nauki ścisłe
Autor: Marek Penszko | dodano: 2014-01-23
Liczby jak podgrzybki

Jak wynika z artykułu zamieszczonego w styczniowym Umyśle giętkim, wszystkie liczby są nietrwałe. Poddane odpowiedniemu procesowi kurczą się jak grzyby w trakcie suszenia. „Suszenie” liczby polega na permanentnym mnożeniu – najpierw wszystkich, tworzących ją cyfr, a dalej cyfr każdego kolejnego, powstającego w ten sposób iloczynu – dotąd, aż pozostanie jedna cyfra. Na przykład:

688 → 384 → 96 → 54 → 20 → 0

Zerowe zakończenie występuje najczęściej, ale bywają i inne. Jeśli zacząć na przykład od 77, na końcu pojawi się 8:

77 → 49 → 36 → 18 → 8

Liczba kroków (strzałek) w malejącym ciągu określa tzw. trwałość iloczynową. 688 ma zatem trwałość równą 5, a 77 – 4. Z obliczeń komputerowych (sprawdzono liczby do 10500) i rozważań teoretycznych wynika, że trwałość iloczynowa nigdy nie przekracza 11 (dowód nie jest znany). Najmniejszą z najtrwalszych liczb jest 277777788888899:

277777788888899 → 4996238671872 → 438939648 → 478976 → 338688 → 27684 → 2688 → 768 → 336 → 54 → 20 → 0

Właściwie trwałość dotyczy nie tyle liczby, co zbioru tworzących ją cyfr, bo ich kolejność nie ma znaczenia. Nic nie zmienia także uzupełnianie tego zbioru jedynkami. W liczbie początkowej można więc dowolnie przestawiać cyfry oraz wstawiać gdziekolwiek jedynki, a w ciągu nic się nie zmieni. Pierwszy i kolejne iloczyny pozostaną takimi samymi liczbami. Warto podkreślić ich najistotniejszą cechę, wynikającą z istoty ciągu iloczynowego: w rozkładzie każdej na czynniki pierwsze żaden czynnik nie jest większy od 7. Wędrując wzdłuż osi liczbowej, trafia się na takie liczby coraz rzadziej; ponadto w ciągu iloczynowym niemile widziane są te, które zwiastują jego rychłe zakończenie, czyli zawierające liczbę parzystą i piątkę (dwa kroki do końca) lub zero (jeden krok). To najistotniejsze przyczyny tego, że żadna liczba nie osiąga trwałości iloczynowej równej 12, czyli żaden ciąg iloczynowy nie składa się z więcej niż tuzina wyrazów.

Oprócz iloczynowej jest jeszcze drugi rodzaj trwałości – addytywna. Tym razem cyfry nie są mnożone, lecz sumowane, a rezultatem końcowym jest tzw. ostateczna suma cyfr (OSC). Na przykład:

784 → 19 → 10 → 1

Takie ciągi są mało zagadkowe, a więc także – w przeciwieństwie do iloczynowych – niezbyt ciekawe. Trwałość może być wówczas dowolnie duża, ale rośnie bardzo wolno. Dość powiedzieć, że najmniejszą liczbą, dla której wynosi 4, jest 19999999999999999999999, zaś trwałość równa 5 pojawia się dopiero przy niewyobrażalnym gigancie, zaczynającym się jedynką, przewodzącą 2222222222222222222222 dziewiątkom. Dziewiątka ma skądinąd wiele wspólnego z takim ciągami, bo OSC jest zawsze dziewiątką lub resztą z dzielenia przez 9 pierwszego wyrazu (stąd cecha podzielności przez 9 – OSC równe 9).

Krótkie, w praktyce najwyżej 4-wyrazowe ciągi malejące zakończone OSC można zmienić w rosnące i znacznie ciekawsze ciągi addytywne po niewielkiej modyfikacji zasady ich tworzenia: każdy kolejny wyraz jest sumą poprzedniego wyrazu i sumy jego cyfr. Jeśli zaczniemy od jedynki, początek ciągu będzie wyglądał tak:

1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 23 → 28 → 38 → 49 → 62 → 70 → 77 → …

A tak, gdy rozpoczniemy siódemką:

7 → 14 → 19 → 29 → 40 → 44 → 52 → 59 → 73 → 83 v 94 → 107 → …

Ciągi tworzone w ten sposób zwane są czasem ciągami Kaprekara, ponieważ pierwszym, który zainteresował się bliżej ich własnościami (w latach 40. XX wieku), był indyjski matematyk Dattathreya R. Kaprekar.

Określenie „matematyk” wymaga uściślenia. Kaprekar nie miał wykształcenia matematycznego; prowadził zajęcia z nauczania początkowego w prowincjonalnej szkole i pasjonował się poszukiwaniem ciekawych własności liczb. Można powiedzieć, że interesowała go rekreacyjna teoria liczb. Dokonał przy tym paru odkryć, które zwróciły uwagę matematyków uczonych. Jedno z nich wiąże się z powyższymi ciągami; o randze odkrycia zadecydowało kilka związanych z nim ciekawych problemów, a także formalne podobieństwo do ciągu liczb pierwszych. Zaczniemy od tej analogii.

 

 

Rys. 1

 

Górna część rys. 1 ilustruje działanie sita Eratostenesa. Z osi liczbowej w kolejnych etapach „odlatują” ciągi wielokrotności najmniejszej z liczb, jaka w danym momencie na osi się znajduje: najpierw liczby parzyste (oprócz dwójki), potem podzielne przez 3 (poza trójką), następnie przez 5 (bez piątki) itd. Krótko mówiąc, odlatują liczby złożone, a pozostają liczby pierwsze, czyli pozbawione dzielników nietrywialnych.

Dolna część rys. 1 przedstawia funkcjonowanie innego sita – nazwijmy je sitem Kaprekara. Z osi liczbowej w kolejnych etapach „skapują” ciągi Kaprekara, zaczynające się od najmniejszej z liczb, jaka w danym momencie znajduje się na osi, ale bez tej liczby: najpierw zaczynający się od 1 (jedynka zostaje), potem od 3 (oprócz 3), następnie od 5 (bez 5) itd. Ogólnie mówiąc, kapią liczby zwane generowanymi. Te, które pozostają na sicie, Kaprekar nazwał liczbami własnymi (self numbers). Ich cechą charakterystyczną jest to, że żadna nie może powstać z mniejszej liczby „wzbogaconej” o sumę jej cyfr (analogicznie żadna liczba pierwsza nie jest iloczynem liczb mniejszych od niej).

Do 400 są 43 liczby własne:

1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400, 411, 413, 424,…

Euklides podał sprytny dowód nie wprost, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele: iloczyn „wszystkich” powiększony o 1 byłby liczbą pierwszą. Dowód, że liczby własne nie stanowią zbioru skończonego, także nie jest skomplikowany, ale oparty na innej zasadzie, której w przypadku liczb pierwszych nie da się zastosować. Sprowadza się do utworzenia wzoru rekurencyjnego na nieskończenie rosnący podciąg złożony z niektórych liczb własnych. Na przykład taki:

n1=9

nk=nk-1+10k-1+1 dla k=2, 3,…

Proszę spróbować udowodnić, że każdy wyraz tego podciągu – 9, 20, 121, 1122, 11123,… – jest liczbą własną (podpowiedź: warto zwrócić uwagę na to, że każdy wyraz składa się z k cyfr).

W przeciwieństwie do liczb pierwszych, których rozmieszczenie na osi liczbowej jest chaotyczne, ciąg liczb własnych może zaskakiwać regularnością. W podanym wyżej początkowym fragmencie łatwo zauważyć, że kolejne liczby w większości różnią się o 11. Jeśli przyjrzeć się dokładnie, widać, że, począwszy od 7, powtarza się cykl: jedna różnica równa 2 i dziewięć różnic równych 11. Taka regularność umożliwiałaby napisanie, zamiast powyższego wzoru na podciąg, wzoru na cały ciąg, na przykład takiego:

an=ent[(n-5)/10]×101+9+{n-5-ent[(n-5)/10]}×11

(skrót ent oznacza, że należy uwzględnić wyłącznie część całkowitą liczby w nawiasie kwadratowym).

Ten zawiły wzór działa jednak tylko dla 5≤n≤103, bowiem ciąg liczb własnych jest podstępny – między 103 a 104 wyrazem znienacka pojawia się różnica 15 (…, 995, 1006, 1021, 1032, …). Takie nowe jednorazowe różnice o coraz większej, ale trudnej do przewidzenia wartości występują (nie zawsze) tuż po tym, gdy rząd wielkości wyrazów wzrasta o jeden. Dlatego praktycznie niemożliwe jest napisanie jednego wzoru na cały ciąg, a przynajmniej nikomu dotąd się to nie udało.

Korzystając z regularności ciągu, Kaprekar próbował określić w prosty sposób zbiór liczb, które są zawsze własne. Napisał, nie podając dowodu:

każda liczba zakończona dwoma zerami, której suma cyfr równa jest 4, 15, 26 lub 37, jest liczbą własną.

Matematycy szybko wykazali, że twierdzenie jest nieprecyzyjne. Po pierwsze: wśród liczb zakończonych trzema i więcej zerami, a więc także dwoma, są takie, których suma cyfr jest jedną z podanych, a nie są one własnymi. Najmniejsza to 4000 – jej generatorem, czyli liczbą, która zwiększona o sumę swoich cyfr daje 4000, jest 3980. Okazało się jednak, że drobna, ale istotna zmiana (…dwoma i tylko dwoma zerami…) nie wystarczy. Dla każdej z podanych sum wyłamują się bowiem niektóre liczby 12-cyfrowe – to kolejny przejaw zagadkowości i nieprzewidywalności ciągu liczb własnych; na przykład 3 000 00 000 100 nie jest liczbą własną – jej generator to 299 999 999 999. Po pełnej poprawie twierdzenie podane przez Kaprekara powinno więc brzmieć tak:

każda liczba 0<n<1011 podzielna przez 100, ale niepodzielna przez 1000, której suma cyfr Sn=4(mod 11) – jest liczbą własną.

Znalezienie generatora liczby n złożonej z k cyfr – albo ustalenie, że go nie ma – nie jest trudne, choć dla dużych k bywa żmudne. Kaprekar podał prosty algorytm:

1.         znajdź OSC liczby n;

2.         jeśli OSC jest cyfrą parzystą, weź c=OSC/2; jeśli nieparzystą, weź c=(OSC+9)/2;

3.         Oblicz nc=m1 i sprawdź, czy m1 jest generatorem n;

4.         Jeśli efekt sprawdzenia jest negatywny, sprawdź czy generatorem n jest m2=m1–9;

5.         Kontynuuj sprawdzanie dla każdego mi=mi–1–9, aż do i=k. Jeśli żadna mi dla 1<i<k nie okaże się generatorem n, to n jest liczbą własną.

Sprawdźmy, czy do bitwy pod Grunwaldem doszło w roku „własnym”. OSC 1410 wynosi 6, zatem m1=1410–3=1407 (nie generator); m2=1407–9=1398 (nie generator); m3=1398–9=
=1389 – generator, bo 1389+1+3+8+9=1410. Bieżący rok także nie jest własny, a obliczenia są tym razem krótkie: m1=2014–(7+9)/2=2006, czyli generator 2014. Policzmy jednak dalej: m2=2006–9=1997; m3=1997–9=1988, zaś 1988+1+9+8+8=2014, czyli… drugi generator 2014. Okazuje się więc, że niektóre liczby mogą mieć dwa generatory. Może ich być nawet trzy, cztery i więcej, ale o tym szczegółowo przy innej okazji, gdy tematem głównym będą ciągi addytywne.

Drugą osobliwością bieżącego roku jest jego oddalenie od najbliższego roku własnego. W roku 2014 minie siedem lat od ostatniego własnego, którym był 2007. W naszej erze jedyny tak duży, choć tylko siedmioletni dystans był w roku zaślubin Mieszka II z Rychezą Lotaryńską, a od następnego dzieli nas… rok.

 

Zadania

1.         Skoro liczba 2014 ma dwa generatory – 1988 i 2006, więc występuje w co najmniej dwóch ciągach, zaczynających się od liczb własnych. Od jakiej największej liczby własnej zaczyna się ciąg addytywny Kaprekara, którego wyrazem jest 2014.

2.         2314 i 7115 są liczbami własnymi, które mają następującą cechę: tworzące je cyfry można podzielić na dwie grupy tak, że suma cyfr w każdej grupie będzie taka sama (2+3=1+4; 7=1+1+5). Jaka jest najmniejsza liczba własna, która ma taką samą cechę, ale równocześnie jest o jeden mniejsza od liczby, która też ma taką cechę.

3.         ŚWIAT jest generatorem ŚWITA; NAUKA jest generatorem NAUKI.

            Litery w słowach zastępują cyfry – takim samym literom odpowiadają jednakowe litery, a różnym – różne.

            Jaką liczbą parzystą jest ŚWIAT, jeśli WY jest liczbą własną.

 

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 28 lutego br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG02/14, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Jak przetrwać wśród czarnych dziur Dave'a Goldberga, Jeffa Blomquista, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

 

Rozwiązanie zadań z numeru grudniowego

1.         Dwa rozwiązania, różniące się umiejscowieniem dwóch cyfr, na rys. 2.

2.         Rozwiązanie na rys. 3.

3.         Przykładowe rozwiązanie na rys. 4  (czerwone liczby nie zmieniły miejsca). Ten heterokwadrat (różne sumy liczb w rzędach, kolumnach i na przekątnych), będący przekształceniem kwadratu magicznego Dürera, jest zarazem antymagiczny (sumy są kolejnymi liczbami – od 29 do 38), czyli stanowi równocześnie rozwiązanie zadania pozakonkursowego – nadesłała je pani Krystyna Wirkus z Torunia.

 

 

Rys. 2

 

 

Rys. 3

 

 

Rys. 4

 

Za poprawne rozwiązanie  przynajmniej dwóch zadań nagrodę, książkę Zagadka teorii kwantów. Zmagania fizyki ze świadomością Freda Kuttnera i Bruce’a Rosenbluma, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Katarzyna Kaczor z Rzeszowa, Miłosz Pączkiewicz i Borys Sochoń z Warszawy, Piotr Wirkus z Torunia, Karol Wyszyński z Bogurzynka.

 

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla Polityki.

 

Więcej w miesięczniku „Świat Nauki" nr 02/2014 »
Drukuj »
Komentarze
Dodany przez: Zbygniew | 2016-10-24
Cytat: „Liczba kroków (strzałek) w malejącym ciągu określa tzw. trwałość iloczynową. 688 ma zatem trwałość równą 5, a 77 - 4. Z obliczeń komputerowych (sprawdzono liczby do 10500) i rozważań teoretycznych wynika, że trwałość iloczynowa nigdy nie przekracza 11 (dowód nie jest znany). Najmniejszą z najtrwalszych liczb jest 277777788888899:“  Dlaczego autorzy przyjmują jako oczywisty system dziesiętny. Wystarczyłoby dodać jedynie jedno słowo: „dziesiętnie“ i wszystko byłoby jasne. Mi wychodzi mianowicie, że w zapisie dwójkowym każda liczba wielocyfrowa ma trwałość równą 1.
Aktualne numery
11/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
23
W 2003 r. miało miejsce całkowite zaćmienie Słońca widoczne w Australii, Nowej Zelandii, Antarktyce i Ameryce Południowej.
Warto przeczytać
Chwila bez biologii… nie istnieje. W nas i wokół nas kipi życie. Dlaczego by wobec tego nie poznać go bliżej, najlepiej we własnym laboratorium? By nie sięgać daleko, można zacząć od siebie.

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Marek Penszko | dodano: 2014-01-23
Liczby jak podgrzybki

Jak wynika z artykułu zamieszczonego w styczniowym Umyśle giętkim, wszystkie liczby są nietrwałe. Poddane odpowiedniemu procesowi kurczą się jak grzyby w trakcie suszenia. „Suszenie” liczby polega na permanentnym mnożeniu – najpierw wszystkich, tworzących ją cyfr, a dalej cyfr każdego kolejnego, powstającego w ten sposób iloczynu – dotąd, aż pozostanie jedna cyfra. Na przykład:

688 → 384 → 96 → 54 → 20 → 0

Zerowe zakończenie występuje najczęściej, ale bywają i inne. Jeśli zacząć na przykład od 77, na końcu pojawi się 8:

77 → 49 → 36 → 18 → 8

Liczba kroków (strzałek) w malejącym ciągu określa tzw. trwałość iloczynową. 688 ma zatem trwałość równą 5, a 77 – 4. Z obliczeń komputerowych (sprawdzono liczby do 10500) i rozważań teoretycznych wynika, że trwałość iloczynowa nigdy nie przekracza 11 (dowód nie jest znany). Najmniejszą z najtrwalszych liczb jest 277777788888899:

277777788888899 → 4996238671872 → 438939648 → 478976 → 338688 → 27684 → 2688 → 768 → 336 → 54 → 20 → 0

Właściwie trwałość dotyczy nie tyle liczby, co zbioru tworzących ją cyfr, bo ich kolejność nie ma znaczenia. Nic nie zmienia także uzupełnianie tego zbioru jedynkami. W liczbie początkowej można więc dowolnie przestawiać cyfry oraz wstawiać gdziekolwiek jedynki, a w ciągu nic się nie zmieni. Pierwszy i kolejne iloczyny pozostaną takimi samymi liczbami. Warto podkreślić ich najistotniejszą cechę, wynikającą z istoty ciągu iloczynowego: w rozkładzie każdej na czynniki pierwsze żaden czynnik nie jest większy od 7. Wędrując wzdłuż osi liczbowej, trafia się na takie liczby coraz rzadziej; ponadto w ciągu iloczynowym niemile widziane są te, które zwiastują jego rychłe zakończenie, czyli zawierające liczbę parzystą i piątkę (dwa kroki do końca) lub zero (jeden krok). To najistotniejsze przyczyny tego, że żadna liczba nie osiąga trwałości iloczynowej równej 12, czyli żaden ciąg iloczynowy nie składa się z więcej niż tuzina wyrazów.

Oprócz iloczynowej jest jeszcze drugi rodzaj trwałości – addytywna. Tym razem cyfry nie są mnożone, lecz sumowane, a rezultatem końcowym jest tzw. ostateczna suma cyfr (OSC). Na przykład:

784 → 19 → 10 → 1

Takie ciągi są mało zagadkowe, a więc także – w przeciwieństwie do iloczynowych – niezbyt ciekawe. Trwałość może być wówczas dowolnie duża, ale rośnie bardzo wolno. Dość powiedzieć, że najmniejszą liczbą, dla której wynosi 4, jest 19999999999999999999999, zaś trwałość równa 5 pojawia się dopiero przy niewyobrażalnym gigancie, zaczynającym się jedynką, przewodzącą 2222222222222222222222 dziewiątkom. Dziewiątka ma skądinąd wiele wspólnego z takim ciągami, bo OSC jest zawsze dziewiątką lub resztą z dzielenia przez 9 pierwszego wyrazu (stąd cecha podzielności przez 9 – OSC równe 9).

Krótkie, w praktyce najwyżej 4-wyrazowe ciągi malejące zakończone OSC można zmienić w rosnące i znacznie ciekawsze ciągi addytywne po niewielkiej modyfikacji zasady ich tworzenia: każdy kolejny wyraz jest sumą poprzedniego wyrazu i sumy jego cyfr. Jeśli zaczniemy od jedynki, początek ciągu będzie wyglądał tak:

1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 23 → 28 → 38 → 49 → 62 → 70 → 77 → …

A tak, gdy rozpoczniemy siódemką:

7 → 14 → 19 → 29 → 40 → 44 → 52 → 59 → 73 → 83 v 94 → 107 → …

Ciągi tworzone w ten sposób zwane są czasem ciągami Kaprekara, ponieważ pierwszym, który zainteresował się bliżej ich własnościami (w latach 40. XX wieku), był indyjski matematyk Dattathreya R. Kaprekar.

Określenie „matematyk” wymaga uściślenia. Kaprekar nie miał wykształcenia matematycznego; prowadził zajęcia z nauczania początkowego w prowincjonalnej szkole i pasjonował się poszukiwaniem ciekawych własności liczb. Można powiedzieć, że interesowała go rekreacyjna teoria liczb. Dokonał przy tym paru odkryć, które zwróciły uwagę matematyków uczonych. Jedno z nich wiąże się z powyższymi ciągami; o randze odkrycia zadecydowało kilka związanych z nim ciekawych problemów, a także formalne podobieństwo do ciągu liczb pierwszych. Zaczniemy od tej analogii.

 

 

Rys. 1

 

Górna część rys. 1 ilustruje działanie sita Eratostenesa. Z osi liczbowej w kolejnych etapach „odlatują” ciągi wielokrotności najmniejszej z liczb, jaka w danym momencie na osi się znajduje: najpierw liczby parzyste (oprócz dwójki), potem podzielne przez 3 (poza trójką), następnie przez 5 (bez piątki) itd. Krótko mówiąc, odlatują liczby złożone, a pozostają liczby pierwsze, czyli pozbawione dzielników nietrywialnych.

Dolna część rys. 1 przedstawia funkcjonowanie innego sita – nazwijmy je sitem Kaprekara. Z osi liczbowej w kolejnych etapach „skapują” ciągi Kaprekara, zaczynające się od najmniejszej z liczb, jaka w danym momencie znajduje się na osi, ale bez tej liczby: najpierw zaczynający się od 1 (jedynka zostaje), potem od 3 (oprócz 3), następnie od 5 (bez 5) itd. Ogólnie mówiąc, kapią liczby zwane generowanymi. Te, które pozostają na sicie, Kaprekar nazwał liczbami własnymi (self numbers). Ich cechą charakterystyczną jest to, że żadna nie może powstać z mniejszej liczby „wzbogaconej” o sumę jej cyfr (analogicznie żadna liczba pierwsza nie jest iloczynem liczb mniejszych od niej).

Do 400 są 43 liczby własne:

1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400, 411, 413, 424,…

Euklides podał sprytny dowód nie wprost, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele: iloczyn „wszystkich” powiększony o 1 byłby liczbą pierwszą. Dowód, że liczby własne nie stanowią zbioru skończonego, także nie jest skomplikowany, ale oparty na innej zasadzie, której w przypadku liczb pierwszych nie da się zastosować. Sprowadza się do utworzenia wzoru rekurencyjnego na nieskończenie rosnący podciąg złożony z niektórych liczb własnych. Na przykład taki:

n1=9

nk=nk-1+10k-1+1 dla k=2, 3,…

Proszę spróbować udowodnić, że każdy wyraz tego podciągu – 9, 20, 121, 1122, 11123,… – jest liczbą własną (podpowiedź: warto zwrócić uwagę na to, że każdy wyraz składa się z k cyfr).

W przeciwieństwie do liczb pierwszych, których rozmieszczenie na osi liczbowej jest chaotyczne, ciąg liczb własnych może zaskakiwać regularnością. W podanym wyżej początkowym fragmencie łatwo zauważyć, że kolejne liczby w większości różnią się o 11. Jeśli przyjrzeć się dokładnie, widać, że, począwszy od 7, powtarza się cykl: jedna różnica równa 2 i dziewięć różnic równych 11. Taka regularność umożliwiałaby napisanie, zamiast powyższego wzoru na podciąg, wzoru na cały ciąg, na przykład takiego:

an=ent[(n-5)/10]×101+9+{n-5-ent[(n-5)/10]}×11

(skrót ent oznacza, że należy uwzględnić wyłącznie część całkowitą liczby w nawiasie kwadratowym).

Ten zawiły wzór działa jednak tylko dla 5≤n≤103, bowiem ciąg liczb własnych jest podstępny – między 103 a 104 wyrazem znienacka pojawia się różnica 15 (…, 995, 1006, 1021, 1032, …). Takie nowe jednorazowe różnice o coraz większej, ale trudnej do przewidzenia wartości występują (nie zawsze) tuż po tym, gdy rząd wielkości wyrazów wzrasta o jeden. Dlatego praktycznie niemożliwe jest napisanie jednego wzoru na cały ciąg, a przynajmniej nikomu dotąd się to nie udało.

Korzystając z regularności ciągu, Kaprekar próbował określić w prosty sposób zbiór liczb, które są zawsze własne. Napisał, nie podając dowodu:

każda liczba zakończona dwoma zerami, której suma cyfr równa jest 4, 15, 26 lub 37, jest liczbą własną.

Matematycy szybko wykazali, że twierdzenie jest nieprecyzyjne. Po pierwsze: wśród liczb zakończonych trzema i więcej zerami, a więc także dwoma, są takie, których suma cyfr jest jedną z podanych, a nie są one własnymi. Najmniejsza to 4000 – jej generatorem, czyli liczbą, która zwiększona o sumę swoich cyfr daje 4000, jest 3980. Okazało się jednak, że drobna, ale istotna zmiana (…dwoma i tylko dwoma zerami…) nie wystarczy. Dla każdej z podanych sum wyłamują się bowiem niektóre liczby 12-cyfrowe – to kolejny przejaw zagadkowości i nieprzewidywalności ciągu liczb własnych; na przykład 3 000 00 000 100 nie jest liczbą własną – jej generator to 299 999 999 999. Po pełnej poprawie twierdzenie podane przez Kaprekara powinno więc brzmieć tak:

każda liczba 0<n<1011 podzielna przez 100, ale niepodzielna przez 1000, której suma cyfr Sn=4(mod 11) – jest liczbą własną.

Znalezienie generatora liczby n złożonej z k cyfr – albo ustalenie, że go nie ma – nie jest trudne, choć dla dużych k bywa żmudne. Kaprekar podał prosty algorytm:

1.         znajdź OSC liczby n;

2.         jeśli OSC jest cyfrą parzystą, weź c=OSC/2; jeśli nieparzystą, weź c=(OSC+9)/2;

3.         Oblicz nc=m1 i sprawdź, czy m1 jest generatorem n;

4.         Jeśli efekt sprawdzenia jest negatywny, sprawdź czy generatorem n jest m2=m1–9;

5.         Kontynuuj sprawdzanie dla każdego mi=mi–1–9, aż do i=k. Jeśli żadna mi dla 1<i<k nie okaże się generatorem n, to n jest liczbą własną.

Sprawdźmy, czy do bitwy pod Grunwaldem doszło w roku „własnym”. OSC 1410 wynosi 6, zatem m1=1410–3=1407 (nie generator); m2=1407–9=1398 (nie generator); m3=1398–9=
=1389 – generator, bo 1389+1+3+8+9=1410. Bieżący rok także nie jest własny, a obliczenia są tym razem krótkie: m1=2014–(7+9)/2=2006, czyli generator 2014. Policzmy jednak dalej: m2=2006–9=1997; m3=1997–9=1988, zaś 1988+1+9+8+8=2014, czyli… drugi generator 2014. Okazuje się więc, że niektóre liczby mogą mieć dwa generatory. Może ich być nawet trzy, cztery i więcej, ale o tym szczegółowo przy innej okazji, gdy tematem głównym będą ciągi addytywne.

Drugą osobliwością bieżącego roku jest jego oddalenie od najbliższego roku własnego. W roku 2014 minie siedem lat od ostatniego własnego, którym był 2007. W naszej erze jedyny tak duży, choć tylko siedmioletni dystans był w roku zaślubin Mieszka II z Rychezą Lotaryńską, a od następnego dzieli nas… rok.

 

Zadania

1.         Skoro liczba 2014 ma dwa generatory – 1988 i 2006, więc występuje w co najmniej dwóch ciągach, zaczynających się od liczb własnych. Od jakiej największej liczby własnej zaczyna się ciąg addytywny Kaprekara, którego wyrazem jest 2014.

2.         2314 i 7115 są liczbami własnymi, które mają następującą cechę: tworzące je cyfry można podzielić na dwie grupy tak, że suma cyfr w każdej grupie będzie taka sama (2+3=1+4; 7=1+1+5). Jaka jest najmniejsza liczba własna, która ma taką samą cechę, ale równocześnie jest o jeden mniejsza od liczby, która też ma taką cechę.

3.         ŚWIAT jest generatorem ŚWITA; NAUKA jest generatorem NAUKI.

            Litery w słowach zastępują cyfry – takim samym literom odpowiadają jednakowe litery, a różnym – różne.

            Jaką liczbą parzystą jest ŚWIAT, jeśli WY jest liczbą własną.

 

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 28 lutego br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG02/14, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Jak przetrwać wśród czarnych dziur Dave'a Goldberga, Jeffa Blomquista, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

 

Rozwiązanie zadań z numeru grudniowego

1.         Dwa rozwiązania, różniące się umiejscowieniem dwóch cyfr, na rys. 2.

2.         Rozwiązanie na rys. 3.

3.         Przykładowe rozwiązanie na rys. 4  (czerwone liczby nie zmieniły miejsca). Ten heterokwadrat (różne sumy liczb w rzędach, kolumnach i na przekątnych), będący przekształceniem kwadratu magicznego Dürera, jest zarazem antymagiczny (sumy są kolejnymi liczbami – od 29 do 38), czyli stanowi równocześnie rozwiązanie zadania pozakonkursowego – nadesłała je pani Krystyna Wirkus z Torunia.

 

 

Rys. 2

 

 

Rys. 3

 

 

Rys. 4

 

Za poprawne rozwiązanie  przynajmniej dwóch zadań nagrodę, książkę Zagadka teorii kwantów. Zmagania fizyki ze świadomością Freda Kuttnera i Bruce’a Rosenbluma, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Katarzyna Kaczor z Rzeszowa, Miłosz Pączkiewicz i Borys Sochoń z Warszawy, Piotr Wirkus z Torunia, Karol Wyszyński z Bogurzynka.

 

Marek Penszko, z wykształcenia inż. poligrafii, jest znawcą i popularyzatorem gier i rozrywek umysłowych, głównie matematyki rekreacyjnej. Współpracuje z wieloma czasopismami, m.in. pisze blog dla Polityki.