nauki ścisłe
Autor: Marek Penszko | dodano: 2013-09-20
Linijki w kreski ubogie.

Linijki zwane umownie rzadkimi pojawiły się po raz pierwszy w zadaniu zamieszczonym na łamach brytyjskiego miesięcznika The Strand Magazine we wrześniu 1920 roku. Redagujący dział Henry E. Dudeney napisał, że jest pod wrażeniem pewnego nowego pomysłu i od razu zaproponował czytelnikom skok na głęboką wodę. Na listewce o długości 33 cali należało umieścić osiem kresek podziałki tak, aby utworzoną w ten sposób rzadką linijką można było zmierzyć każdą całkowitą długość cali od 1 do 33. Podany był przykład 13-calowej linijki z czterema kreskami (0_1_4_5_11_13 – rys. 1), między którymi – oraz między kreskami a końcami linijki – zawarte były wszystkie całkowite długości od jednego do trzynastu cali: jeden cal między 0 a 1 (także między 4 a 5), dwa między 11 a 13, trzy między 1 a 4 itd., aż do 12 między 1 a 13 i 13 między 0 a 13.

Rys. 1

Woda okazała się za głęboka nie tylko dla Czytelników, ale także dla Dudeneya, który uznał, że rozwiązania są dwa. Dopiero znacznie później ustalono, że… jest ich szesnaście oraz że ośmioma kreskami da się obsłużyć dłuższą linijkę, maksymalnie 36-calową. Rozwiązanie jest wówczas jedno (0_1_3_6_13_20_27_31_35_36), jeśli pominąć odwrotny układ kresek (0_1_5_9_16_23_30_35_36). Mimo tych „niedociągnięć” wypada uznać Dudeneya za prekursora matematyki rzadkich linijek, bo w teorii liczb temat ten pojawił się dopiero w połowie lat 40. Wówczas jednak nie było mowy o linijce. Zastąpiła ją baza różnicowa, czyli taki podzbiór B zbioru wszystkich liczb naturalnych od zera do n, że każdą liczbę z tego zbioru można przedstawić jako różnicę dwu liczb należących do B.

Rzadką nazywamy zatem linijkę, na której liczba kresek jednostkowej podziałki jest znacznie mniejsza niż jej długość d, a mimo to da się nią mierzyć wszystkie całkowite długości od 1 do d. Najciekawsze są oczywiście ekstremalne rzadkie linijki – można je tworzyć, modyfikując zwykłe na dwa sposoby.

Jeśli ze szkolnej linijki z podziałką centymetrową zaczniemy usuwać kreski tak, aby pozostało ich jak najmniej – ale bez uszczerbku dla pełni jej możliwości mierniczych – to powstanie linijka rzadka minimalna. Jeśli natomiast taką samą zwykłą linijkę będziemy wydłużać centymetr po centymetrze, nie dodając kresek, tylko je odpowiednio przesuwając i także dbając o to, aby każda dłuższa linijka była rzadka, to powstanie linijka maksymalna. Inaczej mówiąc, linijka minimalna to taka, która przy określonej długości ma najmniej kresek, natomiast maksymalna jest najdłuższą z określoną liczbą kresek.

Jest jeszcze trzeci sposób tworzenia rzadkich linijek, łączący oba powyższe – najpierw tworzymy linijkę minimalną, usuwając kreski, a potem próbujemy ją wydłużać, przesuwając kreski. Jeśli drugi etap okaże się możliwy, a efekty obu będą ekstremalne, to powstanie linijka rzadka zwana optymalną. Prześledzimy ten proces na przykładzie linijki 10-centymetrowej.

Kreski na linijce nazwiemy znakami; znakami będą także początek i koniec linijki. Na zwykłej 10-centymetrowej linijce jest 11 znaków, które dzielą ją na 10 segmentów – 0_1_2_3_4_5_6_7_8_9_10 (rys. 2a). Usuwanie znaków najwygodniej zacząć od pozbycia się wszystkich poza tymi, które pozostać muszą, czyli skrajnymi. Powstanie 1-dystansowa linijka 0_10 (rys. 2b). Teraz liczbę dystansów stopniowo zwiększamy. Dodając na przykład dwa znaki utworzymy linijkę 0_1_7_10 (rys. 2c) – przybyło pięć dystansów: 1, 3, 6, 7, 9. Czy udałoby się teraz umieścić jeszcze tylko jeden znak tak, aby powstała rzadka linijka, a więc by zakres pomiarów został uzupełniony o 2, 4, 5, 8? Łatwo sprawdzić, że nie jest to możliwe. Minimalna linijka o długości „10” musi mieć sześć znaków. Takich różnych linijek jest jednak aż 19, więc należy przypuszczać, że „dziesiątkę” uda się wydłużyć, czyli zwiększyć jej zakres, równocześnie tylko przesuwając znaki, bez ich dodawania. Istotnie, najdłuższa, czyli maksymalna, a w tym przypadku także optymalna linijka z sześcioma znakami to „trzynastka”. Można ją utworzyć na przykład z przedłużonej o 3 cm „dziesiątki” (rys. 2d), przenosząc na koniec tylko jeden znak (który?). Powstanie jedna z trzech optymalnych „trzynastek”. Dwie pozostałe to 0_1_4_5_11_13 (przykład z zadania Dudeneya) i 0_1_6_9_11_13.

Rys. 2

Wśród rzadkich linijek optymalne są bez wątpienia najciekawsze. Można je nazwać mini-max, bo umożliwiają pomiar maksymalnej liczby odległości przy minimalnej liczbie znaków. Nie sposób zwiększyć ich zakresu, czyli długości, bez dodania znaków, ani zmniejszyć liczby znaków, nie ograniczając zakresu.

Każde dwa spośród n znaków na linijce wyznaczają jakiś dystans, więc wszystkich dystansów jest tyle, co par znaków – zgodnie ze wzorem na liczbę kombinacji 2-elementowych ze zbioru n-elementowego: n(n–1)/2. Gdyby wszystkie dystanse na linijce optymalnej były różne, to ich liczba byłaby równa długości linijki. Tak jednak jest tylko w przypadku linijek z najmniejszą liczbą znaków – co najwyżej z czterema (rys. 3a). Dla pięciu znaków różnych dystansów jest 10, ale linijki optymalne sięgają tylko dziewięciu. Takie linijki są dwie (rys. 3b) – na pierwszej powtarza się dystans „1”, na drugiej „3”.

Rys. 3

W tabeli znajdują się długości linijek optymalnych z różnymi liczbami znaków – od 2 do 17. W nawiasie obok każdej podano różnicę między tą praktyczną długością a teoretyczną liczbą wszystkich różnych dystansów między parami znaków. Różnica ta oznacza więc także, ile jest powtórek dystansów na danej linijce

 

Z tabeli wynika, że długości linijek oraz różnice w nawiasach rosną wolno i nieregularnie. Wydaje się, że żaden z tych ciągów rosnących nie podlega wzorowi lub regule. A jednak…

W roku 1962 matematyk angielski Brian Wichmann zauważył, że jeśli zamiast znaków będziemy rozpatrywać segmenty, czyli odstępy między kolejnymi znakami, to okaże się, że zapis wielu linijek optymalnych ma postać:

1^r_r+1_(2r+1)^r_(4r+3)^s_(2r+2)^(r+1)_1^r.

„Ptaszek” w zapisie nie oznacza potęgowania – x^y czytamy jako „y segmentów o długości x”. Jeśli przyjmiemy na przykład r=0 i s=2, to na linijce kolejno będą się pojawiać (lub nie, skoro r=0): zero segmentów o długości „1”, jeden o długości „1”, zero o długości „1”, dwa o długości „3”, jeden o długości „2”, zero o długości „1”. W efekcie otrzymamy linijkę optymalną 0_1_4_7_9, czyli taką, jak druga na rys. 3b. Proszę sprawdzić, że jeżeli przyjąć r=1 i s=3, to powstanie linijka o długości 36 wzmiankowana na początku artykułu.

W ten sposób tworzone są tzw. linijki Wichmanna. Istnieje hipoteza, że takie są wszystkie linijki optymalne, gdy liczba znaków jest większa od 14. Jeśli więc znaków jest 13, to wśród linijek optymalnych o długości 58 nie ma linijki Wichmanna. Jeżeli jednak znaków umieścimy co najmniej 15, to linijką Wichmanna będzie każda optymalna. Tak przynajmniej wynika z hipotezy, którą potwierdzają obliczenia, ale której dotąd nikt nie udowodnił.

Poniższe zadania konkursowe dotyczą spokrewnionych z rzadkimi szczególnych rodzajów linijek.

1. Jeśli zwykła linijka ma podziałkę na obu brzegach, zwana jest dwustronną; z reguły jedna podziałka jest centymetrowa, a druga calowa. Na rzadkiej linijce dwustronnej podziałka z obu stron jest centymetrowa, ale:

– każdy dystans występuje na linijce co najmniej dwukrotnie (jeśli powtarza się po tej samej stronie, wtedy na drugim brzegu może go wcale nie być),

– liczba znaków jest minimalna.

Proszę zaprojektować rzadką linijkę dwustronną o długości 10 z dziewięcioma znakami. Cztery skrajne znaki, czyli dwa dystanse „10”, już się na niej znajdują (rys. 4) – pozostaje rozmieścić pięć pozostałych.

Rys. 4

2. Z linijki optymalnej o długości 17 (0_1_2_3_8_13_17; rys. 5a) usuwamy znaki 1, 3 i 8, a linijkę wydłużamy (rys. 5b). Jeden z usuniętych znaków umieszczamy na końcu nowej linijki, a dwa pozostałe w innych miejscach – takich, aby dłuższą linijką można było mierzyć wszystkie dystanse od 1 do 18. Nie będzie to oczywiście linijka optymalna, ani nawet rzadka, bo nie znajdą się na niej niektóre dystanse z zakresu zawartego między 18 a długością linijki. Jaki będzie zapis nowej linijki, zaczynający się od 0_2_...?

Rys. 5

3. Linijka rzadka „raz-dwa” to taka, na której brak wielu kresek podziałki, ale którą można zmierzyć każdy dystans od 1 do k, przykładając linijkę podczas pomiaru jedno- lub dwukrotnie. Inaczej mówiąc, każdy dystans od 1 do k albo jest na linijce, albo stanowi sumę co najwyżej dwóch znajdujących się na niej dystansów. Jaka może być największa wartość k na linijce „raz-dwa”, na której jest sześć znaków (w tym dwa skrajne).

 

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 października br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG10/13, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02-697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Dlaczego E=mc2 (i dlaczego powinno  nas to obchodzić) Briana Coxa, Jeffa Forshawa, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

 

Rozwiązanie zadań z numeru sierpniowego

1. Należy usunąć co najmniej trzy białe i trzy niebieskie pola, aby pokrycie szachownicy dominem – mimo parzystej liczby białych i niebieskich pól – nie było możliwe. Na przykład: białe – b1, b3, d1, niebieskie – a3 i dwa dowolne (niedzielące szachownicy na części) oprócz c1, które nie zostanie pokryte.

2. Pozycje 1-masztowców: a3, a6, c6, g6.

3. 10 klepek 1×2 – przy założeniu, że długości klepek są nie większe niż 4. Ponieważ jednak tego warunku zabrakło w zadaniu, więc rozwiązań jest wiele i wszystkie spełniające pozostałe podane warunki uznawane były za poprawne.

4. 7 klepek 1×3.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej trzech zadań nagrodę, książkę Antona Zeilingera Od splątania cząstek do kwantowej teleportacji, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują:  Aleksandra Bojar z Pasłęka, Szymon Dudycz z Wrocławia, Bartłomiej Harbart, Krzysztof Lewandowski z Gdańska, Michał Przyszczypkowski z Poznania.

Więcej w miesięczniku „Świat Nauki" nr 10/2013 »
Drukuj »
Komentarze
Dodany przez: Kred | 2017-02-21
tutaj jest dobra linijka online dla pomiarów w centymetrach: http://linijka.online
Dodany przez: stud | 2013-09-22
no i oprócz a1
Dodany przez: stud | 2013-09-22
W klepkach z nru sierpniowego wystarczy w sumie warunek o białych polach, i zastrzeżenie, że niebieskie mogą być trzy dowolne oprócz b2 i c1.
Aktualne numery
11/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
17
W 1833 r. urodził się Lucjan Rydel, polski lekarz, okulista, profesor i rektor Uniwersytetu Jagiellońskiego.
Warto przeczytać
Historia Polski pełna jest mitów, półprawd, przemilczeń i niedomówień. Różne jej wątki bywały w ciągu wieków retuszowane, poprawiane i wygładzane, by w końcu przybrać postać miłej dla ucha opowieści – stawały się narodowymi mitami.

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Marek Penszko | dodano: 2013-09-20
Linijki w kreski ubogie.

Linijki zwane umownie rzadkimi pojawiły się po raz pierwszy w zadaniu zamieszczonym na łamach brytyjskiego miesięcznika The Strand Magazine we wrześniu 1920 roku. Redagujący dział Henry E. Dudeney napisał, że jest pod wrażeniem pewnego nowego pomysłu i od razu zaproponował czytelnikom skok na głęboką wodę. Na listewce o długości 33 cali należało umieścić osiem kresek podziałki tak, aby utworzoną w ten sposób rzadką linijką można było zmierzyć każdą całkowitą długość cali od 1 do 33. Podany był przykład 13-calowej linijki z czterema kreskami (0_1_4_5_11_13 – rys. 1), między którymi – oraz między kreskami a końcami linijki – zawarte były wszystkie całkowite długości od jednego do trzynastu cali: jeden cal między 0 a 1 (także między 4 a 5), dwa między 11 a 13, trzy między 1 a 4 itd., aż do 12 między 1 a 13 i 13 między 0 a 13.

Rys. 1

Woda okazała się za głęboka nie tylko dla Czytelników, ale także dla Dudeneya, który uznał, że rozwiązania są dwa. Dopiero znacznie później ustalono, że… jest ich szesnaście oraz że ośmioma kreskami da się obsłużyć dłuższą linijkę, maksymalnie 36-calową. Rozwiązanie jest wówczas jedno (0_1_3_6_13_20_27_31_35_36), jeśli pominąć odwrotny układ kresek (0_1_5_9_16_23_30_35_36). Mimo tych „niedociągnięć” wypada uznać Dudeneya za prekursora matematyki rzadkich linijek, bo w teorii liczb temat ten pojawił się dopiero w połowie lat 40. Wówczas jednak nie było mowy o linijce. Zastąpiła ją baza różnicowa, czyli taki podzbiór B zbioru wszystkich liczb naturalnych od zera do n, że każdą liczbę z tego zbioru można przedstawić jako różnicę dwu liczb należących do B.

Rzadką nazywamy zatem linijkę, na której liczba kresek jednostkowej podziałki jest znacznie mniejsza niż jej długość d, a mimo to da się nią mierzyć wszystkie całkowite długości od 1 do d. Najciekawsze są oczywiście ekstremalne rzadkie linijki – można je tworzyć, modyfikując zwykłe na dwa sposoby.

Jeśli ze szkolnej linijki z podziałką centymetrową zaczniemy usuwać kreski tak, aby pozostało ich jak najmniej – ale bez uszczerbku dla pełni jej możliwości mierniczych – to powstanie linijka rzadka minimalna. Jeśli natomiast taką samą zwykłą linijkę będziemy wydłużać centymetr po centymetrze, nie dodając kresek, tylko je odpowiednio przesuwając i także dbając o to, aby każda dłuższa linijka była rzadka, to powstanie linijka maksymalna. Inaczej mówiąc, linijka minimalna to taka, która przy określonej długości ma najmniej kresek, natomiast maksymalna jest najdłuższą z określoną liczbą kresek.

Jest jeszcze trzeci sposób tworzenia rzadkich linijek, łączący oba powyższe – najpierw tworzymy linijkę minimalną, usuwając kreski, a potem próbujemy ją wydłużać, przesuwając kreski. Jeśli drugi etap okaże się możliwy, a efekty obu będą ekstremalne, to powstanie linijka rzadka zwana optymalną. Prześledzimy ten proces na przykładzie linijki 10-centymetrowej.

Kreski na linijce nazwiemy znakami; znakami będą także początek i koniec linijki. Na zwykłej 10-centymetrowej linijce jest 11 znaków, które dzielą ją na 10 segmentów – 0_1_2_3_4_5_6_7_8_9_10 (rys. 2a). Usuwanie znaków najwygodniej zacząć od pozbycia się wszystkich poza tymi, które pozostać muszą, czyli skrajnymi. Powstanie 1-dystansowa linijka 0_10 (rys. 2b). Teraz liczbę dystansów stopniowo zwiększamy. Dodając na przykład dwa znaki utworzymy linijkę 0_1_7_10 (rys. 2c) – przybyło pięć dystansów: 1, 3, 6, 7, 9. Czy udałoby się teraz umieścić jeszcze tylko jeden znak tak, aby powstała rzadka linijka, a więc by zakres pomiarów został uzupełniony o 2, 4, 5, 8? Łatwo sprawdzić, że nie jest to możliwe. Minimalna linijka o długości „10” musi mieć sześć znaków. Takich różnych linijek jest jednak aż 19, więc należy przypuszczać, że „dziesiątkę” uda się wydłużyć, czyli zwiększyć jej zakres, równocześnie tylko przesuwając znaki, bez ich dodawania. Istotnie, najdłuższa, czyli maksymalna, a w tym przypadku także optymalna linijka z sześcioma znakami to „trzynastka”. Można ją utworzyć na przykład z przedłużonej o 3 cm „dziesiątki” (rys. 2d), przenosząc na koniec tylko jeden znak (który?). Powstanie jedna z trzech optymalnych „trzynastek”. Dwie pozostałe to 0_1_4_5_11_13 (przykład z zadania Dudeneya) i 0_1_6_9_11_13.

Rys. 2

Wśród rzadkich linijek optymalne są bez wątpienia najciekawsze. Można je nazwać mini-max, bo umożliwiają pomiar maksymalnej liczby odległości przy minimalnej liczbie znaków. Nie sposób zwiększyć ich zakresu, czyli długości, bez dodania znaków, ani zmniejszyć liczby znaków, nie ograniczając zakresu.

Każde dwa spośród n znaków na linijce wyznaczają jakiś dystans, więc wszystkich dystansów jest tyle, co par znaków – zgodnie ze wzorem na liczbę kombinacji 2-elementowych ze zbioru n-elementowego: n(n–1)/2. Gdyby wszystkie dystanse na linijce optymalnej były różne, to ich liczba byłaby równa długości linijki. Tak jednak jest tylko w przypadku linijek z najmniejszą liczbą znaków – co najwyżej z czterema (rys. 3a). Dla pięciu znaków różnych dystansów jest 10, ale linijki optymalne sięgają tylko dziewięciu. Takie linijki są dwie (rys. 3b) – na pierwszej powtarza się dystans „1”, na drugiej „3”.

Rys. 3

W tabeli znajdują się długości linijek optymalnych z różnymi liczbami znaków – od 2 do 17. W nawiasie obok każdej podano różnicę między tą praktyczną długością a teoretyczną liczbą wszystkich różnych dystansów między parami znaków. Różnica ta oznacza więc także, ile jest powtórek dystansów na danej linijce

 

Z tabeli wynika, że długości linijek oraz różnice w nawiasach rosną wolno i nieregularnie. Wydaje się, że żaden z tych ciągów rosnących nie podlega wzorowi lub regule. A jednak…

W roku 1962 matematyk angielski Brian Wichmann zauważył, że jeśli zamiast znaków będziemy rozpatrywać segmenty, czyli odstępy między kolejnymi znakami, to okaże się, że zapis wielu linijek optymalnych ma postać:

1^r_r+1_(2r+1)^r_(4r+3)^s_(2r+2)^(r+1)_1^r.

„Ptaszek” w zapisie nie oznacza potęgowania – x^y czytamy jako „y segmentów o długości x”. Jeśli przyjmiemy na przykład r=0 i s=2, to na linijce kolejno będą się pojawiać (lub nie, skoro r=0): zero segmentów o długości „1”, jeden o długości „1”, zero o długości „1”, dwa o długości „3”, jeden o długości „2”, zero o długości „1”. W efekcie otrzymamy linijkę optymalną 0_1_4_7_9, czyli taką, jak druga na rys. 3b. Proszę sprawdzić, że jeżeli przyjąć r=1 i s=3, to powstanie linijka o długości 36 wzmiankowana na początku artykułu.

W ten sposób tworzone są tzw. linijki Wichmanna. Istnieje hipoteza, że takie są wszystkie linijki optymalne, gdy liczba znaków jest większa od 14. Jeśli więc znaków jest 13, to wśród linijek optymalnych o długości 58 nie ma linijki Wichmanna. Jeżeli jednak znaków umieścimy co najmniej 15, to linijką Wichmanna będzie każda optymalna. Tak przynajmniej wynika z hipotezy, którą potwierdzają obliczenia, ale której dotąd nikt nie udowodnił.

Poniższe zadania konkursowe dotyczą spokrewnionych z rzadkimi szczególnych rodzajów linijek.

1. Jeśli zwykła linijka ma podziałkę na obu brzegach, zwana jest dwustronną; z reguły jedna podziałka jest centymetrowa, a druga calowa. Na rzadkiej linijce dwustronnej podziałka z obu stron jest centymetrowa, ale:

– każdy dystans występuje na linijce co najmniej dwukrotnie (jeśli powtarza się po tej samej stronie, wtedy na drugim brzegu może go wcale nie być),

– liczba znaków jest minimalna.

Proszę zaprojektować rzadką linijkę dwustronną o długości 10 z dziewięcioma znakami. Cztery skrajne znaki, czyli dwa dystanse „10”, już się na niej znajdują (rys. 4) – pozostaje rozmieścić pięć pozostałych.

Rys. 4

2. Z linijki optymalnej o długości 17 (0_1_2_3_8_13_17; rys. 5a) usuwamy znaki 1, 3 i 8, a linijkę wydłużamy (rys. 5b). Jeden z usuniętych znaków umieszczamy na końcu nowej linijki, a dwa pozostałe w innych miejscach – takich, aby dłuższą linijką można było mierzyć wszystkie dystanse od 1 do 18. Nie będzie to oczywiście linijka optymalna, ani nawet rzadka, bo nie znajdą się na niej niektóre dystanse z zakresu zawartego między 18 a długością linijki. Jaki będzie zapis nowej linijki, zaczynający się od 0_2_...?

Rys. 5

3. Linijka rzadka „raz-dwa” to taka, na której brak wielu kresek podziałki, ale którą można zmierzyć każdy dystans od 1 do k, przykładając linijkę podczas pomiaru jedno- lub dwukrotnie. Inaczej mówiąc, każdy dystans od 1 do k albo jest na linijce, albo stanowi sumę co najwyżej dwóch znajdujących się na niej dystansów. Jaka może być największa wartość k na linijce „raz-dwa”, na której jest sześć znaków (w tym dwa skrajne).

 

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 października br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG10/13, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02-697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Dlaczego E=mc2 (i dlaczego powinno  nas to obchodzić) Briana Coxa, Jeffa Forshawa, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

 

Rozwiązanie zadań z numeru sierpniowego

1. Należy usunąć co najmniej trzy białe i trzy niebieskie pola, aby pokrycie szachownicy dominem – mimo parzystej liczby białych i niebieskich pól – nie było możliwe. Na przykład: białe – b1, b3, d1, niebieskie – a3 i dwa dowolne (niedzielące szachownicy na części) oprócz c1, które nie zostanie pokryte.

2. Pozycje 1-masztowców: a3, a6, c6, g6.

3. 10 klepek 1×2 – przy założeniu, że długości klepek są nie większe niż 4. Ponieważ jednak tego warunku zabrakło w zadaniu, więc rozwiązań jest wiele i wszystkie spełniające pozostałe podane warunki uznawane były za poprawne.

4. 7 klepek 1×3.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej trzech zadań nagrodę, książkę Antona Zeilingera Od splątania cząstek do kwantowej teleportacji, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują:  Aleksandra Bojar z Pasłęka, Szymon Dudycz z Wrocławia, Bartłomiej Harbart, Krzysztof Lewandowski z Gdańska, Michał Przyszczypkowski z Poznania.