydaje się karkołomne bez komputerowego wsparcia, ale cierpliwy brytyjski matematyk Walter Rouse Ball poradził sobie z nim na początku ubiegłego wieku. Efekt, czyli trasa króla i odpowiadający jej kwadrat magiczny, przedstawione są na rys. 8. Znacznie później, korzystając z komputerów, wyznaczono wiele innych tras magicznych.

                 

                                                               Rys. 8

W roku 2006 na fali mody na sudoku wypłynęła królewska łamigłówka oparta na bardzo prostym pomyśle: w kwadracie ujawnione są tylko niektóre numery kolejnych pól trasy króla – na tej podstawie należy odtworzyć przebieg całej trasy, czyli ponumerować wszystkie pozostałe pola. Autor łamigłówki, izraelski matematyk Gyora Benedek, spodziewał się, że jego dziełko podbije świat podobnie jak sudoku. Zastrzegł nawet nazwę – hidato, co na niewiele się zdało, bo łamigłówka zaczęła się pojawiać pod innymi nazwami. Miała swoje pięć minut, gościła przez kilka miesięcy na łamach paru czasopism angielskich i amerykańskich, a potem stała się niszowa, jak wiele innych. Zasługuje jednak na przypomnienie, zwłaszcza że może być nieprosta, jak w trzecim zadaniu konkursowym.

 

ZADANIA

1. Król odwiedził wszystkie 21 pól diagramu na rys. 9, na którym ujawniono cztery fragmenty jego jednokierunkowej trasy. Każda czerwona strzałka oznacza kierunek wyjścia z danego pola. Jaki był kierunek wyjścia z środkowego pola, jeśli wiadomo, że w każdym z pięciu wierszy i w każdej z pięciu kolumn diagramu kierunki te były różne?

                                     

                                                               Rys. 9

2. Król ma do przejścia 100 pól oznaczonych literami (rys. 10). Zaczyna od A w lewym górnym rogu, skończyć powinien w prawym dolnym D. Trasa nie może przecinać samej siebie, ani przechodzić dwukrotnie przez to samo pole. Ciąg znajdujących się na niej liter powinien składać się z 25 cykli A-B-C-D (A-B-C-D-A-B-C-D-A-B-C-D…). W rozwiązaniu wystarczy podać, jaka jest długość trasy, przyjmując bok pola za jednostkę – z dokładnością do jednej cyfry po przecinku.

                                       

                                                              Rys. 10

3. Z zamkniętej trasy króla na szachownicy ujawnionych jest tylko 11 liczb, oznaczających kolejność odwiedzanych pól (rys. 11). Tyle wystarcza do zrekonstruowania całej trasy, czyli wpisania do pustych pól pozostałych 53 liczb. W rozwiązaniu wystarczy podać kolejne liczby w trzecim wierszu od góry.

                                       

                                                              Rys. 11

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 sierpnia br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG08/14, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Silniki grawitacji. Jak czarne dziury rządzą galaktykami i gwiazdami Caleba Scharfa, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

Rozwiązanie zadań z numeru czerwcowego

1.         Suma siedemnastu cyfr na przekątnych – 104.

2.         Suma magiczna – 393.

3.         96433469.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań nagrodę, książkę Iana Stewarta Wielkie problemy matematyczne, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Kamil Cerazy z Wałcza, Robert Motyka z Bogatyni, Anna Nowaczewska z Kutna, Paulina Sadowska z Czarnkowa, Alicja Wichowska z Kwidzyna.