nauki ścisłe
Autor: Marek Penszko | dodano: 2013-06-24
Krótkowzroczne Światowidy

Poznajmy łamigłówkę, która w Japonii dorównała popularnością sudoku

Światowid ma cztery oblicza, a więc i cztery pary oczu, z których każda zwrócona jest w inną stronę świata. Ustawiony na polu siatki kwadratowej widział wszystkie pola w rzędzie i kolumnie, na których przecięciu stał. Niestety, to już przeszłość, bo z wiekiem – a właściwie z wiekami, których przecież liczy sobie kilkanaście – popsuł mu się wzrok. Dziś w każdym z czterech kierunków sięga wzrokiem zaledwie kilku pól.

Każdemu Światowidowi można przypisać cztery liczby. Pierwsza oznacza zasięg (liczbę widzianych pól) wzroku zwróconego na północ, druga – na wschód, trzecia – na południe, czwarta – na zachód. Przykładowym N-E-S-W Światowida może więc być kwartet 1–0-2–3 (rys. 1). Zero oznacza wzrok tak słaby, że nie sięga nawet jednego pola, czyli w tym przykładzie bóstwo w ogóle nie widzi, co się dzieje nawet na najbliższym wschodzie. Liczba na rysunku oznacza moc Światowida (M), która równa jest sumie zasięgów widzenia we wszystkich kierunkach.

 

 

Rys. 1

 

Gdybyśmy znali tylko M, to bez dodatkowych informacji nie sposób byłoby odtworzyć konkretnego pełnego N-E-S-W (poza przypadkiem M=0). Dla M=1 możliwości są cztery: 1–0-0–0, 0–1-0–0, 0–0-1–0, 0–0-0–1. Dla większych M ustalenie LM, czyli liczby możliwych N-E-S-W, wymaga trochę liczenia.

Załóżmy, że M=6. Najpierw rozkładamy moc na czteroskładnikowe partycje (zbiory czterech liczb o sumie równej 6), uwzględniając zero: (6,0,0,0), (5,1,0,0), (4,2,0,0), (3,3,0,0), (4,1,1,0), (3,2,1,0), (2,2,2,0), (3,1,1,1), (2,2,1,1). Ponieważ każda liczba może odpowiadać jednemu z czterech kierunków, więc należy policzyć permutacje (poza jedną wszystkie są z powtórzeniami) dla każdej z dziewięciu partycji; wynoszą one kolejno: 4, 12, 12, 6, 12, 24, 4, 4, 6. Ich suma, czyli L6, równa jest 84.

 

 

Rys. 2

 

Jeśli policzymy LM dla kolejnych M, zaczynając od zera, to otrzymamy ciąg: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140,… Zaskakujące może się wydać to, że ciąg ten znany jest w matematyce jako dotyczący zagadnienia, które z opisywanym nie ma nic wspólnego – jest to ciąg liczb czworościennych Tn. Każda taka liczba oznacza, iloma kulami o jednakowej średnicy można szczelnie wypełnić czworościan foremny, w którym wzdłuż każdej jego krawędzi znajdzie się n kul. Ciąg określony jest wzorem Tn=n×(n+1)×(n+2)/6. Na rys. 2 znajduje się czworościan wypełniony 84 kulami, co odpowiada n=7, a więc ciągi LM i Tn są tylko nieco „przesunięte” względem siebie, tzn. LM=Tn dla M=n–1. Jak wyjaśnić pokrewieństwo między liczbą kul w czworościanie a możliwymi N-E-S-W Światowida o określonej mocy – oto zagadka; wbrew pozorom nietrudna, warto spróbować ją rozwiązać.

Określenie konkretnego N-E-S-W Światowida o znanej mocy M będzie trywialne po ograniczeniu jego świata do prostokątnego diagramu o takich wymiarach a×b kratek, aby M=a+b–2, oraz po umieszczeniu go na takim polu diagramu, aby jego moc była w pełni wykorzystana, czyli aby M było równe liczbie widzianych pól. W takim przypadku liczby tworzące N-E-S-W będą oczywiście równe odległościom do brzegów diagramu, jak w przykładzie na rys. 3. Stąd już tylko krok do łamigłówki, która podbiła Japonię na początku lat 90. i była tam równie popularna jak sudoku. Zwano ją uorurojikku, co znaczy ścianki logiczne; w innych krajach pojawiała się pod różnymi nazwami (cztery wiatry, sieć promieni, macki, kiełki i inne). Pozostaniemy przy Światowidach.

 Rys. 3

 

Istota łamigłówki jest prosta. Na diagramie stoi przynajmniej kilka bóstw o znanej mocy; należy oznaczyć N-E-S-W każdego z nich, rysując linie widzenia o odpowiedniej długości – tak, aby wszystkie wolne pola były obserwowane.

Cechą charakterystyczną Światowidów jest to, że suma mocy zawsze równa się liczbie wolnych pól. Stąd wynikają dwa wnioski, z których korzysta się przy rozwiązywaniu:

– każde pole może widzieć tylko jeden Światowid; inaczej mówiąc, rysowane linie nie mogą się stykać,

– żaden Światowid nie sięga wzrokiem innego.

 

               Rys.4a                                                  Rys. 4b                                       Rys. 4c

 

Logika Światowidów jest elegancka, klarowna i dość urozmaicona. Podstawę stanowią dwie proste metody „strategiczne”, zilustrowane na przykładowym zadaniu (rys. 4a) liniami, od których poprowadzenia można zacząć rozwiązywanie: sięgnąć wzrokiem określonych pól musi tylko jeden konkretny Światowid wówczas, gdy:

– (a) moc żadnego innego nie jest wystarczająca, aby dane pole zobaczyć;

– (b) nie sięgając, nie wykorzystałby w pełni swojej mocy.

Zadanie na rys. 4a jest proste, więc korzystanie z tych dwu metod wystarcza, aby się z nim uporać (rys. 4b).

Sąsiednia łamigłówka (rys. 4c) należy do trudniejszych – takich, w których korzysta się także z metody nie wprost, zakładając, że jakaś linia sięgnie danego pola – a to prowadzi do sprzeczności. Sprzeczność zwykle polega na tym, że poprowadzone linie odcinają obszar, w którym moc Światowidów nie jest równa liczbie wolnych pól. Wówczas albo jakieś pole będzie niewidziane, albo jakaś moc nie zostanie wykorzystana całkowicie.

 

 

                                 Rys.5a                                                                     Rys. 5b           

 

Rozwiązywanie przypomina więc stopniowe opanowywanie (wzrokiem) fragmentu płaszczyzny. Do każdego pola może i powinno dotrzeć spojrzenie z jednego z czterech kierunków, zatem w każdym rzędzie lub w każdej kolumnie musi znajdować się przynajmniej jeden Światowid. Co istotne, opanowywanie płaszczyzny jest bezkonfliktowe, czyli spojrzenia nie wchodzą sobie w paradę, więc rozwiązanie z rys. 4b można by przedstawić także w innej formie – oznaczając granice zasięgów wzroku (rys. 5a). Rysowanie tych granic w trakcie rozwiązywania jest oczywiście niepraktyczne, bo łatwiej przedłużać linie, niż przesuwać granice. Warto jednak zwrócić uwagę na bezkonfliktowość spojrzeń i zastanowić się nad zmianami, które spowodowałoby złagodzenie reguł, czyli pozwolenie na „rozsądne konflikty”. Przed laty autorzy zadań poszli tym tropem, wymyślając łamigłówkę, której przykład przedstawiony jest na rys. 5b. Rozwiązanie tego przykładu (rozmieszczenie granic) wygląda dokładnie tak, jak na rys. 5a. Zasad zabawy nietrudno się z rozwiązania domyślić: każda liczba oznacza, ile pól widać z pola, w którym dana liczba się znajduje; należy oznaczyć linie, ograniczające zasięgi widzenia. Na rys. 5b jest duży nadmiar informacji – liczby są we wszystkich polach; wiele z nich można by usunąć tak, aby nadal było tylko jedno rozwiązanie. Taka ograniczona porcja liczb znajduje się na diagramie innego, dość trudnego zadania (rys. 6). Przy jego rozwiązywaniu trzeba pamiętać o dwóch dodatkowych warunkach:

 

 Rys. 6

– oznaczane granice nie mogą dzielić diagramu na części.

– nie wszystkie pola muszą być „widziane” przez cyfry.

Wracając do klasycznych Światowidów, można jeszcze wspomnieć o pewnej szczególnej, jakby podstępnej metodzie rozwiązywania zwanej uni (skrót od „unikalna”) stosowanej do niektórych rodzajów łamigłówek diagramowych. Opiera się ona na założeniu, że rozwiązanie jest jedno, bo tak być powinno. Jak można z tego skorzystać w konkretnym przypadku, pokazuje przykład na rys. 7. Dwa Światowidy znajdują się w rogu diagramu. Gdyby ten o mocy 2 widział pole A lub B, to drugi także sięgnąłby A lub B, ale wtedy możliwe byłyby dwa rozwiązania. Stąd wniosek, że „dwójka” nie widzi ani A, ani B, więc jedno z tych pól przypadnie „jedynce”, a drugiego sięgnie jakiś trzeci Światowid.

 

 Rys. 7

 

Dróg do celu jest niemało, a urok rozwiązywania polega na samodzielnym ich odkrywaniu. Takie możliwości stwarza zadanie z mistrzostw Polski w rozwiązywaniu zadań logicznych (rys. 8). To dobry trening przed zmaganiem się z czterema łamigłówkami konkursowymi. Wszystkie są odmianami Światowidów.

 

Rys. 8

 

1        (rys. 9). W każdym rzędzie i w każdej kolumnie jest jedno i tylko jedno pole, którego nie widzi żaden Światowid. W rozwiązaniu wystarczy podać współrzędne niewidzianych pól.

 

 

Rys. 9

 

2        (rys. 10). Żadna moc nie jest podana poprawnie. Każda różni się od właściwej o jeden. W rozwiązaniu wystarczy podać sumę prawdziwych mocy Światowidów, obserwujących osiem pól na przekątnej łączącej lewy górny róg z prawym dolnym.

 

 Rys. 10

3        (rys. 11). Moce, czyli liczby, zastąpione są literami. Takim samym liczbom odpowiadają jednakowe litery, a różnym – różne. Ponadto wiadomo, że od Światowidów o takiej samej mocy wychodzą różne liczby linii widzenia (stąd wniosek, że taka sama moc nie pojawia się więcej niż czterokrotnie, a np. M=1 może występować tylko raz). W rozwiązaniu wystarczy podać wartości poszczególnych liter – od A do G.

 

Rys. 11

 

4        (rys. 12). Część Światowidów – ale nie jest podane, które konkretnie – ma zeza i patrzy w strony pośrednie między głównymi. Linie widzenia wychodzą więc od nich tylko na ukos w kierunkach północno-wschodnim, południowo-wschodnim, południowo-zachodnim i północno-zachodnim. Linii tych dotyczą te same zasady, co w przypadku pozostałych Światowidów, a ponadto nie mogą się one przecinać. W rozwiązaniu wystarczy podać liczbę i sumę mocy zezujących bóstw.

 

Rys. 12

 

 

Rozwiązania prosimy nadsyłać  do 31 lipca br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło  UG07/13, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej trzech zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Franka Close'a Zagadka nieskończoności, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

Więcej w miesięczniku „Świat Nauki" nr 07/2013 »
Drukuj »
Ten artykuł nie został jeszcze skomentowany.
Aktualne numery
11/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
22
W 1904 r. urodził się Louis Néel, francuski fizyk, laureat Nagrody Nobla.
Warto przeczytać
Czy znasz powiedzenie że matematykowi do pracy wystarczy kartka, ołówek i kosz na śmieci? To nieprawda! Pasjonującą, efektowną i praktyczną matematykę poznaje się dopiero w laboratorium.

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Marek Penszko | dodano: 2013-06-24
Krótkowzroczne Światowidy

Poznajmy łamigłówkę, która w Japonii dorównała popularnością sudoku

Światowid ma cztery oblicza, a więc i cztery pary oczu, z których każda zwrócona jest w inną stronę świata. Ustawiony na polu siatki kwadratowej widział wszystkie pola w rzędzie i kolumnie, na których przecięciu stał. Niestety, to już przeszłość, bo z wiekiem – a właściwie z wiekami, których przecież liczy sobie kilkanaście – popsuł mu się wzrok. Dziś w każdym z czterech kierunków sięga wzrokiem zaledwie kilku pól.

Każdemu Światowidowi można przypisać cztery liczby. Pierwsza oznacza zasięg (liczbę widzianych pól) wzroku zwróconego na północ, druga – na wschód, trzecia – na południe, czwarta – na zachód. Przykładowym N-E-S-W Światowida może więc być kwartet 1–0-2–3 (rys. 1). Zero oznacza wzrok tak słaby, że nie sięga nawet jednego pola, czyli w tym przykładzie bóstwo w ogóle nie widzi, co się dzieje nawet na najbliższym wschodzie. Liczba na rysunku oznacza moc Światowida (M), która równa jest sumie zasięgów widzenia we wszystkich kierunkach.

 

 

Rys. 1

 

Gdybyśmy znali tylko M, to bez dodatkowych informacji nie sposób byłoby odtworzyć konkretnego pełnego N-E-S-W (poza przypadkiem M=0). Dla M=1 możliwości są cztery: 1–0-0–0, 0–1-0–0, 0–0-1–0, 0–0-0–1. Dla większych M ustalenie LM, czyli liczby możliwych N-E-S-W, wymaga trochę liczenia.

Załóżmy, że M=6. Najpierw rozkładamy moc na czteroskładnikowe partycje (zbiory czterech liczb o sumie równej 6), uwzględniając zero: (6,0,0,0), (5,1,0,0), (4,2,0,0), (3,3,0,0), (4,1,1,0), (3,2,1,0), (2,2,2,0), (3,1,1,1), (2,2,1,1). Ponieważ każda liczba może odpowiadać jednemu z czterech kierunków, więc należy policzyć permutacje (poza jedną wszystkie są z powtórzeniami) dla każdej z dziewięciu partycji; wynoszą one kolejno: 4, 12, 12, 6, 12, 24, 4, 4, 6. Ich suma, czyli L6, równa jest 84.

 

 

Rys. 2

 

Jeśli policzymy LM dla kolejnych M, zaczynając od zera, to otrzymamy ciąg: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140,… Zaskakujące może się wydać to, że ciąg ten znany jest w matematyce jako dotyczący zagadnienia, które z opisywanym nie ma nic wspólnego – jest to ciąg liczb czworościennych Tn. Każda taka liczba oznacza, iloma kulami o jednakowej średnicy można szczelnie wypełnić czworościan foremny, w którym wzdłuż każdej jego krawędzi znajdzie się n kul. Ciąg określony jest wzorem Tn=n×(n+1)×(n+2)/6. Na rys. 2 znajduje się czworościan wypełniony 84 kulami, co odpowiada n=7, a więc ciągi LM i Tn są tylko nieco „przesunięte” względem siebie, tzn. LM=Tn dla M=n–1. Jak wyjaśnić pokrewieństwo między liczbą kul w czworościanie a możliwymi N-E-S-W Światowida o określonej mocy – oto zagadka; wbrew pozorom nietrudna, warto spróbować ją rozwiązać.

Określenie konkretnego N-E-S-W Światowida o znanej mocy M będzie trywialne po ograniczeniu jego świata do prostokątnego diagramu o takich wymiarach a×b kratek, aby M=a+b–2, oraz po umieszczeniu go na takim polu diagramu, aby jego moc była w pełni wykorzystana, czyli aby M było równe liczbie widzianych pól. W takim przypadku liczby tworzące N-E-S-W będą oczywiście równe odległościom do brzegów diagramu, jak w przykładzie na rys. 3. Stąd już tylko krok do łamigłówki, która podbiła Japonię na początku lat 90. i była tam równie popularna jak sudoku. Zwano ją uorurojikku, co znaczy ścianki logiczne; w innych krajach pojawiała się pod różnymi nazwami (cztery wiatry, sieć promieni, macki, kiełki i inne). Pozostaniemy przy Światowidach.

 Rys. 3

 

Istota łamigłówki jest prosta. Na diagramie stoi przynajmniej kilka bóstw o znanej mocy; należy oznaczyć N-E-S-W każdego z nich, rysując linie widzenia o odpowiedniej długości – tak, aby wszystkie wolne pola były obserwowane.

Cechą charakterystyczną Światowidów jest to, że suma mocy zawsze równa się liczbie wolnych pól. Stąd wynikają dwa wnioski, z których korzysta się przy rozwiązywaniu:

– każde pole może widzieć tylko jeden Światowid; inaczej mówiąc, rysowane linie nie mogą się stykać,

– żaden Światowid nie sięga wzrokiem innego.

 

               Rys.4a                                                  Rys. 4b                                       Rys. 4c

 

Logika Światowidów jest elegancka, klarowna i dość urozmaicona. Podstawę stanowią dwie proste metody „strategiczne”, zilustrowane na przykładowym zadaniu (rys. 4a) liniami, od których poprowadzenia można zacząć rozwiązywanie: sięgnąć wzrokiem określonych pól musi tylko jeden konkretny Światowid wówczas, gdy:

– (a) moc żadnego innego nie jest wystarczająca, aby dane pole zobaczyć;

– (b) nie sięgając, nie wykorzystałby w pełni swojej mocy.

Zadanie na rys. 4a jest proste, więc korzystanie z tych dwu metod wystarcza, aby się z nim uporać (rys. 4b).

Sąsiednia łamigłówka (rys. 4c) należy do trudniejszych – takich, w których korzysta się także z metody nie wprost, zakładając, że jakaś linia sięgnie danego pola – a to prowadzi do sprzeczności. Sprzeczność zwykle polega na tym, że poprowadzone linie odcinają obszar, w którym moc Światowidów nie jest równa liczbie wolnych pól. Wówczas albo jakieś pole będzie niewidziane, albo jakaś moc nie zostanie wykorzystana całkowicie.

 

 

                                 Rys.5a                                                                     Rys. 5b           

 

Rozwiązywanie przypomina więc stopniowe opanowywanie (wzrokiem) fragmentu płaszczyzny. Do każdego pola może i powinno dotrzeć spojrzenie z jednego z czterech kierunków, zatem w każdym rzędzie lub w każdej kolumnie musi znajdować się przynajmniej jeden Światowid. Co istotne, opanowywanie płaszczyzny jest bezkonfliktowe, czyli spojrzenia nie wchodzą sobie w paradę, więc rozwiązanie z rys. 4b można by przedstawić także w innej formie – oznaczając granice zasięgów wzroku (rys. 5a). Rysowanie tych granic w trakcie rozwiązywania jest oczywiście niepraktyczne, bo łatwiej przedłużać linie, niż przesuwać granice. Warto jednak zwrócić uwagę na bezkonfliktowość spojrzeń i zastanowić się nad zmianami, które spowodowałoby złagodzenie reguł, czyli pozwolenie na „rozsądne konflikty”. Przed laty autorzy zadań poszli tym tropem, wymyślając łamigłówkę, której przykład przedstawiony jest na rys. 5b. Rozwiązanie tego przykładu (rozmieszczenie granic) wygląda dokładnie tak, jak na rys. 5a. Zasad zabawy nietrudno się z rozwiązania domyślić: każda liczba oznacza, ile pól widać z pola, w którym dana liczba się znajduje; należy oznaczyć linie, ograniczające zasięgi widzenia. Na rys. 5b jest duży nadmiar informacji – liczby są we wszystkich polach; wiele z nich można by usunąć tak, aby nadal było tylko jedno rozwiązanie. Taka ograniczona porcja liczb znajduje się na diagramie innego, dość trudnego zadania (rys. 6). Przy jego rozwiązywaniu trzeba pamiętać o dwóch dodatkowych warunkach:

 

 Rys. 6

– oznaczane granice nie mogą dzielić diagramu na części.

– nie wszystkie pola muszą być „widziane” przez cyfry.

Wracając do klasycznych Światowidów, można jeszcze wspomnieć o pewnej szczególnej, jakby podstępnej metodzie rozwiązywania zwanej uni (skrót od „unikalna”) stosowanej do niektórych rodzajów łamigłówek diagramowych. Opiera się ona na założeniu, że rozwiązanie jest jedno, bo tak być powinno. Jak można z tego skorzystać w konkretnym przypadku, pokazuje przykład na rys. 7. Dwa Światowidy znajdują się w rogu diagramu. Gdyby ten o mocy 2 widział pole A lub B, to drugi także sięgnąłby A lub B, ale wtedy możliwe byłyby dwa rozwiązania. Stąd wniosek, że „dwójka” nie widzi ani A, ani B, więc jedno z tych pól przypadnie „jedynce”, a drugiego sięgnie jakiś trzeci Światowid.

 

 Rys. 7

 

Dróg do celu jest niemało, a urok rozwiązywania polega na samodzielnym ich odkrywaniu. Takie możliwości stwarza zadanie z mistrzostw Polski w rozwiązywaniu zadań logicznych (rys. 8). To dobry trening przed zmaganiem się z czterema łamigłówkami konkursowymi. Wszystkie są odmianami Światowidów.

 

Rys. 8

 

1        (rys. 9). W każdym rzędzie i w każdej kolumnie jest jedno i tylko jedno pole, którego nie widzi żaden Światowid. W rozwiązaniu wystarczy podać współrzędne niewidzianych pól.

 

 

Rys. 9

 

2        (rys. 10). Żadna moc nie jest podana poprawnie. Każda różni się od właściwej o jeden. W rozwiązaniu wystarczy podać sumę prawdziwych mocy Światowidów, obserwujących osiem pól na przekątnej łączącej lewy górny róg z prawym dolnym.

 

 Rys. 10

3        (rys. 11). Moce, czyli liczby, zastąpione są literami. Takim samym liczbom odpowiadają jednakowe litery, a różnym – różne. Ponadto wiadomo, że od Światowidów o takiej samej mocy wychodzą różne liczby linii widzenia (stąd wniosek, że taka sama moc nie pojawia się więcej niż czterokrotnie, a np. M=1 może występować tylko raz). W rozwiązaniu wystarczy podać wartości poszczególnych liter – od A do G.

 

Rys. 11

 

4        (rys. 12). Część Światowidów – ale nie jest podane, które konkretnie – ma zeza i patrzy w strony pośrednie między głównymi. Linie widzenia wychodzą więc od nich tylko na ukos w kierunkach północno-wschodnim, południowo-wschodnim, południowo-zachodnim i północno-zachodnim. Linii tych dotyczą te same zasady, co w przypadku pozostałych Światowidów, a ponadto nie mogą się one przecinać. W rozwiązaniu wystarczy podać liczbę i sumę mocy zezujących bóstw.

 

Rys. 12

 

 

Rozwiązania prosimy nadsyłać  do 31 lipca br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło  UG07/13, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej trzech zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Franka Close'a Zagadka nieskończoności, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.