nauki ścisłe
Autor: Marek Penszko | dodano: 2014-06-18
Magia parami, Dominowe kwadraty

Pierwsza wzmianka o kamieniach do gry w domino – takich, jakie dziś zna chyba każdy – pochodzi z połowy XVIII wieku z Włoch, ale ich rodowód pozostaje zagadką. Nie ma pewności, czy stanowią modyfikację bardzo podobnego rekwizytu do gry znanego w Chinach od XII wieku, który być może trafił do Europy za pośrednictwem średniowiecznych kupców, czy też zostały wymyślone niezależnie. Pewne jest natomiast, że okres świetności tej gry przypadł na wiek XIX, a ognisko dominowej epidemii stanowiły od końca XVIII wieku paryskie kawiarnie. Dość istotny wpływ na rozpowszechnienie nowej gry miał fakt, że była ona szlachetną konkurencją dla kojarzonych z hazardem kart oraz że chętnie grali w nią i polecali – także ze względu na „pobożną” nazwę – duchowni. Przede wszystkim jednak była lekką i przyjemną formą relaksu.

Do dziś w wielu regionach (m.in. Ameryka Łacińska, kraje arabskie, dawne republiki azjatyckie ZSRR) domino jest nie mniej popularne niż w XIX wieku w Europie, tylko sposób gry bywa zwykle bardziej „nowoczesny” – para przeciw parze, jak w brydżu. Taka wersja uchodzi za sportową, organizowane są turnieje, a nawet mistrzostwa świata. Struktura kompletu 28 kamieni także od dawna budzi zainteresowanie. Dotyczące jej artykuły pojawiają się w czasopismach matematycznych, a dominowe łamigłówki goszczą w matematycznych kon­kursach oraz w publikacjach adresowanych do miłośników łamania głowy.

 

 

W systemie operacyjnym Android od niedawna dostępny jest zestaw Mind Games, złożony z kilkunastu dość trudnych zadań, nawiązujących do klasycznych gier. Nie brak w nim również domina. O co chodzi w dominowej zabawie, łatwo wywnioskować z rys. 1, przedstawiającego zrzut ekranu po wykonaniu pierwszego ruchu. Wybierane kamienie przenoszone są po jednym w oznaczone miejsca (można je obracać o 180 stopni). Przy brzegu pojawiają się sumy oczek na połówkach kamieni umieszczonych w danym wierszu, kolumnie oraz na dwu przekątnych. Celem jest takie ułożenie ośmiu wybranych kamieni, aby wszystkie te sumy były jednakowe.

Układanka jest benedyktyńska, jeśli rozwiązywać ją metodą prób i błędów. Łatwiej stracić cierpliwość, niż dotrzeć do celu, mimo że geometria układu kamieni jest określona, co ułatwia zadanie, które w ogólnej postaci, znanej od połowy XIX wieku, brzmi krótko i zwięźle: ułóż kwadrat magiczny z kamieni domina.

Klasyczny kwadrat magiczny n×n tworzą różne liczby od 1 do n2 ustawione tak, że ich sumy w wierszach, kolumnach i na przekątnych są jednakowe. Kwadrat czwartego rzędu (n=4) składa się więc z liczb od 1 do 16 rozmieszczonych, na przykład, w sposób pokazany na rys. 2 – suma magiczna równa jest 34. Magię domina łączy z klasyczną to, że sumy w 2n+2 rzędach są jednakowe. Reszta jest inna, ponieważ kwadrat powstaje z różnych par liczb, przy czym liczby powtarzają się i żadna nie jest większa od 6. Z parzystości składników wynika parzystość kwadratów, które mogą mieć wymiary tylko 4×4 lub 6×6. Kwadrat 2×2 jest wykluczony, bo musiałby się składać z dwóch identycznych dubletów, a dla większych niż 6×6 zabrakłoby kamieni w komplecie domina.

 

 

Dla kwadratów 4×4 łatwo ustalić konkretnie dwa elementy: możliwe sumy magiczne oraz geometrię układów kamieni. Suma oczek na ośmiu kamieniach równa jest co najmniej 19, a co najwyżej 77. W kwadracie magicznym suma ta powinna być wielokrotnością czterech, a więc będzie równa przynajmniej 20, a co najwyżej 76. Stąd możliwe sumy magiczne, których jest piętnaście – od 5 do 19. Natomiast różnych sposobów ułożenia ośmiu kamieni w kwadracie 4×4 jest dziewięć (rys. 3).

 

W konkretnych zadaniach zwykle jest ujawniony przynajmniej jeden z tych elementów: układ kamieni lub suma magiczna. Jednak nawet podanie obu nie gwarantuje jednoznaczności rozwiązania. W pierwszych XIX-wiecznych łamigłówkach tego rodzaju wskazywano po prostu osiem kamieni, z których należało ułożyć kwadrat magiczny 4×4. Tym samym określona była też suma magiczna. W jednej z nich, zamieszczonej przed 120 laty we francuskim tygodniku L’Illustration, należało skorzystać z kamieni 0–2, 0–3, 0–4, 1–4, 2–2, 2–3, 3–3, 3–4. Kto wybierze te kamienie z kompletu i spróbuje zmierzyć się z retro-układanką, ten zapewne potwierdzi, że jest ona niełatwa, wciągająca i… złośliwa.

 

Złośliwość polega na tym, że często do położenia siódmego kamienia wszystko idzie jak należy, czyli sumy są właściwe i dopiero przy ostatnim kamieniu okazuje się, że droga wiodła na manowce. Przykład takiej pechowej końcówki jest przedstawiony na rys. 4 – sumy w wierszach i kolumnach są takie jak należy, czyli równe 9, na jednej przekątnej także 9, a na drugiej – niestety – 7. W XIX wieku czytelnicy, a zapewne i autor zadania, nie zagłębiali się zbytnio w sposób jego rozwiązywania. Traktowali je jak układankę typu „kombinuj i licz”. W L’Illustration podane jest tylko jedno rozwiązanie bez komentarza. W miarę prosty, logiczny sposób, pozwalający znaleźć wszystkie rozwiązania dla danych ośmiu kamieni, nie jest zresztą znany. Można wprawdzie skorzystać ze schematycznych układów z rys. 3, próbując wpasować w któryś z nich wybrane kamienie, ale to droga żmudna i nieciekawa. Wydaje się, że dość przyjemnie i skutecznie udaje się dotrzeć do kilku rozwiązań inną drogą. Zacząć należy od „rozparowania” kamieni i ułożenia kwadratu magicznego z 16 cyfr umieszczonych na ich połówkach. W przypadku zadania retro dysponujemy następującym zestawem cyfr:

0, 0, 0

1

2, 2, 2, 2

3, 3, 3, 3, 3

4, 4, 4

Można z nich utworzyć sześć różnych kwartetów cyfr takich, że suma cyfr każdego równa jest 9:

[0, 1, 4, 4]

[0, 2, 3, 4]

[0, 3, 3, 3]

[1, 2, 2, 4]

[1, 2, 3, 3]

[2, 2, 2, 3]

Cztery z tych kwartetów powinny występować w wierszach kwadratu magicznego, przy czym takie same kwartety mogą się powtarzać, a wszystkie cztery muszą obejmować cały zestaw 16 cyfr. Takie czwórki kwartetów są trzy (rys. 5 u góry) – każda z nich stanowi jakby zalążek kwadratu magicznego.

 

 

Następnym krokiem jest takie przestawienie cyfr w rzędach, aby w kolumnach także pojawiły się kwartety cyfr z sumą równą 9. Przykładowe rezultaty tej operacji przedstawione są na rys. 5 u dołu. Teraz pozostaje przestawić wiersze lub/i kolumny w taki sposób, aby na przekątnych również pojawiły się sumy magiczne. Dozwolona jest także tzw. inwersja – jeśli układ cyfr na to pozwala – czyli w tym przypadku obrót ćwiartki kwadratu o 90 stopni. Możliwe ciągi zmian dla kwadratów z rys. 5a i 5b, prowadzące do pełnej magii, pokazane są na rys. 6; w obu przypadkach ostatnia zmiana, oznaczona kółkiem, jest inwersją. Etap końcowy to „sparowanie” cyfr, czyli podział kwadratów na zadane kamienie domina. W ten sposób otrzymujemy dwa rozwiązania – kwadraty w czerwonej ramce na rys. 6. Pominęliśmy na razie przypadek szczególny – „gotowy”, czyli niewymagający żadnych modyfikacji kwadrat magiczny z rys. 5c; będzie o nim mowa w pierwszym zadaniu konkursowym.

 

 

Zadanie z L’Illustration ma w sumie 13 rozwiązań. Rozwiązań łamigłówki z zestawu Mind Games (rys. 1) jest… 131 344. Jak znaleźć na logikę choć jedno? Najprościej, wybierając zestaw 8 kamieni, dających najmniejszą sumę magiczną, czyli 5, a więc suma oczek na wybranych kamieniach powinna być równa 20. Wyboru dokonujemy spośród 12 kamieni z liczbą oczek nie większą niż 5: 0–0, 0–1, 0–2, 1–1, 0–3, 1–2, 0–4, 1–3, 2–2, 0–5, 1–4, 2–3. Suma liczb na tych 12 kamieniach wynosi 38, a zatem należy usunąć spośród nich cztery z sumą 18. Ogólne możliwości usunięcia są dwie: dwie „piątki” i dwie „czwórki” lub trzy „piątki” i jedna „trójka”. Łatwo dowieść, że usunąć trzeba 0–5, bo po umieszczeniu go do wypełnienia kwadratu zabrakłoby „mydeł”, czyli zer. Na pewno pozostaną cztery kamienie 0–0, 0–1, 0–2, 1–1 z sumami 0, 1, 2, 2. Każdy powinien trafić do górnej lub dolnej połowy kwadratu na rys. 1, a pod nim lub nad nim powinno się znaleźć jego „dopełnienie” do 5, czyli łącznie cztery kamienie z sumami 5, 4, 3, 3. Sumy liczb w górnej i dolnej połowie powinny być takie same, równe 10, co stanowi klucz do rozmieszczenia kamieni – kamienie z sumami 0, 4, 3, 3 powinny się znaleźć w jednej połowie, a z sumami 5, 1, 2, 2 naprzeciwko nich w drugiej. Wstępny układ może więc wyglądać na przykład tak, jak na rys. 7. Dalsza zabawa polega na takim obracaniu kamieni i przestawianiu kolumn, aby sumy magiczne 5 pojawiły się we wszystkich wierszach i na obu przekątnych. Warto się pobawić w ramach wprawki przed podobnym zadaniem konkursowym.

 

 

 

ZADANIA

1. Kwadratu magicznego z rys. 5c nie sposób ułożyć z kamieni, z których powinien być ułożony. Mało tego – łatwo sprawdzić, że utworzenie tego kwadratu z domina w ogóle nie jest możliwe bez powtarzania takich samych kamieni. Zadanie polega na przekształceniu go w taki kwadrat magiczny, którego podział na kamienie wymagane w zadaniu z L’Illustration (0–2, 0–3, 0–4, 1–4, 2–2, 2–3, 3–3, 3–4) będzie możliwy. Przekształcenia należy dokonać w minimalnej liczbie kroków. Każdy krok powinien być zamianą miejscami dwu wierszy lub dwu kolumn albo inwersją.

 

2. Z dominowymi kwadratami magicznymi 4×4 komputery sobie poradziły, czyli wszystkie zostały policzone i posegregowane. Okazało się, że jest ich 3 639 920. Dla odmiany układanie kwadratów 6×6 to rozrywka ekstremalna nawet dla komputerów. Wprawdzie łatwo ustalić ich sumę magiczną (może przybierać wartości od 13 do 23), ale nie wiadomo, ile jest różnych schematów ułożenia w nich kamieni, a więc tym bardziej nie jest znana liczba kwadratów. Ciekawostkę znaną od XIX wieku stanowią natomiast układane z wszystkich 28 kamieni kompletu dominowe kwadraty magiczne… 7×7 z sumą magiczną 24. W istocie są to prostokąty 7×8 z zerowym brzegiem, których część niezerowa (a ściślej – zawierająca jedno zero) tchnie magią. Jeden z takich osobliwych eksponatów z dominowego panoptikum przedstawiony jest na rys. 8. Granice między kamieniami zostały jednak usunięte, a zadanie polega na ich odtworzeniu. W rozwiązaniu wystarczy podać, ile kamieni leży poziomo.

 

 

3. Z pięciu kamieni można utworzyć kwadrat magiczny 3×3 z „rogiem” – na przykład taki, jak na rys. 9a. Jego suma magiczna równa jest 6; róg nie jest wliczany do sumy, więc może być dowolny. Taki rogaty kwadrat magiczny ułożono z pięciu różnych kamieni, z których cztery pokazane są na rys. 9b. Jaki był piąty kamień?

 

 

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 lipca br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG07/14, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Nasz inny Wszechświat. Poza kosmiczny horyzont i dalej Paula Halperna  ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

 

Rozwiązanie zadań z numeru majowego

1. Pierwszy syn wziął 35/9 dukatów, drugi – 35/6, trzeci – 70/9.

2. Stado liczyło 142 krowy

3. 17/18=1/2+1/4+1/8+1/16+1/144

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań nagrodę, książkę Briana Clegga Jak zbudować wehikuł czasu, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Piotr Biełło, Anna Bukowska, Joanna Kotuła, Paweł Latosiński i Łukasz Muszel.

Więcej w miesięczniku „Świat Nauki" nr 07/2014 »
Drukuj »
Ten artykuł nie został jeszcze skomentowany.
Aktualne numery
11/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
18
W 1897 r. urodził się Patrick Maynard Stuart Blackett, brytyjski fizyk, laureat Nagrody Nobla.
Warto przeczytać
Odkrycia Svante Pääbo zrewolucjonizowały antropologię i doprowadziły do naniesienia poprawek w naszym drzewie genealogicznym. Stały się fundamentem, na którym jeszcze przez długie lata budować będą inni badacze

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Marek Penszko | dodano: 2014-06-18
Magia parami, Dominowe kwadraty

Pierwsza wzmianka o kamieniach do gry w domino – takich, jakie dziś zna chyba każdy – pochodzi z połowy XVIII wieku z Włoch, ale ich rodowód pozostaje zagadką. Nie ma pewności, czy stanowią modyfikację bardzo podobnego rekwizytu do gry znanego w Chinach od XII wieku, który być może trafił do Europy za pośrednictwem średniowiecznych kupców, czy też zostały wymyślone niezależnie. Pewne jest natomiast, że okres świetności tej gry przypadł na wiek XIX, a ognisko dominowej epidemii stanowiły od końca XVIII wieku paryskie kawiarnie. Dość istotny wpływ na rozpowszechnienie nowej gry miał fakt, że była ona szlachetną konkurencją dla kojarzonych z hazardem kart oraz że chętnie grali w nią i polecali – także ze względu na „pobożną” nazwę – duchowni. Przede wszystkim jednak była lekką i przyjemną formą relaksu.

Do dziś w wielu regionach (m.in. Ameryka Łacińska, kraje arabskie, dawne republiki azjatyckie ZSRR) domino jest nie mniej popularne niż w XIX wieku w Europie, tylko sposób gry bywa zwykle bardziej „nowoczesny” – para przeciw parze, jak w brydżu. Taka wersja uchodzi za sportową, organizowane są turnieje, a nawet mistrzostwa świata. Struktura kompletu 28 kamieni także od dawna budzi zainteresowanie. Dotyczące jej artykuły pojawiają się w czasopismach matematycznych, a dominowe łamigłówki goszczą w matematycznych kon­kursach oraz w publikacjach adresowanych do miłośników łamania głowy.

 

 

W systemie operacyjnym Android od niedawna dostępny jest zestaw Mind Games, złożony z kilkunastu dość trudnych zadań, nawiązujących do klasycznych gier. Nie brak w nim również domina. O co chodzi w dominowej zabawie, łatwo wywnioskować z rys. 1, przedstawiającego zrzut ekranu po wykonaniu pierwszego ruchu. Wybierane kamienie przenoszone są po jednym w oznaczone miejsca (można je obracać o 180 stopni). Przy brzegu pojawiają się sumy oczek na połówkach kamieni umieszczonych w danym wierszu, kolumnie oraz na dwu przekątnych. Celem jest takie ułożenie ośmiu wybranych kamieni, aby wszystkie te sumy były jednakowe.

Układanka jest benedyktyńska, jeśli rozwiązywać ją metodą prób i błędów. Łatwiej stracić cierpliwość, niż dotrzeć do celu, mimo że geometria układu kamieni jest określona, co ułatwia zadanie, które w ogólnej postaci, znanej od połowy XIX wieku, brzmi krótko i zwięźle: ułóż kwadrat magiczny z kamieni domina.

Klasyczny kwadrat magiczny n×n tworzą różne liczby od 1 do n2 ustawione tak, że ich sumy w wierszach, kolumnach i na przekątnych są jednakowe. Kwadrat czwartego rzędu (n=4) składa się więc z liczb od 1 do 16 rozmieszczonych, na przykład, w sposób pokazany na rys. 2 – suma magiczna równa jest 34. Magię domina łączy z klasyczną to, że sumy w 2n+2 rzędach są jednakowe. Reszta jest inna, ponieważ kwadrat powstaje z różnych par liczb, przy czym liczby powtarzają się i żadna nie jest większa od 6. Z parzystości składników wynika parzystość kwadratów, które mogą mieć wymiary tylko 4×4 lub 6×6. Kwadrat 2×2 jest wykluczony, bo musiałby się składać z dwóch identycznych dubletów, a dla większych niż 6×6 zabrakłoby kamieni w komplecie domina.

 

 

Dla kwadratów 4×4 łatwo ustalić konkretnie dwa elementy: możliwe sumy magiczne oraz geometrię układów kamieni. Suma oczek na ośmiu kamieniach równa jest co najmniej 19, a co najwyżej 77. W kwadracie magicznym suma ta powinna być wielokrotnością czterech, a więc będzie równa przynajmniej 20, a co najwyżej 76. Stąd możliwe sumy magiczne, których jest piętnaście – od 5 do 19. Natomiast różnych sposobów ułożenia ośmiu kamieni w kwadracie 4×4 jest dziewięć (rys. 3).

 

W konkretnych zadaniach zwykle jest ujawniony przynajmniej jeden z tych elementów: układ kamieni lub suma magiczna. Jednak nawet podanie obu nie gwarantuje jednoznaczności rozwiązania. W pierwszych XIX-wiecznych łamigłówkach tego rodzaju wskazywano po prostu osiem kamieni, z których należało ułożyć kwadrat magiczny 4×4. Tym samym określona była też suma magiczna. W jednej z nich, zamieszczonej przed 120 laty we francuskim tygodniku L’Illustration, należało skorzystać z kamieni 0–2, 0–3, 0–4, 1–4, 2–2, 2–3, 3–3, 3–4. Kto wybierze te kamienie z kompletu i spróbuje zmierzyć się z retro-układanką, ten zapewne potwierdzi, że jest ona niełatwa, wciągająca i… złośliwa.

 

Złośliwość polega na tym, że często do położenia siódmego kamienia wszystko idzie jak należy, czyli sumy są właściwe i dopiero przy ostatnim kamieniu okazuje się, że droga wiodła na manowce. Przykład takiej pechowej końcówki jest przedstawiony na rys. 4 – sumy w wierszach i kolumnach są takie jak należy, czyli równe 9, na jednej przekątnej także 9, a na drugiej – niestety – 7. W XIX wieku czytelnicy, a zapewne i autor zadania, nie zagłębiali się zbytnio w sposób jego rozwiązywania. Traktowali je jak układankę typu „kombinuj i licz”. W L’Illustration podane jest tylko jedno rozwiązanie bez komentarza. W miarę prosty, logiczny sposób, pozwalający znaleźć wszystkie rozwiązania dla danych ośmiu kamieni, nie jest zresztą znany. Można wprawdzie skorzystać ze schematycznych układów z rys. 3, próbując wpasować w któryś z nich wybrane kamienie, ale to droga żmudna i nieciekawa. Wydaje się, że dość przyjemnie i skutecznie udaje się dotrzeć do kilku rozwiązań inną drogą. Zacząć należy od „rozparowania” kamieni i ułożenia kwadratu magicznego z 16 cyfr umieszczonych na ich połówkach. W przypadku zadania retro dysponujemy następującym zestawem cyfr:

0, 0, 0

1

2, 2, 2, 2

3, 3, 3, 3, 3

4, 4, 4

Można z nich utworzyć sześć różnych kwartetów cyfr takich, że suma cyfr każdego równa jest 9:

[0, 1, 4, 4]

[0, 2, 3, 4]

[0, 3, 3, 3]

[1, 2, 2, 4]

[1, 2, 3, 3]

[2, 2, 2, 3]

Cztery z tych kwartetów powinny występować w wierszach kwadratu magicznego, przy czym takie same kwartety mogą się powtarzać, a wszystkie cztery muszą obejmować cały zestaw 16 cyfr. Takie czwórki kwartetów są trzy (rys. 5 u góry) – każda z nich stanowi jakby zalążek kwadratu magicznego.

 

 

Następnym krokiem jest takie przestawienie cyfr w rzędach, aby w kolumnach także pojawiły się kwartety cyfr z sumą równą 9. Przykładowe rezultaty tej operacji przedstawione są na rys. 5 u dołu. Teraz pozostaje przestawić wiersze lub/i kolumny w taki sposób, aby na przekątnych również pojawiły się sumy magiczne. Dozwolona jest także tzw. inwersja – jeśli układ cyfr na to pozwala – czyli w tym przypadku obrót ćwiartki kwadratu o 90 stopni. Możliwe ciągi zmian dla kwadratów z rys. 5a i 5b, prowadzące do pełnej magii, pokazane są na rys. 6; w obu przypadkach ostatnia zmiana, oznaczona kółkiem, jest inwersją. Etap końcowy to „sparowanie” cyfr, czyli podział kwadratów na zadane kamienie domina. W ten sposób otrzymujemy dwa rozwiązania – kwadraty w czerwonej ramce na rys. 6. Pominęliśmy na razie przypadek szczególny – „gotowy”, czyli niewymagający żadnych modyfikacji kwadrat magiczny z rys. 5c; będzie o nim mowa w pierwszym zadaniu konkursowym.

 

 

Zadanie z L’Illustration ma w sumie 13 rozwiązań. Rozwiązań łamigłówki z zestawu Mind Games (rys. 1) jest… 131 344. Jak znaleźć na logikę choć jedno? Najprościej, wybierając zestaw 8 kamieni, dających najmniejszą sumę magiczną, czyli 5, a więc suma oczek na wybranych kamieniach powinna być równa 20. Wyboru dokonujemy spośród 12 kamieni z liczbą oczek nie większą niż 5: 0–0, 0–1, 0–2, 1–1, 0–3, 1–2, 0–4, 1–3, 2–2, 0–5, 1–4, 2–3. Suma liczb na tych 12 kamieniach wynosi 38, a zatem należy usunąć spośród nich cztery z sumą 18. Ogólne możliwości usunięcia są dwie: dwie „piątki” i dwie „czwórki” lub trzy „piątki” i jedna „trójka”. Łatwo dowieść, że usunąć trzeba 0–5, bo po umieszczeniu go do wypełnienia kwadratu zabrakłoby „mydeł”, czyli zer. Na pewno pozostaną cztery kamienie 0–0, 0–1, 0–2, 1–1 z sumami 0, 1, 2, 2. Każdy powinien trafić do górnej lub dolnej połowy kwadratu na rys. 1, a pod nim lub nad nim powinno się znaleźć jego „dopełnienie” do 5, czyli łącznie cztery kamienie z sumami 5, 4, 3, 3. Sumy liczb w górnej i dolnej połowie powinny być takie same, równe 10, co stanowi klucz do rozmieszczenia kamieni – kamienie z sumami 0, 4, 3, 3 powinny się znaleźć w jednej połowie, a z sumami 5, 1, 2, 2 naprzeciwko nich w drugiej. Wstępny układ może więc wyglądać na przykład tak, jak na rys. 7. Dalsza zabawa polega na takim obracaniu kamieni i przestawianiu kolumn, aby sumy magiczne 5 pojawiły się we wszystkich wierszach i na obu przekątnych. Warto się pobawić w ramach wprawki przed podobnym zadaniem konkursowym.

 

 

 

ZADANIA

1. Kwadratu magicznego z rys. 5c nie sposób ułożyć z kamieni, z których powinien być ułożony. Mało tego – łatwo sprawdzić, że utworzenie tego kwadratu z domina w ogóle nie jest możliwe bez powtarzania takich samych kamieni. Zadanie polega na przekształceniu go w taki kwadrat magiczny, którego podział na kamienie wymagane w zadaniu z L’Illustration (0–2, 0–3, 0–4, 1–4, 2–2, 2–3, 3–3, 3–4) będzie możliwy. Przekształcenia należy dokonać w minimalnej liczbie kroków. Każdy krok powinien być zamianą miejscami dwu wierszy lub dwu kolumn albo inwersją.

 

2. Z dominowymi kwadratami magicznymi 4×4 komputery sobie poradziły, czyli wszystkie zostały policzone i posegregowane. Okazało się, że jest ich 3 639 920. Dla odmiany układanie kwadratów 6×6 to rozrywka ekstremalna nawet dla komputerów. Wprawdzie łatwo ustalić ich sumę magiczną (może przybierać wartości od 13 do 23), ale nie wiadomo, ile jest różnych schematów ułożenia w nich kamieni, a więc tym bardziej nie jest znana liczba kwadratów. Ciekawostkę znaną od XIX wieku stanowią natomiast układane z wszystkich 28 kamieni kompletu dominowe kwadraty magiczne… 7×7 z sumą magiczną 24. W istocie są to prostokąty 7×8 z zerowym brzegiem, których część niezerowa (a ściślej – zawierająca jedno zero) tchnie magią. Jeden z takich osobliwych eksponatów z dominowego panoptikum przedstawiony jest na rys. 8. Granice między kamieniami zostały jednak usunięte, a zadanie polega na ich odtworzeniu. W rozwiązaniu wystarczy podać, ile kamieni leży poziomo.

 

 

3. Z pięciu kamieni można utworzyć kwadrat magiczny 3×3 z „rogiem” – na przykład taki, jak na rys. 9a. Jego suma magiczna równa jest 6; róg nie jest wliczany do sumy, więc może być dowolny. Taki rogaty kwadrat magiczny ułożono z pięciu różnych kamieni, z których cztery pokazane są na rys. 9b. Jaki był piąty kamień?

 

 

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 lipca br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG07/14, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Nasz inny Wszechświat. Poza kosmiczny horyzont i dalej Paula Halperna  ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

 

Rozwiązanie zadań z numeru majowego

1. Pierwszy syn wziął 35/9 dukatów, drugi – 35/6, trzeci – 70/9.

2. Stado liczyło 142 krowy

3. 17/18=1/2+1/4+1/8+1/16+1/144

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań nagrodę, książkę Briana Clegga Jak zbudować wehikuł czasu, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Piotr Biełło, Anna Bukowska, Joanna Kotuła, Paweł Latosiński i Łukasz Muszel.