nauki ścisłe
Autor: Marek Penszko | dodano: 2014-02-26
Wieżowce Stirlinga. Budowlane łamigłówki

Od połowy XVIII wieku, gdy Leonhard Euler jako pierwszy analizował własności kwadratów łacińskich, przez długi czas uchodziły one za obiekty bardziej rozrywkowe niż stricte matematyczne. Dopiero na początku XX wieku ich ranga w nauce, także stosowanej, zaczęła rosnąć, co zaowocowało publikacją Dénesa i Keedwella1. W XXI wieku, głównie dzięki sudoku, kwadraty łacińskie ponownie dominują jako rozrywka, co także można uznać za ich praktyczne zastosowanie.

Przypomnijmy, że chodzi o kwadraty podzielone na n2 kratek (n×n), w które wpisano liczby od 1 do n – bardzo rzadko większe od 9 – tak, że w każdym wierszu i w każdej kolumnie występuje n różnych liczb. W zadaniach logicznych są na początku tzw. częściowymi kwadratami (cyfry wpisane tylko w niektóre pola), a rozwiązanie polega na wypełnieniu wszystkich pustych pól. Aby powstała łamigłówka, np. taka jak na rys. 1a, nie są konieczne żadne dodatkowe warunki, jednak z nimi zabawa jest znacznie atrakcyjniejsza. Najprostszy polega na tym, by cyfry na przekątnych także były różne – to wystarcza do tworzenia ciekawych i trudnych zadań (np. rys. 1b). Niemal równie prosty warunek obowiązuje w sudoku (różne cyfry w dziewięciu sektorach 3×3). Ten artykuł dotyczy warunku, który wyróżnia się oryginalnością oraz aspektem matematycznym i jest podstawą zadań popularnych od ponad 20 lat.

W roku 1992 Masanori Natsuhara, nauczyciel matematyki z Osaki, zauważył, że kluczem do wypełnienia kwadratu łacińskiego może być sprytna informacja podana obok diagramu. Zaowocowało to przeznaczoną początkowo dla uczniów pomysłową łamigłówką „budowlaną”, której celem jest odtworzenie wyglądu osiedla, składającego się z n2 prostopadłościennych bloków ustawionych w kwadrat n×n. Każdy blok to sześcian albo „wieżowiec” z jednakowych sześcianów, jakby kondygnacji, których liczba określa wysokość bloku. W każdym rzędzie i w każdej kolumnie stoi n bloków o różnych wysokościach – od 1 do n. Dla n=4 blokowisko może więc wyglądać tak, jak na rys. 2a. Jeśli na dachu każdego bloku umieścimy cyfrę, oznaczającą jego wysokość i spojrzymy z góry na całą zabudowę, to pojawi się kwadrat łaciński (rys. 2b). Liczby ze strzałkami wokół diagramu to pełna informacja kluczowa i clou pomysłu japońskiego nauczyciela:

każda liczba oznacza, ile bloków w rzędzie widać choćby częściowo z miejsca, w którym dana liczba się znajduje, patrząc zgodnie ze wskazaniem strzałki (nie zobaczymy żadnego niższego bloku, stojącego za wyższym).

Po usunięciu cyfr z dachów powstałaby więc łamigłówka z pełną informacją, jednak zwykle można także usunąć większość liczb ze strzałkami. Na rys. 2b wystarczy pozostawić tylko cztery (rys. 2c), a rozwiązanie będzie jednoznaczne – proszę sprawdzić.

Budowlana łamigłówka szybko stała się popularna w Japonii, a pod koniec XX wieku była już znana na świecie pod różnymi nazwami, najczęściej jako skyscrapers (w Polsce blokowisko lub wieżowce). Powstało wiele jej odmian, a przed dwoma laty pojawiła się atrakcyjna graficznie wersja na iPada i iPhone’a – Skyline. Warto przyjrzeć się bliżej pewnemu aspektowi matematycznemu wieżowców, który wiąże się z kombinatoryką.

Każdy rząd n bloków o n różnych wysokościach stanowi permutację cyfr od 1 do n. Każda liczba ze strzałką obok rzędu – liczby te nazwiemy ogólnie wskaźnikami – określa, ile cyfr w permutacji tworzy najdłuższy podciąg rosnący, zaczynający się od cyfry przy brzegu diagramu (często podciąg ogranicza się do jednej lub dwóch cyfr). Wskaźniki muszą zawierać się między 1 a n, a suma dwóch wskaźników na końcach tego samego rzędu nie może być mniejsza niż 3 i większa od n+1. Dla skrajnych wartości łatwo określić zależność między tą sumą a liczbą permutacji, czyli możliwych ustawień wieżowców w rzędzie. Gdy suma jest minimalna, to przy końcach rzędu są wskaźniki 1 i 2, a więc dwa najwyższe bloki ograniczają rząd, zaś między nimi znajdują się n–2 bloki ustawione na jeden z (n–2)! sposobów. Jeżeli suma jest maksymalna, wtedy przy końcach rzędu są wskaźniki L (z lewej strony) i P=n+1–L (z prawej), określające jednoznacznie pozycję najwyższego budynku, dachy zaś pozostałych tworzą jedno- (dla L lub P równego 1) albo dwustronne „schodki” – w sumie będzie więc  możliwych ustawień. Liczenie permutacji dla ogólnego przypadku wymaga nieco innego podejścia – zacząć trzeba od prostszej sytuacji, gdy podany jest tylko jeden wskaźnik, na przykład L z lewej strony rzędu. Jeżeli najniższy blok znajdzie się na lewym skraju, to pozostałe będą rozmieszczone tak, aby widocznych było L–1 bloków. Jeśli zaś będzie gdziekolwiek indziej, czyli na jednym z n–1 dalszych miejsc, to rozlokowanie pozostałych będzie takie, aby można było dostrzec L bloków. Stąd wynika wzór rekurencyjny na funkcję f(n,L), określającą liczbę permutacji n bloków w zależności od L:

f(n,L) = f(n–1,L–1)+(n–1)f(n–1,L)

 

Dla małych n i L łatwo sprawdzić, że f(1,1)=f(2,1)=1, a ponadto f(n,n)=1 oraz f(n,k)=0, gdy k>n. Okazuje się, że taki sam wzór rekurencyjny, z identycznymi warunkami początkowymi, definiuje tzw. liczby Stirlinga pierwszego rodzaju. Ich podstawowa definicja związana jest z innym zagadnieniem kombinatorycznym: liczby Stirlinga pierwszego rodzaju s(n,c) określają, na ile sposobów można rozmieścić n liczb w c cyklach. Albo inaczej: ile jest różnych grup cykli, po c cykli w każdej grupie, jeśli każda grupa zawiera dokładnie n liczb – wszystkie od 1 do n.

Na przykład, cztery cyfry – 1, 2, 3, 4 – tworzą 24 różne cykle: (1), (2), (3), (4), (12), (13), (14), (23), (24), (34), (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432). Każdy cykl można zapisać jako cykliczny ciąg, na przykład (123)→12312312… – zawarte są w nim także cykle (231) i (312), dlatego uważa się je za tożsame z (123), więc wśród podanych 24 różnych zostały pominięte.

Jeśli będziemy tworzyć równoliczne grupy cykli, na przykład po 2 cykle (i 4 różne cyfry) w każdej grupie, to wszystkich różnych grup powstanie 11, czyli s(4,2)=11: a–(1)(234), b–(1)(243), c–(2)(134), d–(2)(143), e–(3)(124), f–(3)(142), g–(4)(123), h–(4)(132), i–(12)(34), j–(13)(24), k–(14)(23). Blokowym odpowiednikiem tych grup jest 11 sposobów ustawienia w rzędzie n=4 wieżowców (rys. 3) z umieszczonym z lewej strony wskaźnikiem L=2 (litery przy rzędach oraz w tekście powyżej przy cyklach związane są z pierwszym z zadań konkursowych zamieszczonych na końcu artykułu).

Blokowe liczby Stirlinga pierwszego rodzaju są funkcją dwóch zmiennych – n i Ln; ich wartości tworzą trójkątną tabelę (rys. 4). Wynika z niej na przykład, że jeśli obok rzędu 6 bloków z lewej strony jest wskaźnik L=4, to bloki mogą być rozmieszczone na 85 sposobów. Sposobów będzie oczywiście mniej po dodaniu z prawej strony wskaźnika P. Ile?

Jeżeli P=1, to permutacji jest tyle samo, co dla krótszego o jedno pole rzędu bez tej jedynki, czyli gn(L,1)=f(n–1,L–1). W powyższym przykładzie liczba sposobów zmaleje z f(6,4)=85 do f(5,3)=35.

Jeśli ani L, ani P nie równa się 1, to najwyższy blok o wysokości n, który może się znaleźć w jednej z nLP+2 pozycji k (LknP+1), dzieli rząd na dwie części (blok n nie należy do żadnej z nich): lewą o długości k–1 ze wskaźnikiem L–1 z lewej strony oraz prawą o długości nk ze wskaźnikiem P–1 z prawej.

Podziały rzędu dla n=6, L=4 i P=2 (dwie pozycje k) przedstawione są na rys. 5. Każda część ma wskaźnik tylko z jednej strony, co przypomina sytuację omawianą poprzednio, jednak tym razem wybór bloków do ulokowania w każdej części jest większy od liczby pól. Lewa część składa się z k–1 pól, prawa z nk, a wybierać można z n–1 bloków o wysokościach od 1 do n–1. Zamiast permutacji pojawiają się więc kombinacje. Jak sobie z nimi poradzić?

Odczytujemy z tabeli wartość liczby Stirlinga dla dowolnej części, np. dla lewej – sl, a następnie obliczamy dla tej części liczbę kombinacji h(s), która jest tyle razy większa od liczby Stirlinga, ile jest kombinacji q-elementowych z n–1 elementów (q – liczba pól tworzących daną część), czyli h(sl)=. Każdej z tych kombinacji odpowiada sP permutacji z pozostałych n-1-q liczb w prawej części, a zatem h(sl) należy pomnożyć przez sp. Wynik będzie łączną liczbą permutacji dla obu części dla danego k. Ogólna liczba sposobów ustawienia bloków w rzędzie gn(L,P) jest równa sumie permutacji dla wszystkich k. Dla rzędu z rys. 5 – n=6, L=4, P=2, k1=4 (q=3), k2=5 (q=4) – wyraża się wzorem:

Z tabeli (rys. 4) wynika, że gdy wskaźnik znajduje się tylko z jednej strony, to najwięcej sposobów zapełnienia rzędu blokami jest zawsze dla wskaźnika równego 2. Gdy natomiast wskaźniki są z dwóch stron, wówczas dla typowych długości rzędów w wieżowcach (od 4 do 8) maksymalna liczba permutacji występuje dla dwóch dwójek lub dwójki i trójki: g4(2,2)=6, g5(2,2)=22, g6(2,3)=105, g7(2,3)=675, g8(2,3)=4872.

 

ZADANIA

  1. 1.           Rzędy bloków na rys. 3 oznaczone są dużymi literami, a odpowiadające im pary cykli – małymi literami w tekście. Jednak takie same litery nie oznaczają odpowiadających sobie obiektów. Proszę dopasować każdą parę cykli do odpowiadającego mu rzędu bloków z rys. 3, czyli odpowiednio połączyć w pary małe i duże litery.

 

 2.           Wieżowce z dodatkowym warunkiem: liczby powinny być różne także w każdym sektorze otoczonym czerwoną linią (rys. 6). Rozwiązanie jest niejednoznaczne, ponieważ przy brzegu brak jednego wskaźnika – dwójki. W którym miejscu należy ją dopisać, aby było jedno rozwiązanie?

 

3.      Wskaźniki są zaszyfrowane literami – takim samym wskaźnikom odpowiadają jednakowe litery, a różnym – różne (rys. 7). W rozwiązaniu wystarczy podać sumę cyfr na przekątnych.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 marca br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG03/14, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02-697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Skąd się wziął kot Schrödingera Johna Gribbina, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

1 J. Dénes, A. D. Keedwell, Latin Squares and their Applications, Academic Press, 1974.

Rozwiązanie zadań z numeru styczniowego

1. Rozwiązanie przykładowe: 77, 49, 36, 18, 9, -9. Każdy parzysty wyraz ciągu jest mniejszy od poprzedniego o podwojoną sumę jego cyfr, a każdy nieparzysty – o sumę cyfr. Zatem szóstym wyrazem ciągu jest 9 – 2*9 = –9.

2. 1359→135→15→5.

3. 789→504, 123→6.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań nagrodę, książkę Iana Stewarta Matematyka życia, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Radosław Czaja, Krzysztof Furmaniak z Obrzycka, Diana Jacak z Dwikoz, Michał Lipiński z Krakowa, Paweł Pamuła z Wrocławia.

Więcej w miesięczniku „Świat Nauki" nr 03/2014 »
Drukuj »
Ten artykuł nie został jeszcze skomentowany.
Aktualne numery
11/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
18
W 1897 r. urodził się Patrick Maynard Stuart Blackett, brytyjski fizyk, laureat Nagrody Nobla.
Warto przeczytać
Zmyl trop to użyteczna, ale i pełna powabu oraz przekonująca, kieszonkowa esencja wszystkiego, co chcielibyście wiedzieć o obronie przed inwigilacją.

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Marek Penszko | dodano: 2014-02-26
Wieżowce Stirlinga. Budowlane łamigłówki

Od połowy XVIII wieku, gdy Leonhard Euler jako pierwszy analizował własności kwadratów łacińskich, przez długi czas uchodziły one za obiekty bardziej rozrywkowe niż stricte matematyczne. Dopiero na początku XX wieku ich ranga w nauce, także stosowanej, zaczęła rosnąć, co zaowocowało publikacją Dénesa i Keedwella1. W XXI wieku, głównie dzięki sudoku, kwadraty łacińskie ponownie dominują jako rozrywka, co także można uznać za ich praktyczne zastosowanie.

Przypomnijmy, że chodzi o kwadraty podzielone na n2 kratek (n×n), w które wpisano liczby od 1 do n – bardzo rzadko większe od 9 – tak, że w każdym wierszu i w każdej kolumnie występuje n różnych liczb. W zadaniach logicznych są na początku tzw. częściowymi kwadratami (cyfry wpisane tylko w niektóre pola), a rozwiązanie polega na wypełnieniu wszystkich pustych pól. Aby powstała łamigłówka, np. taka jak na rys. 1a, nie są konieczne żadne dodatkowe warunki, jednak z nimi zabawa jest znacznie atrakcyjniejsza. Najprostszy polega na tym, by cyfry na przekątnych także były różne – to wystarcza do tworzenia ciekawych i trudnych zadań (np. rys. 1b). Niemal równie prosty warunek obowiązuje w sudoku (różne cyfry w dziewięciu sektorach 3×3). Ten artykuł dotyczy warunku, który wyróżnia się oryginalnością oraz aspektem matematycznym i jest podstawą zadań popularnych od ponad 20 lat.

W roku 1992 Masanori Natsuhara, nauczyciel matematyki z Osaki, zauważył, że kluczem do wypełnienia kwadratu łacińskiego może być sprytna informacja podana obok diagramu. Zaowocowało to przeznaczoną początkowo dla uczniów pomysłową łamigłówką „budowlaną”, której celem jest odtworzenie wyglądu osiedla, składającego się z n2 prostopadłościennych bloków ustawionych w kwadrat n×n. Każdy blok to sześcian albo „wieżowiec” z jednakowych sześcianów, jakby kondygnacji, których liczba określa wysokość bloku. W każdym rzędzie i w każdej kolumnie stoi n bloków o różnych wysokościach – od 1 do n. Dla n=4 blokowisko może więc wyglądać tak, jak na rys. 2a. Jeśli na dachu każdego bloku umieścimy cyfrę, oznaczającą jego wysokość i spojrzymy z góry na całą zabudowę, to pojawi się kwadrat łaciński (rys. 2b). Liczby ze strzałkami wokół diagramu to pełna informacja kluczowa i clou pomysłu japońskiego nauczyciela:

każda liczba oznacza, ile bloków w rzędzie widać choćby częściowo z miejsca, w którym dana liczba się znajduje, patrząc zgodnie ze wskazaniem strzałki (nie zobaczymy żadnego niższego bloku, stojącego za wyższym).

Po usunięciu cyfr z dachów powstałaby więc łamigłówka z pełną informacją, jednak zwykle można także usunąć większość liczb ze strzałkami. Na rys. 2b wystarczy pozostawić tylko cztery (rys. 2c), a rozwiązanie będzie jednoznaczne – proszę sprawdzić.

Budowlana łamigłówka szybko stała się popularna w Japonii, a pod koniec XX wieku była już znana na świecie pod różnymi nazwami, najczęściej jako skyscrapers (w Polsce blokowisko lub wieżowce). Powstało wiele jej odmian, a przed dwoma laty pojawiła się atrakcyjna graficznie wersja na iPada i iPhone’a – Skyline. Warto przyjrzeć się bliżej pewnemu aspektowi matematycznemu wieżowców, który wiąże się z kombinatoryką.

Każdy rząd n bloków o n różnych wysokościach stanowi permutację cyfr od 1 do n. Każda liczba ze strzałką obok rzędu – liczby te nazwiemy ogólnie wskaźnikami – określa, ile cyfr w permutacji tworzy najdłuższy podciąg rosnący, zaczynający się od cyfry przy brzegu diagramu (często podciąg ogranicza się do jednej lub dwóch cyfr). Wskaźniki muszą zawierać się między 1 a n, a suma dwóch wskaźników na końcach tego samego rzędu nie może być mniejsza niż 3 i większa od n+1. Dla skrajnych wartości łatwo określić zależność między tą sumą a liczbą permutacji, czyli możliwych ustawień wieżowców w rzędzie. Gdy suma jest minimalna, to przy końcach rzędu są wskaźniki 1 i 2, a więc dwa najwyższe bloki ograniczają rząd, zaś między nimi znajdują się n–2 bloki ustawione na jeden z (n–2)! sposobów. Jeżeli suma jest maksymalna, wtedy przy końcach rzędu są wskaźniki L (z lewej strony) i P=n+1–L (z prawej), określające jednoznacznie pozycję najwyższego budynku, dachy zaś pozostałych tworzą jedno- (dla L lub P równego 1) albo dwustronne „schodki” – w sumie będzie więc  możliwych ustawień. Liczenie permutacji dla ogólnego przypadku wymaga nieco innego podejścia – zacząć trzeba od prostszej sytuacji, gdy podany jest tylko jeden wskaźnik, na przykład L z lewej strony rzędu. Jeżeli najniższy blok znajdzie się na lewym skraju, to pozostałe będą rozmieszczone tak, aby widocznych było L–1 bloków. Jeśli zaś będzie gdziekolwiek indziej, czyli na jednym z n–1 dalszych miejsc, to rozlokowanie pozostałych będzie takie, aby można było dostrzec L bloków. Stąd wynika wzór rekurencyjny na funkcję f(n,L), określającą liczbę permutacji n bloków w zależności od L:

f(n,L) = f(n–1,L–1)+(n–1)f(n–1,L)

 

Dla małych n i L łatwo sprawdzić, że f(1,1)=f(2,1)=1, a ponadto f(n,n)=1 oraz f(n,k)=0, gdy k>n. Okazuje się, że taki sam wzór rekurencyjny, z identycznymi warunkami początkowymi, definiuje tzw. liczby Stirlinga pierwszego rodzaju. Ich podstawowa definicja związana jest z innym zagadnieniem kombinatorycznym: liczby Stirlinga pierwszego rodzaju s(n,c) określają, na ile sposobów można rozmieścić n liczb w c cyklach. Albo inaczej: ile jest różnych grup cykli, po c cykli w każdej grupie, jeśli każda grupa zawiera dokładnie n liczb – wszystkie od 1 do n.

Na przykład, cztery cyfry – 1, 2, 3, 4 – tworzą 24 różne cykle: (1), (2), (3), (4), (12), (13), (14), (23), (24), (34), (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432). Każdy cykl można zapisać jako cykliczny ciąg, na przykład (123)→12312312… – zawarte są w nim także cykle (231) i (312), dlatego uważa się je za tożsame z (123), więc wśród podanych 24 różnych zostały pominięte.

Jeśli będziemy tworzyć równoliczne grupy cykli, na przykład po 2 cykle (i 4 różne cyfry) w każdej grupie, to wszystkich różnych grup powstanie 11, czyli s(4,2)=11: a–(1)(234), b–(1)(243), c–(2)(134), d–(2)(143), e–(3)(124), f–(3)(142), g–(4)(123), h–(4)(132), i–(12)(34), j–(13)(24), k–(14)(23). Blokowym odpowiednikiem tych grup jest 11 sposobów ustawienia w rzędzie n=4 wieżowców (rys. 3) z umieszczonym z lewej strony wskaźnikiem L=2 (litery przy rzędach oraz w tekście powyżej przy cyklach związane są z pierwszym z zadań konkursowych zamieszczonych na końcu artykułu).

Blokowe liczby Stirlinga pierwszego rodzaju są funkcją dwóch zmiennych – n i Ln; ich wartości tworzą trójkątną tabelę (rys. 4). Wynika z niej na przykład, że jeśli obok rzędu 6 bloków z lewej strony jest wskaźnik L=4, to bloki mogą być rozmieszczone na 85 sposobów. Sposobów będzie oczywiście mniej po dodaniu z prawej strony wskaźnika P. Ile?

Jeżeli P=1, to permutacji jest tyle samo, co dla krótszego o jedno pole rzędu bez tej jedynki, czyli gn(L,1)=f(n–1,L–1). W powyższym przykładzie liczba sposobów zmaleje z f(6,4)=85 do f(5,3)=35.

Jeśli ani L, ani P nie równa się 1, to najwyższy blok o wysokości n, który może się znaleźć w jednej z nLP+2 pozycji k (LknP+1), dzieli rząd na dwie części (blok n nie należy do żadnej z nich): lewą o długości k–1 ze wskaźnikiem L–1 z lewej strony oraz prawą o długości nk ze wskaźnikiem P–1 z prawej.

Podziały rzędu dla n=6, L=4 i P=2 (dwie pozycje k) przedstawione są na rys. 5. Każda część ma wskaźnik tylko z jednej strony, co przypomina sytuację omawianą poprzednio, jednak tym razem wybór bloków do ulokowania w każdej części jest większy od liczby pól. Lewa część składa się z k–1 pól, prawa z nk, a wybierać można z n–1 bloków o wysokościach od 1 do n–1. Zamiast permutacji pojawiają się więc kombinacje. Jak sobie z nimi poradzić?

Odczytujemy z tabeli wartość liczby Stirlinga dla dowolnej części, np. dla lewej – sl, a następnie obliczamy dla tej części liczbę kombinacji h(s), która jest tyle razy większa od liczby Stirlinga, ile jest kombinacji q-elementowych z n–1 elementów (q – liczba pól tworzących daną część), czyli h(sl)=. Każdej z tych kombinacji odpowiada sP permutacji z pozostałych n-1-q liczb w prawej części, a zatem h(sl) należy pomnożyć przez sp. Wynik będzie łączną liczbą permutacji dla obu części dla danego k. Ogólna liczba sposobów ustawienia bloków w rzędzie gn(L,P) jest równa sumie permutacji dla wszystkich k. Dla rzędu z rys. 5 – n=6, L=4, P=2, k1=4 (q=3), k2=5 (q=4) – wyraża się wzorem:

Z tabeli (rys. 4) wynika, że gdy wskaźnik znajduje się tylko z jednej strony, to najwięcej sposobów zapełnienia rzędu blokami jest zawsze dla wskaźnika równego 2. Gdy natomiast wskaźniki są z dwóch stron, wówczas dla typowych długości rzędów w wieżowcach (od 4 do 8) maksymalna liczba permutacji występuje dla dwóch dwójek lub dwójki i trójki: g4(2,2)=6, g5(2,2)=22, g6(2,3)=105, g7(2,3)=675, g8(2,3)=4872.

 

ZADANIA

  1. 1.           Rzędy bloków na rys. 3 oznaczone są dużymi literami, a odpowiadające im pary cykli – małymi literami w tekście. Jednak takie same litery nie oznaczają odpowiadających sobie obiektów. Proszę dopasować każdą parę cykli do odpowiadającego mu rzędu bloków z rys. 3, czyli odpowiednio połączyć w pary małe i duże litery.

 

 2.           Wieżowce z dodatkowym warunkiem: liczby powinny być różne także w każdym sektorze otoczonym czerwoną linią (rys. 6). Rozwiązanie jest niejednoznaczne, ponieważ przy brzegu brak jednego wskaźnika – dwójki. W którym miejscu należy ją dopisać, aby było jedno rozwiązanie?

 

3.      Wskaźniki są zaszyfrowane literami – takim samym wskaźnikom odpowiadają jednakowe litery, a różnym – różne (rys. 7). W rozwiązaniu wystarczy podać sumę cyfr na przekątnych.

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 marca br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG03/14, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02-697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Skąd się wziął kot Schrödingera Johna Gribbina, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

1 J. Dénes, A. D. Keedwell, Latin Squares and their Applications, Academic Press, 1974.

Rozwiązanie zadań z numeru styczniowego

1. Rozwiązanie przykładowe: 77, 49, 36, 18, 9, -9. Każdy parzysty wyraz ciągu jest mniejszy od poprzedniego o podwojoną sumę jego cyfr, a każdy nieparzysty – o sumę cyfr. Zatem szóstym wyrazem ciągu jest 9 – 2*9 = –9.

2. 1359→135→15→5.

3. 789→504, 123→6.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań nagrodę, książkę Iana Stewarta Matematyka życia, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Radosław Czaja, Krzysztof Furmaniak z Obrzycka, Diana Jacak z Dwikoz, Michał Lipiński z Krakowa, Paweł Pamuła z Wrocławia.