nauki ścisłe
Autor: Marek Penszko | dodano: 2013-08-21
Protoplasta niewymierności

Pitagoras, jak większość autorytetów, nie lubił zmieniać zdania.

Uparł się, na przykład, że „wszystko jest liczbą”. Znaczyło to, że każdej rzeczy przypisana jest jakaś liczba w sensie mistycznym oraz że wszystko można zmierzyć, czyli liczba stanowi także rzeczywisty atrybut. W pierwszym przypadku chodziło o liczby naturalne, w drugim – o wymierne. Marny los czekał tego, kto ośmieliłby się rozważać inne liczby, na przykład ujemne. Gdy jeden z pitagorejczyków, Hippazos z Metapontu, próbował przekonać mistrza, że istnieją liczby niewymierne – a działo się to na pokładzie statku – został po prostu wyrzucony za burtę. Można wątpić, czy ten przekaz jest prawdziwy, ale odkrycie liczb niewymiernych rzeczywiście było dla Pitagorasa niemal szokiem i nie poradził sobie z ich zaszufladkowaniem. Być może poczuł się trochę jak stolarz poproszony o przycięcie deski do długości √2 metra. Wprawdzie zaskoczeniem byłaby także prośba o 1/3 metra, bo odpowiadający tej liczbie ułamek dziesiętny również ciągnie się w nieskończoność, ale to jest już kwestia systemu liczbowego. Stolarz w Anglii poradziłby sobie z 1/3 jarda – deska miałaby długość jednej stopy.

Źródłem i początkiem niewymierności był kwadrat o boku równym 1, bo zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa długość jego przekątnej równa jest √2. Pitagorejczycy jako pierwsi dowiedli, że tej długości zmierzyć nie sposób, to znaczy nie ma takiej jednostki miary, której wielokrotność stanowiłaby długość przekątnej. Inaczej mówiąc, liczby √2 nie sposób przedstawić w postaci ułamka zwykłego a/b, czyli ilorazu liczb całkowitych. Wprawdzie intuicyjnie wyczuwamy, że między 1 a 2 nie ma takiego ułamka, który po podniesieniu do kwadratu dałby „okrągłą” dwójkę, ale intuicja to za mało.

Starożytni Grecy znali dowód geometryczny, który zaczynał się od założenia, że √2 jest liczbą wymierną, a w związku z tym długość przekątnej każdego kwadratu o wymiernych bokach także jest wymierna. Inaczej mówiąc, bok i przekątna są współmierne, czyli istnieje jakaś jednostka k, której wielokrotnością są długości obu tych odcinków. Rysujemy kwadrat o boku a1, którego długość jest wielokrotnością tej jednostki (nk), a więc długość przekątnej p1 (nk√2) także. Następnie konstruujemy odcinek a2=p1a1=nk(√2–1) i rysujemy kwadrat o boku a2 i przekątnej p2; potem wyznaczamy odcinek a3=p2a2 i rysujemy kwadrat o boku a3 i przekątnej p3. Kontynuując ten proces, tworzymy ciąg coraz mniejszych kwadratów (rys. 1), których długości boków i przekątnej są – z założenia – liczbami współmiernymi. W pewnym momencie okaże się jednak, że bok kolejnego kwadratu jest krótszy od k, czyli jego długość jest niewspółmierna z długością przekątnej, a to przeczy założeniu o wymierności √2.

Rys. 1

Dziś dowodów niewymierności √2 istnieje ponad 20. Podawane najczęściej oparte są na parzystości. Wszystkie są nie wprost, czyli zaczynają się od założenia, że √2 jest liczbą wymierną, a więc √2=a/b, stąd a2=2b2. Pozostaje dowieść, że ta równość nie istnieje, czyli podwojony kwadrat nie może być kwadratem. Jeśli ułamek a/b jest nieskracalny (a i b są całkowite i względnie pierwsze, czyli nie mają wspólnych podzielników większych od 1) – a zawsze można go do takiej postaci doprowadzić – to albo nieparzyste są a i b, albo tylko jedna z tych liczb. Jeśli a i b lub tylko a, to a2 będzie nieparzyste, a 2b2 parzyste; jeśli tylko b jest nieparzyste, to a2, jako kwadrat liczby parzystej, będzie podzielne przez 4, a 2b2 nie. Stąd wniosek: a2≠2b2.

Do sprzeczności dojdziemy także, rozpatrując końcówki kwadratów, którymi mogą być tylko 0, 1, 4, 5, 6 i 9. Prawa strona będzie się więc kończyć cyfrą 0, 2 lub 8. Na końcówkę liczby a pasuje więc wyłącznie zero, zatem b powinno się kończyć zerem lub piątką. Wówczas jednak a i b nie będą względnie pierwsze, a to oznacza sprzeczność z założeniami.

Obliczanie √2 zaczęło się w Babilonii w XVIII wieku przed naszą erą. Z zachowanej tabliczki glinianej wynika, że ówcześni rachmistrze dotarli do piątej liczby po przecinku, czyli wiedzieli, że √2=1,41421…. Na początku naszej ery pojawiły się algorytmy obliczania przybliżonej wartości pierwiastka. Podali je Heron z Aleksandrii w I wieku, a nieco później grecki filozof i matematyk Teon ze Smyrny. Oba oparte są na ułamku łańcuchowym. Dla √2, jak dla wszystkich liczb niewymiernych, ułamek ten jest nieskończony:

 

Można go przedstawić w postaci ciągu „skrótów”, czyli ułamków zwykłych. Pierwszy wyraz w ciągu obejmie tylko jedynkę na jasnoróżowym tle, drugi – tę jedynkę i dwie cyfry na nieco ciemniejszym tle połączone linią, trzeci – trzy dotychczasowe i kolejną parę na ciemniejszym tle itd. W ten sposób powstanie, zaczynający się jedynką ciąg ułamków zwykłych:

1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985…,

w którym każdy następny będzie lepszym niż poprzedni przybliżeniem √2. Ten ciąg można potraktować jak zadanie z testu Mensy, czyli zapytać o następny, dziesiąty wyraz kogoś, kto nie wie, jak ciąg powstał. Wbrew pozorom zagadka nie jest zbyt trudna. Pierwszy rozwiązał ją wspomniany Teon ze Smyrny: mianownik każdego następnego ułamka jest sumą licznika i mianownika poprzedniego, a licznik – sumą licznika i podwojonego mianownika poprzedniego. Zatem od czasów Teona wydłużanie rozwinięcia dziesiętnego √2 zależało już tylko od chęci, determinacji i benedyktyńskiej cierpliwości.

Pierwszy rekord, opublikowany w jednym z czasopism matematycznych w 1887 roku, sięgał 520 cyfry po przecinku. Następny był profesor Horace Uhler, fizyk i obliczeniowiec amerykański, który w 1951 roku dotarł do 1542 cyfry. O pierwszym znaczącym rekordzie komputerowym prasa doniosła w roku 1971 – Jacques Dutka z Columbia University przekroczył milion cyfr. Dziś jest to sport ekstremalny uprawiany przez kilka komputerów i ich właścicieli. W ubiegłym roku padła bariera dwu bilionów cyfr. Czy ma to jakiś głębszy sens poza „treningiem” komputerów?

W przypadku nieskończonych ułamków dziesiętnych liczb wymiernych nieskończoność jest „oswojona” – wszystkie ułamki są okresowe, czyli bez końca powtarza się w nich jakaś grupa cyfr. Okres może być dowolnie długi, ale skończony, więc liczba jest zawsze „pod kontrolą”. Natomiast wobec rozwinięcia dziesiętnego √2 matematyka jest dotąd bezradna. Rozwinięcie podajemy, urywając ułamek w jakimś miejscu, na przykład:

√2 = 1,414213562373095048801688724209698…

Nie sposób przewidzieć dalszego ciągu, czyli powiedzieć cokolwiek o układzie cyfr zastąpionym wielokropkiem. Dotyczy to oczywiście wszystkich pierwiastków niewymiernych, ale √2 jest jakby ich królem jako jedna z trzech, obok π i e, najbardziej znanych liczb niewymiernych. Z jednej strony ciąg cyfr wygląda na losowy, z drugiej wiadomo, że każda następna cyfra nie jest dziełem przypadku. Nie wiemy, czy różne cyfry występują równie często (jest taka hipoteza) albo czy jakieś układy cyfr pojawiają się częściej niż inne lub wcale nie występują. Zagadkowość ciągu jest bodźcem do analizowania go, szukania jakichś metod w szaleństwie cyfr – podobnie jak w przypadku ciągu liczb pierwszych. Niewykluczone, że odkrycie jakiejś „reguły” będzie miało istotne znaczenie dla innych zagadnień matematycznych albo nawet znajdzie praktyczne zastosowanie.

Ciekawa własność √2 wiąże się z tzw. ciągiem Beatty’ego. Każdy n-ty wyraz tego ciągu równy jest części całkowitej liczby n√2 (n=1, 2, 3,…):

1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24…

Jeśli wyrazy te potraktujemy jak odjemniki i przed każdym dopiszemy odjemną, z których każda będzie kolejną cyfrą niewystępującą w tym ciągu:

3–1, 6–2, 10–4, 13–5, 17–7, 20–8, 23–9,…

to okaże się, że różnica zawsze jest równa 2n. Dlaczego tak się dzieje? To trudne pytanie. Poniższe zadania konkursowe są łatwiejsze.

 

1. Długość przekątnej kwadratu o boku równym n wyraża się liczbą niewymierną n√2. Zdarzają się jednak złudne „wyjątki”. Na przykład wymierna jest długość przekątnej na rys. 2. Nie ma wątpliwości, że to przekątna, tylko że nie… kwadratu, lecz jednego z wyjątkowych prostokątów, w których różnica długości boków równa jest jednostce. Długości boków i przekątnej tworzą trójkę pitagorejską liczb 4-cyfrowych. Jaką?

Rys. 2

2.  Z dziesięciu różnych cyfr należy utworzyć ułamek zwykły możliwie najbliższy √2. Rozwiązania z rozwinięciem dziesiętnym zgodnym z √2 do czwartej cyfry po przecinku uznawane będą za poprawne.

Dla liczby π przykładowym rozwiązaniem, w którym cztery cyfry po przecinku są właściwe, jest ułamek 62350/19847=3,1415…

 

3. W dziewięciu polach kwadratu 3×3 (rys. 3) należy rozmieścić dziewięć różnych cyfr – wszystkie oprócz 8 – tak, aby wędrując po tych polach ruchem króla szachowego i zapisując kolejno odwiedzane cyfry, można było utworzyć jak najdłuższe dziesiętne rozwinięcie √2.

Dla liczby π jest siedem rozwiązań, umożliwiających dotarcie do piętnastej cyfry po przecinku (3,141592653589793). Oto jedno z nich (cyfry w rzędach od góry): [1,3,7], [4,5,9], [6,2,8].

Rys. 3

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 września br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia. pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG09/13, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02-697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Stephena Oppenheimera Pożegnanie z Afryką, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

 

Rozwiązanie zadań z numeru lipcowego:

1.            Niewidziane pola: a4, b1, c3, d6, e5, f2.

2.            Suma mocy siedmiu Światowidów, obserwujących osiem pól na przekątnej – 31 (lub 35, jeśli moc 4 Światowida, który obserwuje dwa pola, policzyć dwukrotnie).

3.            A = 7, B = 5, C = 1, D = 4, E = 2, F = 6, G = 3.

4.            8 zezujących bóstw o łącznej mocy 26.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej trzech zadań nagrodę, książkę Franka Close’a Zagadka nieskończoności, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Lech Barski ze Szczecina, Rafał Masełek z Nowej Sarzyny, Anna Nowosławska z Lubina, Ewelina Pluta z Tych, Amadeusz Putzlacher z Polic.

 

Więcej w miesięczniku „Świat Nauki" nr 09/2013 »
Drukuj »
Komentarze
Dodany przez: m.penszko | 2013-08-23
diordna: TAK mp
Dodany przez: diordna | 2013-08-23
Witam, tak dla pewność w zadaniu nr 1 długość boków prostokąta różnią się o 1?
Dodany przez: akaczorek | 2013-08-22
Witam, odpowiedż przesyłam na podany adres e-mail. Pozdrawiam,
Artur Kaczorek
Dodany przez: stud | 2013-08-21
W kwietniu otrzymałem mailowo informację, że wygrałem nagrodę w numerze UG04/13 jednak do dnia dzisiejszego jej nie otrzymałem. Moja partnerka z kolei w maju otrzymała maila z informacją o wygranej w numerze UG05/13 i również do dnia dzisiejszego nagrody brak. Może ktoś w tej sprawie coś zrobić? Proszę o kontakt mailowy jacekstu@gmail.com lub edyta.gruchala@gmail.com
Aktualne numery
11/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
22
W 1904 r. urodził się Louis Néel, francuski fizyk, laureat Nagrody Nobla.
Warto przeczytać
Historia Polski pełna jest mitów, półprawd, przemilczeń i niedomówień. Różne jej wątki bywały w ciągu wieków retuszowane, poprawiane i wygładzane, by w końcu przybrać postać miłej dla ucha opowieści – stawały się narodowymi mitami.

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Marek Penszko | dodano: 2013-08-21
Protoplasta niewymierności

Pitagoras, jak większość autorytetów, nie lubił zmieniać zdania.

Uparł się, na przykład, że „wszystko jest liczbą”. Znaczyło to, że każdej rzeczy przypisana jest jakaś liczba w sensie mistycznym oraz że wszystko można zmierzyć, czyli liczba stanowi także rzeczywisty atrybut. W pierwszym przypadku chodziło o liczby naturalne, w drugim – o wymierne. Marny los czekał tego, kto ośmieliłby się rozważać inne liczby, na przykład ujemne. Gdy jeden z pitagorejczyków, Hippazos z Metapontu, próbował przekonać mistrza, że istnieją liczby niewymierne – a działo się to na pokładzie statku – został po prostu wyrzucony za burtę. Można wątpić, czy ten przekaz jest prawdziwy, ale odkrycie liczb niewymiernych rzeczywiście było dla Pitagorasa niemal szokiem i nie poradził sobie z ich zaszufladkowaniem. Być może poczuł się trochę jak stolarz poproszony o przycięcie deski do długości √2 metra. Wprawdzie zaskoczeniem byłaby także prośba o 1/3 metra, bo odpowiadający tej liczbie ułamek dziesiętny również ciągnie się w nieskończoność, ale to jest już kwestia systemu liczbowego. Stolarz w Anglii poradziłby sobie z 1/3 jarda – deska miałaby długość jednej stopy.

Źródłem i początkiem niewymierności był kwadrat o boku równym 1, bo zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa długość jego przekątnej równa jest √2. Pitagorejczycy jako pierwsi dowiedli, że tej długości zmierzyć nie sposób, to znaczy nie ma takiej jednostki miary, której wielokrotność stanowiłaby długość przekątnej. Inaczej mówiąc, liczby √2 nie sposób przedstawić w postaci ułamka zwykłego a/b, czyli ilorazu liczb całkowitych. Wprawdzie intuicyjnie wyczuwamy, że między 1 a 2 nie ma takiego ułamka, który po podniesieniu do kwadratu dałby „okrągłą” dwójkę, ale intuicja to za mało.

Starożytni Grecy znali dowód geometryczny, który zaczynał się od założenia, że √2 jest liczbą wymierną, a w związku z tym długość przekątnej każdego kwadratu o wymiernych bokach także jest wymierna. Inaczej mówiąc, bok i przekątna są współmierne, czyli istnieje jakaś jednostka k, której wielokrotnością są długości obu tych odcinków. Rysujemy kwadrat o boku a1, którego długość jest wielokrotnością tej jednostki (nk), a więc długość przekątnej p1 (nk√2) także. Następnie konstruujemy odcinek a2=p1a1=nk(√2–1) i rysujemy kwadrat o boku a2 i przekątnej p2; potem wyznaczamy odcinek a3=p2a2 i rysujemy kwadrat o boku a3 i przekątnej p3. Kontynuując ten proces, tworzymy ciąg coraz mniejszych kwadratów (rys. 1), których długości boków i przekątnej są – z założenia – liczbami współmiernymi. W pewnym momencie okaże się jednak, że bok kolejnego kwadratu jest krótszy od k, czyli jego długość jest niewspółmierna z długością przekątnej, a to przeczy założeniu o wymierności √2.

Rys. 1

Dziś dowodów niewymierności √2 istnieje ponad 20. Podawane najczęściej oparte są na parzystości. Wszystkie są nie wprost, czyli zaczynają się od założenia, że √2 jest liczbą wymierną, a więc √2=a/b, stąd a2=2b2. Pozostaje dowieść, że ta równość nie istnieje, czyli podwojony kwadrat nie może być kwadratem. Jeśli ułamek a/b jest nieskracalny (a i b są całkowite i względnie pierwsze, czyli nie mają wspólnych podzielników większych od 1) – a zawsze można go do takiej postaci doprowadzić – to albo nieparzyste są a i b, albo tylko jedna z tych liczb. Jeśli a i b lub tylko a, to a2 będzie nieparzyste, a 2b2 parzyste; jeśli tylko b jest nieparzyste, to a2, jako kwadrat liczby parzystej, będzie podzielne przez 4, a 2b2 nie. Stąd wniosek: a2≠2b2.

Do sprzeczności dojdziemy także, rozpatrując końcówki kwadratów, którymi mogą być tylko 0, 1, 4, 5, 6 i 9. Prawa strona będzie się więc kończyć cyfrą 0, 2 lub 8. Na końcówkę liczby a pasuje więc wyłącznie zero, zatem b powinno się kończyć zerem lub piątką. Wówczas jednak a i b nie będą względnie pierwsze, a to oznacza sprzeczność z założeniami.

Obliczanie √2 zaczęło się w Babilonii w XVIII wieku przed naszą erą. Z zachowanej tabliczki glinianej wynika, że ówcześni rachmistrze dotarli do piątej liczby po przecinku, czyli wiedzieli, że √2=1,41421…. Na początku naszej ery pojawiły się algorytmy obliczania przybliżonej wartości pierwiastka. Podali je Heron z Aleksandrii w I wieku, a nieco później grecki filozof i matematyk Teon ze Smyrny. Oba oparte są na ułamku łańcuchowym. Dla √2, jak dla wszystkich liczb niewymiernych, ułamek ten jest nieskończony:

 

Można go przedstawić w postaci ciągu „skrótów”, czyli ułamków zwykłych. Pierwszy wyraz w ciągu obejmie tylko jedynkę na jasnoróżowym tle, drugi – tę jedynkę i dwie cyfry na nieco ciemniejszym tle połączone linią, trzeci – trzy dotychczasowe i kolejną parę na ciemniejszym tle itd. W ten sposób powstanie, zaczynający się jedynką ciąg ułamków zwykłych:

1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985…,

w którym każdy następny będzie lepszym niż poprzedni przybliżeniem √2. Ten ciąg można potraktować jak zadanie z testu Mensy, czyli zapytać o następny, dziesiąty wyraz kogoś, kto nie wie, jak ciąg powstał. Wbrew pozorom zagadka nie jest zbyt trudna. Pierwszy rozwiązał ją wspomniany Teon ze Smyrny: mianownik każdego następnego ułamka jest sumą licznika i mianownika poprzedniego, a licznik – sumą licznika i podwojonego mianownika poprzedniego. Zatem od czasów Teona wydłużanie rozwinięcia dziesiętnego √2 zależało już tylko od chęci, determinacji i benedyktyńskiej cierpliwości.

Pierwszy rekord, opublikowany w jednym z czasopism matematycznych w 1887 roku, sięgał 520 cyfry po przecinku. Następny był profesor Horace Uhler, fizyk i obliczeniowiec amerykański, który w 1951 roku dotarł do 1542 cyfry. O pierwszym znaczącym rekordzie komputerowym prasa doniosła w roku 1971 – Jacques Dutka z Columbia University przekroczył milion cyfr. Dziś jest to sport ekstremalny uprawiany przez kilka komputerów i ich właścicieli. W ubiegłym roku padła bariera dwu bilionów cyfr. Czy ma to jakiś głębszy sens poza „treningiem” komputerów?

W przypadku nieskończonych ułamków dziesiętnych liczb wymiernych nieskończoność jest „oswojona” – wszystkie ułamki są okresowe, czyli bez końca powtarza się w nich jakaś grupa cyfr. Okres może być dowolnie długi, ale skończony, więc liczba jest zawsze „pod kontrolą”. Natomiast wobec rozwinięcia dziesiętnego √2 matematyka jest dotąd bezradna. Rozwinięcie podajemy, urywając ułamek w jakimś miejscu, na przykład:

√2 = 1,414213562373095048801688724209698…

Nie sposób przewidzieć dalszego ciągu, czyli powiedzieć cokolwiek o układzie cyfr zastąpionym wielokropkiem. Dotyczy to oczywiście wszystkich pierwiastków niewymiernych, ale √2 jest jakby ich królem jako jedna z trzech, obok π i e, najbardziej znanych liczb niewymiernych. Z jednej strony ciąg cyfr wygląda na losowy, z drugiej wiadomo, że każda następna cyfra nie jest dziełem przypadku. Nie wiemy, czy różne cyfry występują równie często (jest taka hipoteza) albo czy jakieś układy cyfr pojawiają się częściej niż inne lub wcale nie występują. Zagadkowość ciągu jest bodźcem do analizowania go, szukania jakichś metod w szaleństwie cyfr – podobnie jak w przypadku ciągu liczb pierwszych. Niewykluczone, że odkrycie jakiejś „reguły” będzie miało istotne znaczenie dla innych zagadnień matematycznych albo nawet znajdzie praktyczne zastosowanie.

Ciekawa własność √2 wiąże się z tzw. ciągiem Beatty’ego. Każdy n-ty wyraz tego ciągu równy jest części całkowitej liczby n√2 (n=1, 2, 3,…):

1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24…

Jeśli wyrazy te potraktujemy jak odjemniki i przed każdym dopiszemy odjemną, z których każda będzie kolejną cyfrą niewystępującą w tym ciągu:

3–1, 6–2, 10–4, 13–5, 17–7, 20–8, 23–9,…

to okaże się, że różnica zawsze jest równa 2n. Dlaczego tak się dzieje? To trudne pytanie. Poniższe zadania konkursowe są łatwiejsze.

 

1. Długość przekątnej kwadratu o boku równym n wyraża się liczbą niewymierną n√2. Zdarzają się jednak złudne „wyjątki”. Na przykład wymierna jest długość przekątnej na rys. 2. Nie ma wątpliwości, że to przekątna, tylko że nie… kwadratu, lecz jednego z wyjątkowych prostokątów, w których różnica długości boków równa jest jednostce. Długości boków i przekątnej tworzą trójkę pitagorejską liczb 4-cyfrowych. Jaką?

Rys. 2

2.  Z dziesięciu różnych cyfr należy utworzyć ułamek zwykły możliwie najbliższy √2. Rozwiązania z rozwinięciem dziesiętnym zgodnym z √2 do czwartej cyfry po przecinku uznawane będą za poprawne.

Dla liczby π przykładowym rozwiązaniem, w którym cztery cyfry po przecinku są właściwe, jest ułamek 62350/19847=3,1415…

 

3. W dziewięciu polach kwadratu 3×3 (rys. 3) należy rozmieścić dziewięć różnych cyfr – wszystkie oprócz 8 – tak, aby wędrując po tych polach ruchem króla szachowego i zapisując kolejno odwiedzane cyfry, można było utworzyć jak najdłuższe dziesiętne rozwinięcie √2.

Dla liczby π jest siedem rozwiązań, umożliwiających dotarcie do piętnastej cyfry po przecinku (3,141592653589793). Oto jedno z nich (cyfry w rzędach od góry): [1,3,7], [4,5,9], [6,2,8].

Rys. 3

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 września br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia. pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG09/13, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02-697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej dwóch zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Stephena Oppenheimera Pożegnanie z Afryką, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

 

Rozwiązanie zadań z numeru lipcowego:

1.            Niewidziane pola: a4, b1, c3, d6, e5, f2.

2.            Suma mocy siedmiu Światowidów, obserwujących osiem pól na przekątnej – 31 (lub 35, jeśli moc 4 Światowida, który obserwuje dwa pola, policzyć dwukrotnie).

3.            A = 7, B = 5, C = 1, D = 4, E = 2, F = 6, G = 3.

4.            8 zezujących bóstw o łącznej mocy 26.

Za poprawne rozwiązanie przynajmniej trzech zadań nagrodę, książkę Franka Close’a Zagadka nieskończoności, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media, otrzymują: Lech Barski ze Szczecina, Rafał Masełek z Nowej Sarzyny, Anna Nowosławska z Lubina, Ewelina Pluta z Tych, Amadeusz Putzlacher z Polic.