nauki ścisłe
Autor: Marek Penszko | dodano: 2014-04-23
Ułamki egipskie. Powrót wielbłądów. Czyli o podziałach z resztą

 XVII-wieczny pisarz angielski Izaak Walton znany jest głównie jako autor książki The Compleat Angler (Wędkarz doskonały). To dość osobliwe dzieło, bo wbrew tytułowi więcej jest w nim poezji, anegdot i rozważań filozoficznych niż tekstów o łowieniu ryb. Powstawało głównie w trakcie wędkowania, czyli w chwilach sprzyjających rozmyślaniom nad różnymi sprawami. Nie zabrakło w nim także matematyki. Walton opisuje, na przykład, grupę czterech Cyganów, dzielących się tygodniowym zarobkiem – 20 szylingami – stosownie do rangi. Zgodnie z wstępnymi ustaleniami najważniejszy Cygan, dokonujący podziału, przyznaje sobie 1/3 kwoty, drugi dostaje 1/4, trzeci 1/5, a czwarty 1/6. Z podziałem nie było problemu, bo szyling dzielił się na 12 pensów, więc Cyganom przypadło: pierwszemu – 6 szylingów i 8 pensów, drugiemu – 5 szylingów, trzeciemu – 4 szylingi, czwartemu – 3 szylingi i 4 pensy. Ale potem doszło do awantury, bo 6+8/12+5+4+3+4/12=19, czyli został 1 szyling, który cichaczem przywłaszczył sobie najstarszy rangą. Podstaw do roszczeń jednak nie było, bo wcześniej sposób dystrybucji został przez wszystkich zaakceptowany.

Opisy takich „niesprawiedliwych” podziałów można znaleźć już w starożytnych papirusach. „Niesprawiedliwość” ma miejsce, gdy ustalone z góry n-te części, stanowiące udziały, nie sumują się do jedności – są mniejsze albo większe lub/i wynikające z podziału ułamki trudno zaakceptować, bo chodzi o przedmioty lub zwierzęta, które każdy chce otrzymać w całości. Starożytni, a częściej XV-, XVII-wieczni matematycy (Pacioli, Tartaglia, Apianus) radzili, jak postępować w takich sytuacjach, aby było w miarę sprawiedliwie. Dopiero jednak w drugiej połowie XIX wieku pojawił się sprytny pomysł, który przeszedł do historii jako na wpół żartobliwa perełka matematyki rekreacyjnej i powielany jest do dziś w różnych wersjach. Do Polski trafił po raz pierwszy w roku 1926 w zadaniu, które otwiera prekursorską u nas, wielokrotnie wznawianą książkę poświęconą rozrywkom matematycznym – Lilavati Szczepana Jeleńskiego.

Pewien Arab pozostawił w dziedzictwie swoim trzem synom do podziału stado wielbłądów, przy czym zaznaczył, że najstarszy ma otrzymać połowę, średni trzecią część, a najmłodszy dziewiątą część dziedzictwa. Okazało się jednak, iż stado liczy 17 sztuk…

Dalej jest „gwóźdź programu”, czyli rozwiązanie problemu: bracia pożyczają jednego wielbłąda, dokonują podziału 18 zwierząt zgodnie z instrukcją (9+6+2=17) i zwracają pożyczkę, która zostaje z podziału niczym szyling Cyganom. Genialnie proste i skuteczne! W dodatku każdy dostaje kawałek wielbłąda więcej, niż gdyby przydziałów dokonywać bez pożyczki, a więc „tnąc” zwierzęta.

Szczepan Jeleński napisał, powtarzając za niektórymi źródłami obcojęzycznymi: to jedno z najstarszych zadań, najprawdopodobniej pochodzenia autentycznie arabskiego, nieznanego autora. W rzeczywistości zadanie zostało po raz pierwszy opublikowane w wydanej w roku 1872 w Londynie książce Hanky Panky: A Book of Conjuring Tricks; jej autorem był niemiecki iluzjonista (urodzony w Żaganiu), jeden z najsłynniejszych w XIX wieku – Wiljalba Frikell. Od wersji z wielbłądami, która pojawiła się nieco później, różniło się tylko zwierzętami – dzielono stado słoni, a rzecz działa się w Chinach. Czasem pomysł przypisywany jest włoskiemu matematykowi z XVI wieku Niccolo Tartaglii, który w jednym z zadań zamieszczonych w księdze Quesiti et inventioni diverse miał jakoby zaproponować podział stada 17 koni. To jednak nieporozumienie. W żadnym dziele Tartaglii nie ma takiego zadania, natomiast we wspomnianym znajduje się jedno formalnie podobne, dotyczące podziału pieniędzy – przytaczam je jako pierwsze, najprostsze z konkursowych, na końcu artykułu.

Zastosowanie w ogólnym przypadku sposobu Frikella pożyczenie jednego elementu, podział, zwrot – możliwe jest oczywiście tylko wówczas, gdy spełnione są określone warunki. Przede wszystkim sposób dotyczy tzw. podziału z resztą, który właściwie stanowi przydział k osobom różnych liczb m-tych części jakiegoś dobra, składającego się z m–1 części, których suma jest o 1/m mniejsza od jedności. Co jednak najważniejsze, każda należna porcja powinna być podana w postaci tzw. ułamka jednostkowego zwanego też egipskim, czyli z jedynką w liczniku, określanego w tekście jako n-ta część. Jest to istotne dla „zamaskowania” stosowanego sposobu. Gdyby w zadaniu z wielbłądami zamiast 1/2, 1/3 i 1/9 było 9/18, 6/18 i 2/18, wówczas możliwość skorzystania z pożyczki byłaby zbyt widoczna.

Załóżmy, że S synów dzieli między siebie W wielbłądów (1<S<W). Jaka część dobytku powinna przypadać każdemu z nich, aby zastosowanie sposobu Frikella było możliwe? Aby to ustalić, należy znaleźć wszystkie możliwości przedstawienia liczby 1 jako sumy S+1 ułamków jednostkowych. Najmniejszy z nich powinien być równy 1/(W+1), a pozostałe muszą spełniać dwa warunki:

(1) powinny być różne,

(2) ich liczniki muszą być dzielnikami W+1.

Można to nieco uprościć, jeśli pominąć najmniejszy ułamek: szukać będziemy S różnych ułamków jednostkowych, których suma równa jest W/(W+1).

S i W są ze sobą powiązane, nie mogą więc przybierać dowolnych wartości. Ustalenie jednej z nich określa (lub wyklucza) drugą. Zaczniemy od konkretnych liczb synów. Dla S=2 możliwości są dwie: 1/2+1/4 (W=3) lub 1/2+1/3 (W=5); w tym drugim przypadku dwóch synów dzieliłoby stadko pięciu wielbłądów tak, aby jeden otrzymał połowę, a drugi trzecią część. Gdy S=3, jak w zadaniu firmowym, wówczas mamy 7 możliwości podanych w tabeli. Jak widać, wielkość stada może się wahać od 7 do 41. Dalej liczba możliwości szybko rośnie. Dla S=4 są już 52, a największe stado składa się z 1805 sztuk (1/2+1/3+1/7+1/43).

 

Nieco prościej i logicznie przyjemniej zacząć od wielbłądów, bo wówczas wiele możliwości łatwo wyeliminować. Czy na przykład stado może liczyć 13 sztuk? Nie, ponieważ (niezależnie od tego, że Arabowie są przesądni) po dodaniu 1 powstaje liczba (14), która ma za mało dzielników właściwych, więc największa suma różnych ułamków egipskich – 1/2+1/7+1/14 – jest mniejsza od 13/14. Ogólnie tylko 29 różnolicznych stad złożonych z mniej niż 100 wielbłądów nadaje się do zadania Frikella. Oto liczebności kilkunastu początkowych – 3, 5, 7, 11, 15, 17, 19, 23, 27, 29, 31, 35, 39, 41, 47, 53, 55,… Odpadły wszystkie stada parzyste, choć pozostaje zagadką, czy zawsze tak będzie, tzn. czy W nie może być wielokrotnością 2. Niektórymi stadami mogłyby się dzielić różne liczby synów. Na przykład, w podziale 23 wielbłądów mogłoby uczestniczyć 3 synów (1/2+1/3+1/8), 4 (1/2+1/4+1/8+1/12) lub 5 (1/3+1/4+1/6+1/8+1/12).

Nie brakuje wariacji na temat klasycznego zadania, w których zmieniają się nie tylko rodzaje zwierząt, liczebność stada i liczba osób uczestniczących w podziale. Także pożyczka może być większa (jak w 2. zadaniu poniżej) albo można ją zastąpić chwilowym… pozbyciem się zwierzęcia. Taki wariant pojawił się dopiero w roku 1971. Wielbłądów w stadzie jest 13 (sic!), a trzem synom przysługują: 1/2, 1/3 i 1/4 całości. Jedno zwierzę idzie się paść do oazy, synowie bez problemu dzielą się pozostałymi 12, a po powrocie wielbłąda wypada się zastanowić, co z nim zrobić. Można go na przykład przeznaczyć jako nagrodę dla tego, kto najszybciej rozwiąże wszystkie poniższe zadania.

ZADANIA

1.      (Zadanie Tartaglii). Pewien rolnik pozostawił w spadku trzem synom 17,5 dukata, zastrzegając w testamencie, aby pieniądze podzielili równo między siebie. Synowie zlekceważyli testament, otworzyli szkatułę z dukatami i każdy chwycił tyle monet, ile zdołał. Zjawił się jednak pewien starszy człowiek i przypomniał, że wolę testatora należy uszanować, po czym polecił zwrócić:

         – najstarszemu synowi – połowę tego, co wziął,

         – średniemu – 2/3 zabranej kwoty,

          – najmłodszemu – 3/4 pochwyconych dukatów.

         Następnie połączył to, co wszyscy zwrócili, podzielił na trzy równe części i każdą część wręczył jednemu z synów. Teraz każdy z nich miał tyle, ile powinien, czyli 1/3 spadku.

         Ile pieniędzy każdy z synów wziął na początku ze szkatuły? (Uwaga: zakładamy, że w szkatule znajdowały się także monety o wartościach będących nieparzystymi podwielokrotnościami dukata – takimi, że każdy podział zawartości szkatuły, wynikający z treści zadania, był możliwy bez cięcia dukatów).

2.      Stado krów z likwidowanego na początku lat 90. PGR-u postanowiono podzielić między pięciu rolników. Jeden z nich miał otrzymać 1/3, drugi 1/a, trzeci 1/b, czwarty 1/c, a piąty 1/9 stada (3<a<b<c

3.      W zadaniu Frikella suma trzech różnych ułamków egipskich (1/9, 1/3, 1/2) równa jest 17/18. Proszę przedstawić ułamek 17/18 w postaci sumy jak najmniejszej liczby różnych ułamków egipskich, spełniających następujący warunek: po ustawieniu ich w kolejności od najmniejszego do największego każdy następny powinien być całkowitą wielokrotnością poprzedniego.     

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 maja br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG05/14, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02-697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Jak zbudować wehikuł czasu Briana Clegga, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

Rozwiązanie zadań z numeru marcowego

1.      A-a, B-b, C-i, D-c, E-d, F-g, G-j, H-h, I-k, J-e, K-f.

2.      Dwójkę należało dopisać nad skrajną prawą kolumną.

3.      Suma cyfr na przekątnych – 42 (A=4, B=2, C=3, D=1, E=5).

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań nagrodę, książkę Skąd się wziął kot Schrödingera Johna Gribbina, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Piotr Ackerman, Anna Dudycz, Michał Dwojak, Krzysztof Jawor i Maja Kowalik.

 

Więcej w miesięczniku „Świat Nauki" nr 05/2014 »
Drukuj »
Komentarze
Dodany przez: Andrzej | 2014-04-28
Drugie zadanie konkursowe wygląda tak, jakby psotny duszek "połknął" część treści zadania. Może to i dobrze. Czasami szukanie pytań jest nie mniej ciekawe od szukania odpowiedzi na pytania.
Aktualne numery
11/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
17
W 1833 r. urodził się Lucjan Rydel, polski lekarz, okulista, profesor i rektor Uniwersytetu Jagiellońskiego.
Warto przeczytać
Zmyl trop to użyteczna, ale i pełna powabu oraz przekonująca, kieszonkowa esencja wszystkiego, co chcielibyście wiedzieć o obronie przed inwigilacją.

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Marek Penszko | dodano: 2014-04-23
Ułamki egipskie. Powrót wielbłądów. Czyli o podziałach z resztą

 XVII-wieczny pisarz angielski Izaak Walton znany jest głównie jako autor książki The Compleat Angler (Wędkarz doskonały). To dość osobliwe dzieło, bo wbrew tytułowi więcej jest w nim poezji, anegdot i rozważań filozoficznych niż tekstów o łowieniu ryb. Powstawało głównie w trakcie wędkowania, czyli w chwilach sprzyjających rozmyślaniom nad różnymi sprawami. Nie zabrakło w nim także matematyki. Walton opisuje, na przykład, grupę czterech Cyganów, dzielących się tygodniowym zarobkiem – 20 szylingami – stosownie do rangi. Zgodnie z wstępnymi ustaleniami najważniejszy Cygan, dokonujący podziału, przyznaje sobie 1/3 kwoty, drugi dostaje 1/4, trzeci 1/5, a czwarty 1/6. Z podziałem nie było problemu, bo szyling dzielił się na 12 pensów, więc Cyganom przypadło: pierwszemu – 6 szylingów i 8 pensów, drugiemu – 5 szylingów, trzeciemu – 4 szylingi, czwartemu – 3 szylingi i 4 pensy. Ale potem doszło do awantury, bo 6+8/12+5+4+3+4/12=19, czyli został 1 szyling, który cichaczem przywłaszczył sobie najstarszy rangą. Podstaw do roszczeń jednak nie było, bo wcześniej sposób dystrybucji został przez wszystkich zaakceptowany.

Opisy takich „niesprawiedliwych” podziałów można znaleźć już w starożytnych papirusach. „Niesprawiedliwość” ma miejsce, gdy ustalone z góry n-te części, stanowiące udziały, nie sumują się do jedności – są mniejsze albo większe lub/i wynikające z podziału ułamki trudno zaakceptować, bo chodzi o przedmioty lub zwierzęta, które każdy chce otrzymać w całości. Starożytni, a częściej XV-, XVII-wieczni matematycy (Pacioli, Tartaglia, Apianus) radzili, jak postępować w takich sytuacjach, aby było w miarę sprawiedliwie. Dopiero jednak w drugiej połowie XIX wieku pojawił się sprytny pomysł, który przeszedł do historii jako na wpół żartobliwa perełka matematyki rekreacyjnej i powielany jest do dziś w różnych wersjach. Do Polski trafił po raz pierwszy w roku 1926 w zadaniu, które otwiera prekursorską u nas, wielokrotnie wznawianą książkę poświęconą rozrywkom matematycznym – Lilavati Szczepana Jeleńskiego.

Pewien Arab pozostawił w dziedzictwie swoim trzem synom do podziału stado wielbłądów, przy czym zaznaczył, że najstarszy ma otrzymać połowę, średni trzecią część, a najmłodszy dziewiątą część dziedzictwa. Okazało się jednak, iż stado liczy 17 sztuk…

Dalej jest „gwóźdź programu”, czyli rozwiązanie problemu: bracia pożyczają jednego wielbłąda, dokonują podziału 18 zwierząt zgodnie z instrukcją (9+6+2=17) i zwracają pożyczkę, która zostaje z podziału niczym szyling Cyganom. Genialnie proste i skuteczne! W dodatku każdy dostaje kawałek wielbłąda więcej, niż gdyby przydziałów dokonywać bez pożyczki, a więc „tnąc” zwierzęta.

Szczepan Jeleński napisał, powtarzając za niektórymi źródłami obcojęzycznymi: to jedno z najstarszych zadań, najprawdopodobniej pochodzenia autentycznie arabskiego, nieznanego autora. W rzeczywistości zadanie zostało po raz pierwszy opublikowane w wydanej w roku 1872 w Londynie książce Hanky Panky: A Book of Conjuring Tricks; jej autorem był niemiecki iluzjonista (urodzony w Żaganiu), jeden z najsłynniejszych w XIX wieku – Wiljalba Frikell. Od wersji z wielbłądami, która pojawiła się nieco później, różniło się tylko zwierzętami – dzielono stado słoni, a rzecz działa się w Chinach. Czasem pomysł przypisywany jest włoskiemu matematykowi z XVI wieku Niccolo Tartaglii, który w jednym z zadań zamieszczonych w księdze Quesiti et inventioni diverse miał jakoby zaproponować podział stada 17 koni. To jednak nieporozumienie. W żadnym dziele Tartaglii nie ma takiego zadania, natomiast we wspomnianym znajduje się jedno formalnie podobne, dotyczące podziału pieniędzy – przytaczam je jako pierwsze, najprostsze z konkursowych, na końcu artykułu.

Zastosowanie w ogólnym przypadku sposobu Frikella pożyczenie jednego elementu, podział, zwrot – możliwe jest oczywiście tylko wówczas, gdy spełnione są określone warunki. Przede wszystkim sposób dotyczy tzw. podziału z resztą, który właściwie stanowi przydział k osobom różnych liczb m-tych części jakiegoś dobra, składającego się z m–1 części, których suma jest o 1/m mniejsza od jedności. Co jednak najważniejsze, każda należna porcja powinna być podana w postaci tzw. ułamka jednostkowego zwanego też egipskim, czyli z jedynką w liczniku, określanego w tekście jako n-ta część. Jest to istotne dla „zamaskowania” stosowanego sposobu. Gdyby w zadaniu z wielbłądami zamiast 1/2, 1/3 i 1/9 było 9/18, 6/18 i 2/18, wówczas możliwość skorzystania z pożyczki byłaby zbyt widoczna.

Załóżmy, że S synów dzieli między siebie W wielbłądów (1<S<W). Jaka część dobytku powinna przypadać każdemu z nich, aby zastosowanie sposobu Frikella było możliwe? Aby to ustalić, należy znaleźć wszystkie możliwości przedstawienia liczby 1 jako sumy S+1 ułamków jednostkowych. Najmniejszy z nich powinien być równy 1/(W+1), a pozostałe muszą spełniać dwa warunki:

(1) powinny być różne,

(2) ich liczniki muszą być dzielnikami W+1.

Można to nieco uprościć, jeśli pominąć najmniejszy ułamek: szukać będziemy S różnych ułamków jednostkowych, których suma równa jest W/(W+1).

S i W są ze sobą powiązane, nie mogą więc przybierać dowolnych wartości. Ustalenie jednej z nich określa (lub wyklucza) drugą. Zaczniemy od konkretnych liczb synów. Dla S=2 możliwości są dwie: 1/2+1/4 (W=3) lub 1/2+1/3 (W=5); w tym drugim przypadku dwóch synów dzieliłoby stadko pięciu wielbłądów tak, aby jeden otrzymał połowę, a drugi trzecią część. Gdy S=3, jak w zadaniu firmowym, wówczas mamy 7 możliwości podanych w tabeli. Jak widać, wielkość stada może się wahać od 7 do 41. Dalej liczba możliwości szybko rośnie. Dla S=4 są już 52, a największe stado składa się z 1805 sztuk (1/2+1/3+1/7+1/43).

 

Nieco prościej i logicznie przyjemniej zacząć od wielbłądów, bo wówczas wiele możliwości łatwo wyeliminować. Czy na przykład stado może liczyć 13 sztuk? Nie, ponieważ (niezależnie od tego, że Arabowie są przesądni) po dodaniu 1 powstaje liczba (14), która ma za mało dzielników właściwych, więc największa suma różnych ułamków egipskich – 1/2+1/7+1/14 – jest mniejsza od 13/14. Ogólnie tylko 29 różnolicznych stad złożonych z mniej niż 100 wielbłądów nadaje się do zadania Frikella. Oto liczebności kilkunastu początkowych – 3, 5, 7, 11, 15, 17, 19, 23, 27, 29, 31, 35, 39, 41, 47, 53, 55,… Odpadły wszystkie stada parzyste, choć pozostaje zagadką, czy zawsze tak będzie, tzn. czy W nie może być wielokrotnością 2. Niektórymi stadami mogłyby się dzielić różne liczby synów. Na przykład, w podziale 23 wielbłądów mogłoby uczestniczyć 3 synów (1/2+1/3+1/8), 4 (1/2+1/4+1/8+1/12) lub 5 (1/3+1/4+1/6+1/8+1/12).

Nie brakuje wariacji na temat klasycznego zadania, w których zmieniają się nie tylko rodzaje zwierząt, liczebność stada i liczba osób uczestniczących w podziale. Także pożyczka może być większa (jak w 2. zadaniu poniżej) albo można ją zastąpić chwilowym… pozbyciem się zwierzęcia. Taki wariant pojawił się dopiero w roku 1971. Wielbłądów w stadzie jest 13 (sic!), a trzem synom przysługują: 1/2, 1/3 i 1/4 całości. Jedno zwierzę idzie się paść do oazy, synowie bez problemu dzielą się pozostałymi 12, a po powrocie wielbłąda wypada się zastanowić, co z nim zrobić. Można go na przykład przeznaczyć jako nagrodę dla tego, kto najszybciej rozwiąże wszystkie poniższe zadania.

ZADANIA

1.      (Zadanie Tartaglii). Pewien rolnik pozostawił w spadku trzem synom 17,5 dukata, zastrzegając w testamencie, aby pieniądze podzielili równo między siebie. Synowie zlekceważyli testament, otworzyli szkatułę z dukatami i każdy chwycił tyle monet, ile zdołał. Zjawił się jednak pewien starszy człowiek i przypomniał, że wolę testatora należy uszanować, po czym polecił zwrócić:

         – najstarszemu synowi – połowę tego, co wziął,

         – średniemu – 2/3 zabranej kwoty,

          – najmłodszemu – 3/4 pochwyconych dukatów.

         Następnie połączył to, co wszyscy zwrócili, podzielił na trzy równe części i każdą część wręczył jednemu z synów. Teraz każdy z nich miał tyle, ile powinien, czyli 1/3 spadku.

         Ile pieniędzy każdy z synów wziął na początku ze szkatuły? (Uwaga: zakładamy, że w szkatule znajdowały się także monety o wartościach będących nieparzystymi podwielokrotnościami dukata – takimi, że każdy podział zawartości szkatuły, wynikający z treści zadania, był możliwy bez cięcia dukatów).

2.      Stado krów z likwidowanego na początku lat 90. PGR-u postanowiono podzielić między pięciu rolników. Jeden z nich miał otrzymać 1/3, drugi 1/a, trzeci 1/b, czwarty 1/c, a piąty 1/9 stada (3<a<b<c

3.      W zadaniu Frikella suma trzech różnych ułamków egipskich (1/9, 1/3, 1/2) równa jest 17/18. Proszę przedstawić ułamek 17/18 w postaci sumy jak najmniejszej liczby różnych ułamków egipskich, spełniających następujący warunek: po ustawieniu ich w kolejności od najmniejszego do największego każdy następny powinien być całkowitą wielokrotnością poprzedniego.     

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 maja br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG05/14, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02-697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Jak zbudować wehikuł czasu Briana Clegga, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

Rozwiązanie zadań z numeru marcowego

1.      A-a, B-b, C-i, D-c, E-d, F-g, G-j, H-h, I-k, J-e, K-f.

2.      Dwójkę należało dopisać nad skrajną prawą kolumną.

3.      Suma cyfr na przekątnych – 42 (A=4, B=2, C=3, D=1, E=5).

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań nagrodę, książkę Skąd się wziął kot Schrödingera Johna Gribbina, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Piotr Ackerman, Anna Dudycz, Michał Dwojak, Krzysztof Jawor i Maja Kowalik.