nauki ścisłe
Autor: Marek Penszko | dodano: 2013-11-21
Antymagia

Mniej popularny, a równie interesujący aspekt znanej zagadki.

Do kwadratu podzielonego na 9 pól (3×3) cyfry od 1 do 9 można wpisać na 45 360 (9!/8) różnych sposobów („różnych” oznacza, że żaden układ nie może powstać z innego w wyniku obrotu lub/i odbicia lustrzanego). Tylko jeden z tych kilkudziesięciu tysięcy układów wyróżnia się niezwykłą własnością, która sprawiła, że przez co najmniej dwa tysiąclecia kojarzony był z mistyką: sumy liczb w rzędach, kolumnach i na obu przekątnych są jednakowe (rys. 1). Nic dziwnego, że kwadraty n×n o takiej własności (wypełnione liczbami od 1 do n2 tak, że sumy są identyczne w rzędach, kolumnach i na przekątnych) nazwano magicznymi. Jeśli jednak unikalność uznać za główne kryterium, decydujące o „magicznej mocy”, to najsilniejsza jest ona właśnie dla n=3, bo większych kwadratów magicznych jest bardzo dużo: 4×4 – 880, 5×5 – 275 305 224; dalej wiadomo tylko w przybliżeniu, że dla n=6 jest to liczba rzędu 1019.

Rys. 1

Literatura dotycząca tych osobliwych układów, które matematycy nazywają ogólnie macierzami kwadratowymi, jest bardzo bogata. Od XVIII wieku wylano morze atramentu, opisując metody ich tworzenia oraz różne aspekty teoretyczne. Przez wieki nikomu nie przyszło jednak do głowy, że magię można „odwrócić”, czyli równie ciekawie, choć „magicznie inaczej”, może być, jeśli podstawowy warunek zmienimy na przeciwny: sumy liczb w rzędach, kolumnach i na przekątnych powinny być różne. Temat zainicjował dopiero w roku 1951 amerykański matematyk Dewey Duncan, proponując nazwanie takich macierzy heterokwadratami.

Heterokwadratu 2×2 nie ma, bo dodając parami liczby ze zbioru {1,2,3,4} utworzymy sześć sum, wśród których jedna (5) zawsze będzie się powtarzać jako 1+4 lub 2+3. W kwadracie 3×3 sum jest osiem – 3 w rzędach, 3 w kolumnach i 2 na przekątnych – zaś wszystkich sum, które można utworzyć z trzech różnych liczb wybranych ze zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9} mamy 9!/3!(9–3)!=84. Suma 15 występuje dokładnie osiem razy, dzięki czemu może istnieć kwadrat magiczny 3×3. Wszystkich różnych sum jest natomiast dziewiętnaście – od 6 (1+2+3) do 24 (7+8+9), czyli dostatecznie dużo, aby można było przypuszczać, że różnych heterokwadratów będzie multum.

Istotnie, jest ich aż 3120. Bardzo łatwo jakiś utworzyć, wpisując cyfry do pól w dowolny sposób, obliczając sumy, a następnie przestawiając kilka cyfr tak, aby sumy były różne. Łamigłówką może być szukanie przestawienia, obejmującego jak najmniej cyfr. Na przykład, na rys. 2 cyfry wpisane są kolejno rzędami od góry; przy brzegu podano sumy. 15 występuje w czterech rzędach, czyli aby powstał heterokwadrat, co najmniej trzy cyfry trzeba zamienić miejscami. Które?

 

Rys. 2

Jeśli w taki sam sposób wpisać kolejne liczby do kwadratu z parzystym n, np. n=4 (rys. 3), to przekształcenie go w heterokwadrat będzie trywialne – wystarczy zamienić miejscami 1 i 2 albo dwie największe liczby. W przypadku nieparzystych n nie trzeba nawet nic przestawiać, jeżeli skorzysta się ze schematycznego sposobu: ciąg liczb wpisujemy do kwadratu spiralnie, zaczynając od środka – wszystkie 2n+2 sum będzie zawsze różnych. W przykładzie na rys. 4 każdy ze współśrodkowych nieparzystych kwadratów (3×3, 5×5 i 7×7) jest heterokwadratem. Komu nieobce są zagadnienia związane z liczbami pierwszymi, temu zapewne rysunek ten skojarzy się z powstającą w taki sam sposób tzw. spiralą Ulama, na której liczby pierwsze (oczywiście nie wszystkie) gęsto obsadzają przekątne.

 

 

Rys. 3

 

Rys. 4

Mnogość heterokwadratów i łatwość ich konstruowania sprawia, że ogólnie temat uchodzi za umiarkowanie interesujący, choć niektóre jego aspekty mogą być dla giętkich umysłów kuszące (np. przekształcanie kwadratów magicznych w heterokwadraty w minimalnej liczbie „ruchów”). Ciekawiej robi się jednak po osiągnięciu pełnej antymagii, czyli wprowadzeniu dodatkowego prostego i eleganckiego warunku: sumy powinny tworzyć fragment ciągu liczb naturalnych. Prostota jest oczywista, a elegancja polega na tym, że sumy są – podobnie jak same liczby – kolejnymi liczbami.

Już na początku tego tematu pojawia się na pozór prosty, ale dotąd nierozwiązany problem. Łatwo napisać program komputerowy, który sprawdzi, że wśród 3120 heterokwadratów 3×3 żaden nie jest antymagiczny. W ciągu sum zawsze pojawia się przynajmniej jedna jednoliczbowa przerwa, np. brak trzynastki (rys. 5). Jednak co innego sprawdzić, a co innego dowieść. Logiczny dowód, że kwadrat antymagiczny 3×3 nie istnieje, wciąż czeka na swego odkrywcę. Gdyby zatem ktoś miał ochotę przejść do historii matematyki, może spróbować go znaleźć – oczywiście najlepiej, aby był prosty i elegancki. Dla wszystkich n>3 kwadraty antymagiczne istnieją.

 

 

Rys. 5

W podanym wyżej warunku nie ma mowy o zakresie sum, ale nietrudno dowieść, że możliwości są tylko dwie. Z 2n+2 kolejnych sum prawie wszystkie – poza jedną – powinny zawierać się w przedziale [SMn, SM+n], a jedna, skrajna, musi być równa SM–(n+1) lub SM+(n+1), gdzie SM=n(n2+1)/2, czyli tyle, ile wynosi suma magiczna kwadratu o takim samym n. Zatem dla kwadratu 4×4 sumy będą tworzyć ciąg od 29 do 38 lub od 30 do 39.

Zaskakujące, że mimo tak „surowych” warunków różnych kwadratów antymagicznych 4×4 istnieje aż 299 710, a w tym kontekście jeszcze bardziej dziwi to, że bez komputerowego wsparcia trudno jakiś znaleźć. Choć liczne metody konstruowania kwadratów magicznych są znane od dawna, to antymagiczne stawiały opór do końca XX wieku, a sposoby radzenia sobie z nimi okazały się znacznie bardziej zawiłe. Znanych jest wprawdzie kilka prostych, schematycznych metod, ale „obsługują” one małe grupy kwadratów. Na przykład dla n=4 liczby można wpisywać do diagramu na rys. 6a tak, aby suma dwóch, które znajdą się w polach oznaczonych taką samą literą, była zawsze równa 17 – zamieniając miejscami, w razie potrzeby, liczby w parach. Jeden z efektów przedstawiony jest na rys. 6b. Sumy obejmują zakres od 29 do 38; aby powstał bliźniaczy kwadrat z sumami od 30 do 39 wystarczy zamienić miejscami pary A z C oraz B z D.

 

Rys. 6

Nie wiadomo, ile jest kwadratów antymagicznych 5×5. W przeciwieństwie do 4×4, które zostały nie tylko policzone, ale nawet skatalogowane, do szukania kwadratów 5×5, a tym bardziej większych, nie ma chętnych, więc od blisko półwiecza znanych jest tylko kilka. Jeden z nich znajduje się na rys. 7; inny jest rozwiązaniem jednego z poniższych zadań konkursowych.

 

 

Rys. 7

1.      W heterokwadracie 3×3 (rys. 8) ujawniono tylko jedną liczbę oraz sumę liczb w środkowym rzędzie. Jaki jest układ pozostałych liczb (od 2 do 8), jeśli wiadomo, że siedem pozostałych sum tworzy – jak w kwadracie antymagicznym – fragment ciągu liczb naturalnych?

 

 

Rys. 8

2.      Należy zrekonstruować kwadrat antymagiczny 5×5 (liczby od 1 do 25) na podstawie podanych na diagramie informacji (rys. 9). Większość kwadratu podzielona jest na kolorowe działki. Znak działania i liczba u góry każdej działki oznacza rodzaj działania – na wszystkich liczbach w tej działce – oraz jego wynik (w przypadku odejmowania i dzielenia działka może oczywiście obejmować tylko dwie kratki). Dwie liczby poza działkami są już ujawnione.

 

 

Rys. 9

3.      Na słynnym miedziorycie Albrechta Dürera Melancholia (na poprzedniej stronie) znajduje się jeden z najbardziej znanych kwadratów magicznych (rys. 10). Jego cechą charakterystyczną jest to, że dwie liczby w środku dolnego rzędu określają rok powstania dzieła (1514). Zadanie polega na przekształceniu tego kwadratu w heterokwadrat, czyli zamianie miejscami niektórych liczb, ale tak, by dziewięć z nich (w tym 14 i 15) pozostało na swoich miejscach.

Rys. 10

Poza konkursem: komu uda się przekształcić kwadrat Dürera w antymagiczny na takich samych warunkach (nieruszone 14, 15 i siedem innych liczb).

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 grudnia br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG12/13, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Fred Kuttner, Bruce Rosenblum Zagadka teorii kwantów. Zmagania fizyki ze świadomością, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

Rozwiązanie zadań z numeru październikowego

1.         Po jednej stronie linijki tylko kreski 0 i 10, po drugiej siedem kresek, ale są dwie możliwości (wystarczyło podać jedną): 0–1–2–6–7–9–10 lub 0–1–3–4–8–9–10.

2.         0–2–7–13–16–17–25.

3.         k=68; dwa z sześciu możliwych rozwiązań (znaki na linijce): 0_1_3_21_30_34, 0_7_30_32_33_42. Ponieważ zadanie było bardzo trudne (praktycznie dla programistów), więc rozwiązania z k>50 uznawane były za poprawne.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań nagrodę, książkę Dlaczego E=mc2 (i dlaczego powinno nas to obchodzić) Briana Coxa i Jeffa Forshawa, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Daniel Kłobuszewski, Tomasz Migdałek i Bernadeta Siepielska z Poznania, Krzysztof Szeruga z Wrocławia, Rafał Zorychta z Kończyc Wielkich.

Więcej w miesięczniku „Świat Nauki" nr 12/2013 »
Drukuj »
Komentarze
Dodany przez: m.penszko | 2013-12-01
Odpowiadam „Waldemarowi” Pobłądziłem ja, ale mój komentator także błądzi. Stwierdzenie „jednak co innego sprawdzić, a co innego dowieść” jest w ogólnym przypadku prawdziwe, ale w konkretnym – nie, bowiem jedno wyklucza drugie. Albo się coś sprawdza, albo dowodzi. Sprawdzenie 3120 przypadków nie jest „dowodem przez przypadki”, ani w ogóle żadnym dowodem – jest tylko sprawdzeniem. Tam, gdzie można sprawdzić skończoną liczbę przypadków, trudno mówić o dowodzie matematycznym. W dowodzie twierdzenia o 4 barwach właściwym dowodem było wykazanie, że sprowadza się on do rozpatrzenia skończonej liczby przypadków – samo sprawdzenie tych przypadków to tylko „załącznik” do dowodu. Strzeliłem byka, pisząc: „logiczny dowód, że kwadrat antymagiczny 3x3 nie istnieje, wciąż czeka na swego odkrywcę”. Powinienem napisać, że chodzi o logiczny sposób (dla porównania: chodziłoby o coś w rodzaju wymyślonego przez kilkuletniego Gaussa sprytnego sposobu na policzenie sumy wszystkich liczb od 1 do 100). Dziękuję za komentarz. Pozdrawiam Marek Penszko
Dodany przez: Waldemar | 2013-11-28
Uważam fragment „Jednak co innego sprawdzić, a co innego dowieść. Logiczny dowód (…) wciąż czeka na swego odkrywcę” za mocno niefortunny. Stwierdzenia te są oczywiście błędne, a ponadto mogą wprowadzić zamieszanie przy próbach zrozumienia czym jest dowód matematyczny. Wszak omawiana procedura sprawdzenia przy pomocy programu komputerowego wszystkich możliwych przypadków w liczbie 3120, to nic innego jak „dowód przez przypadki”, a w szczególności jego wersja wspomagana komputerowo (ang. Computer-assisted proof). Najsławniejszym przykładem dowodu tego samego typu jest dowód twierdzenia o czterech barwach. W takich dowodach nie ma oczywiście nic „nielogicznego”. Z kontekstu wnoszę, że autorowi chodziło o to, że dowód prosty, elegancki, typu „dowód z księgi” nie jest znany. Znów jednak słowo „najlepiej” w wyrażeniu „najlepiej, aby był prosty i elegancki” zaciemnia myśl autora. No przecież właśnie dowód nieelegancki istnieje.
Aktualne numery
12/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
23
W 2003 r. miało miejsce całkowite zaćmienie Słońca widoczne w Australii, Nowej Zelandii, Antarktyce i Ameryce Południowej.
Warto przeczytać
Odkrycia Svante Pääbo zrewolucjonizowały antropologię i doprowadziły do naniesienia poprawek w naszym drzewie genealogicznym. Stały się fundamentem, na którym jeszcze przez długie lata budować będą inni badacze

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Marek Penszko | dodano: 2013-11-21
Antymagia

Mniej popularny, a równie interesujący aspekt znanej zagadki.

Do kwadratu podzielonego na 9 pól (3×3) cyfry od 1 do 9 można wpisać na 45 360 (9!/8) różnych sposobów („różnych” oznacza, że żaden układ nie może powstać z innego w wyniku obrotu lub/i odbicia lustrzanego). Tylko jeden z tych kilkudziesięciu tysięcy układów wyróżnia się niezwykłą własnością, która sprawiła, że przez co najmniej dwa tysiąclecia kojarzony był z mistyką: sumy liczb w rzędach, kolumnach i na obu przekątnych są jednakowe (rys. 1). Nic dziwnego, że kwadraty n×n o takiej własności (wypełnione liczbami od 1 do n2 tak, że sumy są identyczne w rzędach, kolumnach i na przekątnych) nazwano magicznymi. Jeśli jednak unikalność uznać za główne kryterium, decydujące o „magicznej mocy”, to najsilniejsza jest ona właśnie dla n=3, bo większych kwadratów magicznych jest bardzo dużo: 4×4 – 880, 5×5 – 275 305 224; dalej wiadomo tylko w przybliżeniu, że dla n=6 jest to liczba rzędu 1019.

Rys. 1

Literatura dotycząca tych osobliwych układów, które matematycy nazywają ogólnie macierzami kwadratowymi, jest bardzo bogata. Od XVIII wieku wylano morze atramentu, opisując metody ich tworzenia oraz różne aspekty teoretyczne. Przez wieki nikomu nie przyszło jednak do głowy, że magię można „odwrócić”, czyli równie ciekawie, choć „magicznie inaczej”, może być, jeśli podstawowy warunek zmienimy na przeciwny: sumy liczb w rzędach, kolumnach i na przekątnych powinny być różne. Temat zainicjował dopiero w roku 1951 amerykański matematyk Dewey Duncan, proponując nazwanie takich macierzy heterokwadratami.

Heterokwadratu 2×2 nie ma, bo dodając parami liczby ze zbioru {1,2,3,4} utworzymy sześć sum, wśród których jedna (5) zawsze będzie się powtarzać jako 1+4 lub 2+3. W kwadracie 3×3 sum jest osiem – 3 w rzędach, 3 w kolumnach i 2 na przekątnych – zaś wszystkich sum, które można utworzyć z trzech różnych liczb wybranych ze zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8,9} mamy 9!/3!(9–3)!=84. Suma 15 występuje dokładnie osiem razy, dzięki czemu może istnieć kwadrat magiczny 3×3. Wszystkich różnych sum jest natomiast dziewiętnaście – od 6 (1+2+3) do 24 (7+8+9), czyli dostatecznie dużo, aby można było przypuszczać, że różnych heterokwadratów będzie multum.

Istotnie, jest ich aż 3120. Bardzo łatwo jakiś utworzyć, wpisując cyfry do pól w dowolny sposób, obliczając sumy, a następnie przestawiając kilka cyfr tak, aby sumy były różne. Łamigłówką może być szukanie przestawienia, obejmującego jak najmniej cyfr. Na przykład, na rys. 2 cyfry wpisane są kolejno rzędami od góry; przy brzegu podano sumy. 15 występuje w czterech rzędach, czyli aby powstał heterokwadrat, co najmniej trzy cyfry trzeba zamienić miejscami. Które?

 

Rys. 2

Jeśli w taki sam sposób wpisać kolejne liczby do kwadratu z parzystym n, np. n=4 (rys. 3), to przekształcenie go w heterokwadrat będzie trywialne – wystarczy zamienić miejscami 1 i 2 albo dwie największe liczby. W przypadku nieparzystych n nie trzeba nawet nic przestawiać, jeżeli skorzysta się ze schematycznego sposobu: ciąg liczb wpisujemy do kwadratu spiralnie, zaczynając od środka – wszystkie 2n+2 sum będzie zawsze różnych. W przykładzie na rys. 4 każdy ze współśrodkowych nieparzystych kwadratów (3×3, 5×5 i 7×7) jest heterokwadratem. Komu nieobce są zagadnienia związane z liczbami pierwszymi, temu zapewne rysunek ten skojarzy się z powstającą w taki sam sposób tzw. spiralą Ulama, na której liczby pierwsze (oczywiście nie wszystkie) gęsto obsadzają przekątne.

 

 

Rys. 3

 

Rys. 4

Mnogość heterokwadratów i łatwość ich konstruowania sprawia, że ogólnie temat uchodzi za umiarkowanie interesujący, choć niektóre jego aspekty mogą być dla giętkich umysłów kuszące (np. przekształcanie kwadratów magicznych w heterokwadraty w minimalnej liczbie „ruchów”). Ciekawiej robi się jednak po osiągnięciu pełnej antymagii, czyli wprowadzeniu dodatkowego prostego i eleganckiego warunku: sumy powinny tworzyć fragment ciągu liczb naturalnych. Prostota jest oczywista, a elegancja polega na tym, że sumy są – podobnie jak same liczby – kolejnymi liczbami.

Już na początku tego tematu pojawia się na pozór prosty, ale dotąd nierozwiązany problem. Łatwo napisać program komputerowy, który sprawdzi, że wśród 3120 heterokwadratów 3×3 żaden nie jest antymagiczny. W ciągu sum zawsze pojawia się przynajmniej jedna jednoliczbowa przerwa, np. brak trzynastki (rys. 5). Jednak co innego sprawdzić, a co innego dowieść. Logiczny dowód, że kwadrat antymagiczny 3×3 nie istnieje, wciąż czeka na swego odkrywcę. Gdyby zatem ktoś miał ochotę przejść do historii matematyki, może spróbować go znaleźć – oczywiście najlepiej, aby był prosty i elegancki. Dla wszystkich n>3 kwadraty antymagiczne istnieją.

 

 

Rys. 5

W podanym wyżej warunku nie ma mowy o zakresie sum, ale nietrudno dowieść, że możliwości są tylko dwie. Z 2n+2 kolejnych sum prawie wszystkie – poza jedną – powinny zawierać się w przedziale [SMn, SM+n], a jedna, skrajna, musi być równa SM–(n+1) lub SM+(n+1), gdzie SM=n(n2+1)/2, czyli tyle, ile wynosi suma magiczna kwadratu o takim samym n. Zatem dla kwadratu 4×4 sumy będą tworzyć ciąg od 29 do 38 lub od 30 do 39.

Zaskakujące, że mimo tak „surowych” warunków różnych kwadratów antymagicznych 4×4 istnieje aż 299 710, a w tym kontekście jeszcze bardziej dziwi to, że bez komputerowego wsparcia trudno jakiś znaleźć. Choć liczne metody konstruowania kwadratów magicznych są znane od dawna, to antymagiczne stawiały opór do końca XX wieku, a sposoby radzenia sobie z nimi okazały się znacznie bardziej zawiłe. Znanych jest wprawdzie kilka prostych, schematycznych metod, ale „obsługują” one małe grupy kwadratów. Na przykład dla n=4 liczby można wpisywać do diagramu na rys. 6a tak, aby suma dwóch, które znajdą się w polach oznaczonych taką samą literą, była zawsze równa 17 – zamieniając miejscami, w razie potrzeby, liczby w parach. Jeden z efektów przedstawiony jest na rys. 6b. Sumy obejmują zakres od 29 do 38; aby powstał bliźniaczy kwadrat z sumami od 30 do 39 wystarczy zamienić miejscami pary A z C oraz B z D.

 

Rys. 6

Nie wiadomo, ile jest kwadratów antymagicznych 5×5. W przeciwieństwie do 4×4, które zostały nie tylko policzone, ale nawet skatalogowane, do szukania kwadratów 5×5, a tym bardziej większych, nie ma chętnych, więc od blisko półwiecza znanych jest tylko kilka. Jeden z nich znajduje się na rys. 7; inny jest rozwiązaniem jednego z poniższych zadań konkursowych.

 

 

Rys. 7

1.      W heterokwadracie 3×3 (rys. 8) ujawniono tylko jedną liczbę oraz sumę liczb w środkowym rzędzie. Jaki jest układ pozostałych liczb (od 2 do 8), jeśli wiadomo, że siedem pozostałych sum tworzy – jak w kwadracie antymagicznym – fragment ciągu liczb naturalnych?

 

 

Rys. 8

2.      Należy zrekonstruować kwadrat antymagiczny 5×5 (liczby od 1 do 25) na podstawie podanych na diagramie informacji (rys. 9). Większość kwadratu podzielona jest na kolorowe działki. Znak działania i liczba u góry każdej działki oznacza rodzaj działania – na wszystkich liczbach w tej działce – oraz jego wynik (w przypadku odejmowania i dzielenia działka może oczywiście obejmować tylko dwie kratki). Dwie liczby poza działkami są już ujawnione.

 

 

Rys. 9

3.      Na słynnym miedziorycie Albrechta Dürera Melancholia (na poprzedniej stronie) znajduje się jeden z najbardziej znanych kwadratów magicznych (rys. 10). Jego cechą charakterystyczną jest to, że dwie liczby w środku dolnego rzędu określają rok powstania dzieła (1514). Zadanie polega na przekształceniu tego kwadratu w heterokwadrat, czyli zamianie miejscami niektórych liczb, ale tak, by dziewięć z nich (w tym 14 i 15) pozostało na swoich miejscach.

Rys. 10

Poza konkursem: komu uda się przekształcić kwadrat Dürera w antymagiczny na takich samych warunkach (nieruszone 14, 15 i siedem innych liczb).

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 31 grudnia br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG12/13, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Fred Kuttner, Bruce Rosenblum Zagadka teorii kwantów. Zmagania fizyki ze świadomością, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

Rozwiązanie zadań z numeru październikowego

1.         Po jednej stronie linijki tylko kreski 0 i 10, po drugiej siedem kresek, ale są dwie możliwości (wystarczyło podać jedną): 0–1–2–6–7–9–10 lub 0–1–3–4–8–9–10.

2.         0–2–7–13–16–17–25.

3.         k=68; dwa z sześciu możliwych rozwiązań (znaki na linijce): 0_1_3_21_30_34, 0_7_30_32_33_42. Ponieważ zadanie było bardzo trudne (praktycznie dla programistów), więc rozwiązania z k>50 uznawane były za poprawne.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej dwóch zadań nagrodę, książkę Dlaczego E=mc2 (i dlaczego powinno nas to obchodzić) Briana Coxa i Jeffa Forshawa, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Daniel Kłobuszewski, Tomasz Migdałek i Bernadeta Siepielska z Poznania, Krzysztof Szeruga z Wrocławia, Rafał Zorychta z Kończyc Wielkich.