nauki ścisłe
Autor: Marek Penszko | dodano: 2013-05-21
Zbawca Narodu – reaktywacja

Co poeta miał na myśli?

Trudno znaleźć w literaturze liczbę, której symboliczne użycie wywołało równie duży oddźwięk, co 44 w III części Dziadów Adama Mickiewicza. Zadecydowała o tym jej zagadkowość jako imienia bliżej nieokreślonego Zbawcy Narodu, którego opis pojawia się w Widzeniu księdza Piotra i kończy tajemniczym wersem: A imię jego czterdzieści i cztery.

Mickiewicza często pytano, kogo ukrył pod liczebnikiem. Znane są trzy różne odpowiedzi. Z dwóch wynika, że 44 to albo sam autor albo mesjanista Andrzej Towiański; trzecia jest wymijająca – „Kiedy pisałem, wiedziałem. Teraz już nie wiem”. Trudno się temu dziwić, skoro – zdaniem profesora Wacława Kubackiego – „jednoznaczne wyjaśnienie spłyciłoby wartość literacką utworu, bowiem sens artystyczny tego symbolu wymaga, aby pozostał on nierozwiązany”.

Jednak ani to stwierdzenie, ani fragment wspomnień Seweryna Goszczyńskiego, przyjaciela poety („położył liczbę 44, nie wiedząc, dlaczego tę, a nie inną, bo mu się sama nastręczała w chwili natchnienia”), nie zniechęciły do szukania rozwiązań. Przeciwnie, już w XIX wieku pojawiło się ich tak wiele, że wszystkie złożyły się na książkę (Stanisław Ptaszyński, Mąż czterdzieści i cztery…, 1895). Dziś mickiewiczolodzy nie mają wątpliwości, że symbolika 44 wiąże się z mistyką. Twórczość Louis-Claude'a de Saint-Martina, francuskiego filozofa, którym Mickiewicz był zafascynowany, jest pełna znaczeń różnych liczb, także 40 i 4. Najbardziej przekonujące w kontekście Widzenia to – zdaniem profesora Wiktora Weintrauba – 40 jako liczba „dzieła o wielkiej duchowej doniosłości, dzieła odkupienia, wyzwolenia, pogodzenia”, oraz 4 jako „symbol człowieka spełniającego funkcję pośrednika między Bogiem a światem”. Połączenie obu idealnie odpowiada imieniu Zbawcy. Równie prawdopodobna jest interpretacja profesora Juliusza Kleinera, związana ze stosowanymi w kabale zasadami „przekładu” liter na liczby: D = 4, M = 40, samogłoski są pomijane; stąd ADAM = 44. Jest w tym wprawdzie drobna nieścisłość, ale z drugiej strony znany jest polski dokument z połowy XVIII wieku, w którym imię Adam zastąpiono liczbą 44.

Jakkolwiek by było, od mistyki liczb do matematyki droga krótka (przed wiekami wiedza ezoteryczna i królowa nauk były ze sobą silnie splecione). Odwiedzimy kilka działów teorii liczb, gdzie 44 występuje jako liczba wyróżniająca się lub ujawniająca szczególne własności – takie, które z zagadką literacką nie mają nic wspólnego, ale mogą być przyczynkiem do poznania lub przypomnienia ciekawych zagadnień matematycznych.

 

 

Rys. 1

 

To, że 44 tworzą jednakowe cyfry, stanowi już samo w sobie cechę wyróżniającą. Wprawdzie w zbiorze liczb naturalnych to słabe wyróżnienie, bo liczb „wielojednocyfrowych” jest sporo, ale w podzbiorze może decydować o unikatowości – jak choćby w przypadku liczb wielościennych. Liczby te oznaczają, iloma kulami o jednakowej średnicy można szczelnie (bez luzu) wypełnić wielościan foremny. Takich wielościanów znamy pięć (czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan, dwudziestościan), więc tyle samo jest rodzajów liczb wielościennych (najpopularniejsze są sześcienne, czyli trzecie potęgi – 1, 8, 27, 64,…). Wśród nich gości także 44 jako czwarta liczba ośmiościenna – z tylu jednakowych kul można zbudować ośmiościan foremny (rys. 1). 44 jest w tym gronie unikatem – jedyną liczbą wielościenną złożoną z jednakowych cyfr, jeśli pominąć jednocyfrowe (1, 4, 6, 8).

 

* * *

Potęgi liczb naturalnych (zero pomijamy) tworzą ciąg: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128,… Jeśli wypiszemy różnice między kolejnymi potęgami, to powstanie osobliwy „chaotyczny” ciąg: 3, 4, 1, 7, 9, 2, 5, 4, 13, 15, 17, 19, 21, 4, 3,… Jego niezwykłość wiąże się z tzw. hipotezą Pillai (indyjski matematyk, żyjący w latach 1901–1950), z której wynika, że każda liczba pojawia się w ciągu różnic skończoną liczbę razy. Konkretnie: 1 występuje raz (różnica między 8 i 9), 2 także raz (różnica 25 i 27), 3 – dwa razy (różnice między 1 a 4 oraz 125 i 128) itd. Natomiast 44 w ogóle w tym ciągu nie ma. Takich nieobecnych liczb jest jednak wiele, więc trudno uznać to za szczególną własność. Ponadto nieobecność jest domniemana, bo wynika z hipotezy, której prawdziwość potwierdzają wyłącznie obliczenia komputerowe (sprawdzono ciąg różnic potęg do 1021). Znany jest tylko dowód (twierdzenie Mihăilescu), że 8 i 9 to jedyna para kolejnych liczb naturalnych, które są równocześnie kolejnymi wyrazami w ciągu potęg (jeśli pominąć 0 i 1).

 

Osobliwość związana z 44 pojawi się, jeśli wyrazy w ciągu różnic zmniejszymy o jeden: 2, 3, 0, 6, 8, 1, 4, 3, 12, 14, 16, 18, 20, 3, 2,… Teraz każdy wyraz określa, ile liczb występuje między kolejnymi potęgami: dwie między 1 a 4, trzy między 4 a 8, brak liczby między 8 a 9 itd. Dokładnie 44 liczby pojawiają się między dwiema kolejnymi potęgami tylko raz. Ta unikatowość nie jest jeszcze niczym szczególnym, natomiast osobliwe są wartości skrajnych potęg: 9216 i 9261. Obie składają się z takich samych cyfr. Ale to nie wszystko. Te same cyfry tworzą także podstawy obu potęg: 962 i 213. W sumie to istny „cud czterech cyfr”. Para potrójnie unikalna. Drugiej takiej nie ma, co dodaje niezwykłości „eskortowanym” przez nią 44 liczbom.

* * *

Liczby pierwsze, między którymi różnica wynosi 2, zwane są bliźniaczymi. Korowód zaczynają pary: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19, 29 i 31,… Suma liczb w trzech pierwszych parach równa jest 44.

Para liczb takich, że suma dzielników właściwych każdej z nich równa jest drugiej liczbie, to liczby zaprzyjaźnione. Takie duety to białe kruki. Pierwszy tworzą 220 i 284, ponieważ suma dzielników 220 (1+2+5+10+11+20+22+44+55+110) równa jest 284, a suma dzielników 284 (1+2+4+71+142) to 220. Jak widać, na początku także pojawia się 44, jako jeden z dzielników najmniejszej z przyjaciółek.

Pary bliźniacze i zaprzyjaźnione to klasyka – znane były już starożytnym, a dziś poznają je uczniowie podstawówki. O innych rodzajach par liczbowych mało kto słyszał. Jest wśród nich również taki, który obejmuje liczbę 44 idącą w pierwszej parze. Chodzi o tzw. pary flirtujące. Flirt polega na tym, że iloczyn cyfr tworzących każdą liczbę jest taki sam i równy różnicy między liczbami. Pierwsza para – jedyna dwucyfrowa – to 28 i 44. Kolejna para jest trywialna, czyli powstaje przez dopisanie jedynki przed liczbami pierwszej pary – 128 i 144 (dopisując równoliczne grupy jedynek przed każdą liczbą, można tworzyć nieskończenie wiele par). Nietrywialnych par trzycyfrowych jest czternaście, w większości anagramowych, czyli jedna liczba w parze różni się od drugiej tylko kolejnością cyfr, np. 239 i 293, 497 i 749, 819 i 891; nieanagramowe nietrywialne są cztery: 214 i 222, 266 i 338, 318 i 342, 494 i 638.

 * * *

W roku 1945 Arthur Porges, przyszły amerykański pisarz science-fiction (z wykształcenia matematyk), opublikował artykuł na temat rezultatów pewnej operacji na liczbach naturalnych. Chodziło o wielokrotne sumowanie kwadratów wszystkich cyfr danej liczby – najpierw dowolnej, następnie otrzymanej sumy i dalej każdej kolejnej tworzonej sumy. Na przykład:

33→32+32=18→12+82=65→62+52=61→62+12=37→32+72=
58→52+82=89→82+92=145→12+42+52=42→42+22=20→22+02=4→42=16→12+62=37→…

A gdy pierwszą liczbą będzie 44:

44→42+42=32→32+22=13→12+32=10→12+02=1.

Takie powtarzanie tej samej czynności zwane jest w informatyce iteracją. Okazuje się, że od jakiejkolwiek liczby byśmy nie zaczęli, możemy spodziewać się alternatywnego zakończenia. Albo, jak w przypadku 33, wpadniemy w cykl  …→4→16→37→58→89→145→42→20 →4→…, albo, jak przy 44, skończymy jednością. Liczby, które „owocują” jedynką, zwane są wesołymi. Jest ich sporo, na przykład aż 142 mniejsze od 1000. Jednak takie, które składają się z jednakowych cyfr, to rarytasy – do miliona jest zaledwie sześć, wśród nich mickiewiczowska: 1, 7, 44, 888, 5555, 88888.

* * *

Jaka liczba ma następującą własność: jeśli odejmiemy od niej sumę jej cyfr, otrzymamy kwadrat, a jeżeli dodamy sumę cyfr, także powstanie kwadrat? Łatwo ustalić, że możliwości są trzy – 2, 8, 17. Nic poza tym, bo różnica między kwadratami szybko staje się większa od podwojonej sumy cyfr, a powinna być jej równa.

44 należy do liczb o podobnej własności: po odjęciu sumy cyfr powstaje kwadrat (36), a po dodaniu – 52, czyli anakwadrat (odwrócony kwadrat). Takie kwadratowo-anakwadratowe liczby to białe kruki – do miliona jest ich trzynaście: 2, 5, 9, 41, 44, 593, 1782, 4788, 9233, 10412, 46683, 69725, 142902. Niektóre, np. 593, są „podstępne”, ponieważ odpowiadający im anakwadrat zaczyna się zerem lub zerami, które oczywiście przestają być znaczące. Pierwsza takiego figla płata liczba 593, bo 593+17=610, czyli wspak 016.

* * *

Ile jest „nieporządnych” sposobów rozmieszczenia pięciu biegaczy na pięciu torach? Gdyby sposoby były zwykłe, czyli „porządne”, należałoby skorzystać ze znanego ze szkoły wzoru na liczbę permutacji n elementów, czyli n silnia (n!); dla n=5 n!=120. W „nieporządnym” sposobie, zwanym w kombinatoryce po prostu „nieporządkiem”, uwzględnia się tzw. punkty stałe. Jeśli biegaczy oznaczymy literami i wybierzemy jakieś ustawienie całej piątki na torach, np. ABCDE, licząc od pierwszego toru, to punktami stałymi będą pozycje poszczególnych liter w wybranym ustawieniu: A na pierwszym torze, B na drugim, C na trzecim itd. Nieporządkiem jest każda permutacja bez punktów stałych, czyli taka, w której żadna litera nie znajduje się na takim miejscu jak w ustawieniu ABCDE. Ze 120 permutacji należy więc usunąć wszystkie z punktami stałymi. Można to zrobić „mechanicznie” lub matematycznie, korzystając ze wzoru na liczbę nieporządków n elementów zwaną podsilnią i oznaczaną symbolem !n:

!n=n![1–1/1!+1/2!–1/3!+…+(–1)n/n!]

Dla n=5 podsilnia równa jest 44.

Liczby nieporządków zwane są także liczbami de Montmorta – od nazwiska matematyka francuskiego, który badał je jako pierwszy na początku XVIII wieku Do miliarda jest ich tylko tuzin. 44 zasługuje na wyróżnienie także jako jedyna w tym gronie liczba dwucyfrowa.

* * *

Hipoteza Goldbacha – każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych – brzmi wyjątkowo zwięźle, zrozumiale i… kusząco. Nic dziwnego, że próbowało jej dowieść wielu matematyków, w tym liczni amatorzy. Nikomu się nie udało. Nie pomogła nawet okazjonalna nagroda – milion dolarów czekał do 2002 roku.

44 jest jedną z jedenastu liczb, spełniających hipotezę Goldbacha na trzy sposoby, czyli można ją przedstawić jako sumę trzech różnych par liczb pierwszych: 3+41, 7+37 i 13+31. Z ostatniej pary wynika szczególna cecha 44 – to najmniejsza suma takich dwóch liczb pierwszych, z których jedna jest odwróceniem drugiej. Kolejnymi liczbami o tej własności są: 88 (17+71), 110 (37+73), 176 (79+97), 424 (113+311), 808 (107+701),…

* * *

Prostopadłościan zwany jest cegiełką Eulera, jeśli długości jego krawędzi i przekątne ścian wyrażają się liczbami całkowitymi. „Wypalanie” takich cegiełek polega na rozwiązywaniu układu trzech równań diofantycznych, z których każde jest trójką pitagorejską:

a2 + b2 = d2

a2 + c2 = e2

b2 + c2 = f2

 

Rys. 2

 

Cegiełki są olbrzymie, a najmniejszy wymiar najmniejszej z nich, znanej od roku 1719, równy jest 44 (rys. 2). Wszystkie jej wymiary: 44×117×240; przekątne ścian – 125, 244 i 267.

Od dawna trwają poszukiwania tzw. doskonałej cegiełki, w której liczbą całkowitą byłaby także długość przekątnej prostopadłościanu. Układ trzech równań należy więc uzupełnić czwartym:

a2 + b2 + c2 = g2

Doskonała cegiełka, gdyby istniała, byłaby gigantem – jej najmniejszy wymiar przekraczałby 447.

* * *

Podzielmy zbiór liczb naturalnych od 1 do 13 na trzy podzbiory w następujący sposób: {1, 4, 10, 13}, {2, 3, 11, 12}, {5, 6, 7, 8, 9}. Przy takim podziale każdy podzbiór ma szczególną własność: w żadnym nie ma liczby równej sumie dowolnej pary liczb lub dwukrotności dowolnej liczby z tego podzbioru. Liczb od 1 do 14 nie uda się już podzielić na trzy podzbiory o takiej własności – zawsze pojawi się podzbiór X z liczbą, która będzie sumą jakiejś pary liczb z podzbioru X lub dwukrotnością liczby z tego podzbioru.

Jeśli zbiór liczb naturalnych od 1 do n jest największym, który można podzielić na k podzbiorów, mających opisaną własność, to n nazywamy liczbą Schura – S(k). A zatem S(3)=13. Wiadomo też, że S(1)=1, a S(2)=4. Przed półwieczem ustalono wartość największej znanej liczby Schura – S(4)=44. O S(5) wiadomo tylko, że jest trzycyfrowa i zawarta między 160 a 315. Znalezienie jej stanowi bardzo trudny problem obliczeniowy.

Poniższe cztery zadania konkursowe są znacznie prostsze.

* * *

1.         Jeśli kwadrat kończy się dwiema jednakowymi cyframi, to może nimi być tylko para 00 lub 44. Liczby, których kwadraty kończą się dwiema czwórkami, tworzą ciąg: 12, 38, 62, 88, 112,… Proszę napisać jak najprostszy wzór na n-ty wyraz tego ciągu.

2.         Suma cyfr liczby A równa się 100; suma cyfr liczby B wynosi 800. Liczba B jest 44 razy większa niż A. Ile jedynek występuje w liczbie A, jeśli jest ona najmniejszą z możliwych?

3.         Proszę możliwie krótko udowodnić, że nie jest prawdą następujące stwierdzenie: „pole pewnego kwadratu wyraża się liczbą całkowitą, której suma cyfr równa jest 44”.

4.         W dyskotece zorganizowanej w remizie uczestniczyła ponad połowa z 44 młodych ludzi, mieszkających we wsi. Tańczono tylko parami i w trakcie całej zabawy każdy chłopiec obtańcowywał dokładnie cztery dziewczyny, a każda dziewczyna równo siedmiu chłopców. Ile osób było na dyskotece?

 

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 czerwca br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG06/13, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej trzech zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Kitty Ferguson Krótka historia Stephena Hawkinga, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.

 

Więcej w miesięczniku „Świat Nauki" nr 06/2013 »
Drukuj »
Ten artykuł nie został jeszcze skomentowany.
Aktualne numery
11/2017
10/2017 - specjalny
Kalendarium
Listopad
17
W 1833 r. urodził się Lucjan Rydel, polski lekarz, okulista, profesor i rektor Uniwersytetu Jagiellońskiego.
Warto przeczytać
Historia Polski pełna jest mitów, półprawd, przemilczeń i niedomówień. Różne jej wątki bywały w ciągu wieków retuszowane, poprawiane i wygładzane, by w końcu przybrać postać miłej dla ucha opowieści – stawały się narodowymi mitami.

Logowanie

Nazwa użytkownika

Hasło

Autor: Marek Penszko | dodano: 2013-05-21
Zbawca Narodu – reaktywacja

Co poeta miał na myśli?

Trudno znaleźć w literaturze liczbę, której symboliczne użycie wywołało równie duży oddźwięk, co 44 w III części Dziadów Adama Mickiewicza. Zadecydowała o tym jej zagadkowość jako imienia bliżej nieokreślonego Zbawcy Narodu, którego opis pojawia się w Widzeniu księdza Piotra i kończy tajemniczym wersem: A imię jego czterdzieści i cztery.

Mickiewicza często pytano, kogo ukrył pod liczebnikiem. Znane są trzy różne odpowiedzi. Z dwóch wynika, że 44 to albo sam autor albo mesjanista Andrzej Towiański; trzecia jest wymijająca – „Kiedy pisałem, wiedziałem. Teraz już nie wiem”. Trudno się temu dziwić, skoro – zdaniem profesora Wacława Kubackiego – „jednoznaczne wyjaśnienie spłyciłoby wartość literacką utworu, bowiem sens artystyczny tego symbolu wymaga, aby pozostał on nierozwiązany”.

Jednak ani to stwierdzenie, ani fragment wspomnień Seweryna Goszczyńskiego, przyjaciela poety („położył liczbę 44, nie wiedząc, dlaczego tę, a nie inną, bo mu się sama nastręczała w chwili natchnienia”), nie zniechęciły do szukania rozwiązań. Przeciwnie, już w XIX wieku pojawiło się ich tak wiele, że wszystkie złożyły się na książkę (Stanisław Ptaszyński, Mąż czterdzieści i cztery…, 1895). Dziś mickiewiczolodzy nie mają wątpliwości, że symbolika 44 wiąże się z mistyką. Twórczość Louis-Claude'a de Saint-Martina, francuskiego filozofa, którym Mickiewicz był zafascynowany, jest pełna znaczeń różnych liczb, także 40 i 4. Najbardziej przekonujące w kontekście Widzenia to – zdaniem profesora Wiktora Weintrauba – 40 jako liczba „dzieła o wielkiej duchowej doniosłości, dzieła odkupienia, wyzwolenia, pogodzenia”, oraz 4 jako „symbol człowieka spełniającego funkcję pośrednika między Bogiem a światem”. Połączenie obu idealnie odpowiada imieniu Zbawcy. Równie prawdopodobna jest interpretacja profesora Juliusza Kleinera, związana ze stosowanymi w kabale zasadami „przekładu” liter na liczby: D = 4, M = 40, samogłoski są pomijane; stąd ADAM = 44. Jest w tym wprawdzie drobna nieścisłość, ale z drugiej strony znany jest polski dokument z połowy XVIII wieku, w którym imię Adam zastąpiono liczbą 44.

Jakkolwiek by było, od mistyki liczb do matematyki droga krótka (przed wiekami wiedza ezoteryczna i królowa nauk były ze sobą silnie splecione). Odwiedzimy kilka działów teorii liczb, gdzie 44 występuje jako liczba wyróżniająca się lub ujawniająca szczególne własności – takie, które z zagadką literacką nie mają nic wspólnego, ale mogą być przyczynkiem do poznania lub przypomnienia ciekawych zagadnień matematycznych.

 

 

Rys. 1

 

To, że 44 tworzą jednakowe cyfry, stanowi już samo w sobie cechę wyróżniającą. Wprawdzie w zbiorze liczb naturalnych to słabe wyróżnienie, bo liczb „wielojednocyfrowych” jest sporo, ale w podzbiorze może decydować o unikatowości – jak choćby w przypadku liczb wielościennych. Liczby te oznaczają, iloma kulami o jednakowej średnicy można szczelnie (bez luzu) wypełnić wielościan foremny. Takich wielościanów znamy pięć (czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan, dwudziestościan), więc tyle samo jest rodzajów liczb wielościennych (najpopularniejsze są sześcienne, czyli trzecie potęgi – 1, 8, 27, 64,…). Wśród nich gości także 44 jako czwarta liczba ośmiościenna – z tylu jednakowych kul można zbudować ośmiościan foremny (rys. 1). 44 jest w tym gronie unikatem – jedyną liczbą wielościenną złożoną z jednakowych cyfr, jeśli pominąć jednocyfrowe (1, 4, 6, 8).

 

* * *

Potęgi liczb naturalnych (zero pomijamy) tworzą ciąg: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128,… Jeśli wypiszemy różnice między kolejnymi potęgami, to powstanie osobliwy „chaotyczny” ciąg: 3, 4, 1, 7, 9, 2, 5, 4, 13, 15, 17, 19, 21, 4, 3,… Jego niezwykłość wiąże się z tzw. hipotezą Pillai (indyjski matematyk, żyjący w latach 1901–1950), z której wynika, że każda liczba pojawia się w ciągu różnic skończoną liczbę razy. Konkretnie: 1 występuje raz (różnica między 8 i 9), 2 także raz (różnica 25 i 27), 3 – dwa razy (różnice między 1 a 4 oraz 125 i 128) itd. Natomiast 44 w ogóle w tym ciągu nie ma. Takich nieobecnych liczb jest jednak wiele, więc trudno uznać to za szczególną własność. Ponadto nieobecność jest domniemana, bo wynika z hipotezy, której prawdziwość potwierdzają wyłącznie obliczenia komputerowe (sprawdzono ciąg różnic potęg do 1021). Znany jest tylko dowód (twierdzenie Mihăilescu), że 8 i 9 to jedyna para kolejnych liczb naturalnych, które są równocześnie kolejnymi wyrazami w ciągu potęg (jeśli pominąć 0 i 1).

 

Osobliwość związana z 44 pojawi się, jeśli wyrazy w ciągu różnic zmniejszymy o jeden: 2, 3, 0, 6, 8, 1, 4, 3, 12, 14, 16, 18, 20, 3, 2,… Teraz każdy wyraz określa, ile liczb występuje między kolejnymi potęgami: dwie między 1 a 4, trzy między 4 a 8, brak liczby między 8 a 9 itd. Dokładnie 44 liczby pojawiają się między dwiema kolejnymi potęgami tylko raz. Ta unikatowość nie jest jeszcze niczym szczególnym, natomiast osobliwe są wartości skrajnych potęg: 9216 i 9261. Obie składają się z takich samych cyfr. Ale to nie wszystko. Te same cyfry tworzą także podstawy obu potęg: 962 i 213. W sumie to istny „cud czterech cyfr”. Para potrójnie unikalna. Drugiej takiej nie ma, co dodaje niezwykłości „eskortowanym” przez nią 44 liczbom.

* * *

Liczby pierwsze, między którymi różnica wynosi 2, zwane są bliźniaczymi. Korowód zaczynają pary: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19, 29 i 31,… Suma liczb w trzech pierwszych parach równa jest 44.

Para liczb takich, że suma dzielników właściwych każdej z nich równa jest drugiej liczbie, to liczby zaprzyjaźnione. Takie duety to białe kruki. Pierwszy tworzą 220 i 284, ponieważ suma dzielników 220 (1+2+5+10+11+20+22+44+55+110) równa jest 284, a suma dzielników 284 (1+2+4+71+142) to 220. Jak widać, na początku także pojawia się 44, jako jeden z dzielników najmniejszej z przyjaciółek.

Pary bliźniacze i zaprzyjaźnione to klasyka – znane były już starożytnym, a dziś poznają je uczniowie podstawówki. O innych rodzajach par liczbowych mało kto słyszał. Jest wśród nich również taki, który obejmuje liczbę 44 idącą w pierwszej parze. Chodzi o tzw. pary flirtujące. Flirt polega na tym, że iloczyn cyfr tworzących każdą liczbę jest taki sam i równy różnicy między liczbami. Pierwsza para – jedyna dwucyfrowa – to 28 i 44. Kolejna para jest trywialna, czyli powstaje przez dopisanie jedynki przed liczbami pierwszej pary – 128 i 144 (dopisując równoliczne grupy jedynek przed każdą liczbą, można tworzyć nieskończenie wiele par). Nietrywialnych par trzycyfrowych jest czternaście, w większości anagramowych, czyli jedna liczba w parze różni się od drugiej tylko kolejnością cyfr, np. 239 i 293, 497 i 749, 819 i 891; nieanagramowe nietrywialne są cztery: 214 i 222, 266 i 338, 318 i 342, 494 i 638.

 * * *

W roku 1945 Arthur Porges, przyszły amerykański pisarz science-fiction (z wykształcenia matematyk), opublikował artykuł na temat rezultatów pewnej operacji na liczbach naturalnych. Chodziło o wielokrotne sumowanie kwadratów wszystkich cyfr danej liczby – najpierw dowolnej, następnie otrzymanej sumy i dalej każdej kolejnej tworzonej sumy. Na przykład:

33→32+32=18→12+82=65→62+52=61→62+12=37→32+72=
58→52+82=89→82+92=145→12+42+52=42→42+22=20→22+02=4→42=16→12+62=37→…

A gdy pierwszą liczbą będzie 44:

44→42+42=32→32+22=13→12+32=10→12+02=1.

Takie powtarzanie tej samej czynności zwane jest w informatyce iteracją. Okazuje się, że od jakiejkolwiek liczby byśmy nie zaczęli, możemy spodziewać się alternatywnego zakończenia. Albo, jak w przypadku 33, wpadniemy w cykl  …→4→16→37→58→89→145→42→20 →4→…, albo, jak przy 44, skończymy jednością. Liczby, które „owocują” jedynką, zwane są wesołymi. Jest ich sporo, na przykład aż 142 mniejsze od 1000. Jednak takie, które składają się z jednakowych cyfr, to rarytasy – do miliona jest zaledwie sześć, wśród nich mickiewiczowska: 1, 7, 44, 888, 5555, 88888.

* * *

Jaka liczba ma następującą własność: jeśli odejmiemy od niej sumę jej cyfr, otrzymamy kwadrat, a jeżeli dodamy sumę cyfr, także powstanie kwadrat? Łatwo ustalić, że możliwości są trzy – 2, 8, 17. Nic poza tym, bo różnica między kwadratami szybko staje się większa od podwojonej sumy cyfr, a powinna być jej równa.

44 należy do liczb o podobnej własności: po odjęciu sumy cyfr powstaje kwadrat (36), a po dodaniu – 52, czyli anakwadrat (odwrócony kwadrat). Takie kwadratowo-anakwadratowe liczby to białe kruki – do miliona jest ich trzynaście: 2, 5, 9, 41, 44, 593, 1782, 4788, 9233, 10412, 46683, 69725, 142902. Niektóre, np. 593, są „podstępne”, ponieważ odpowiadający im anakwadrat zaczyna się zerem lub zerami, które oczywiście przestają być znaczące. Pierwsza takiego figla płata liczba 593, bo 593+17=610, czyli wspak 016.

* * *

Ile jest „nieporządnych” sposobów rozmieszczenia pięciu biegaczy na pięciu torach? Gdyby sposoby były zwykłe, czyli „porządne”, należałoby skorzystać ze znanego ze szkoły wzoru na liczbę permutacji n elementów, czyli n silnia (n!); dla n=5 n!=120. W „nieporządnym” sposobie, zwanym w kombinatoryce po prostu „nieporządkiem”, uwzględnia się tzw. punkty stałe. Jeśli biegaczy oznaczymy literami i wybierzemy jakieś ustawienie całej piątki na torach, np. ABCDE, licząc od pierwszego toru, to punktami stałymi będą pozycje poszczególnych liter w wybranym ustawieniu: A na pierwszym torze, B na drugim, C na trzecim itd. Nieporządkiem jest każda permutacja bez punktów stałych, czyli taka, w której żadna litera nie znajduje się na takim miejscu jak w ustawieniu ABCDE. Ze 120 permutacji należy więc usunąć wszystkie z punktami stałymi. Można to zrobić „mechanicznie” lub matematycznie, korzystając ze wzoru na liczbę nieporządków n elementów zwaną podsilnią i oznaczaną symbolem !n:

!n=n![1–1/1!+1/2!–1/3!+…+(–1)n/n!]

Dla n=5 podsilnia równa jest 44.

Liczby nieporządków zwane są także liczbami de Montmorta – od nazwiska matematyka francuskiego, który badał je jako pierwszy na początku XVIII wieku Do miliarda jest ich tylko tuzin. 44 zasługuje na wyróżnienie także jako jedyna w tym gronie liczba dwucyfrowa.

* * *

Hipoteza Goldbacha – każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych – brzmi wyjątkowo zwięźle, zrozumiale i… kusząco. Nic dziwnego, że próbowało jej dowieść wielu matematyków, w tym liczni amatorzy. Nikomu się nie udało. Nie pomogła nawet okazjonalna nagroda – milion dolarów czekał do 2002 roku.

44 jest jedną z jedenastu liczb, spełniających hipotezę Goldbacha na trzy sposoby, czyli można ją przedstawić jako sumę trzech różnych par liczb pierwszych: 3+41, 7+37 i 13+31. Z ostatniej pary wynika szczególna cecha 44 – to najmniejsza suma takich dwóch liczb pierwszych, z których jedna jest odwróceniem drugiej. Kolejnymi liczbami o tej własności są: 88 (17+71), 110 (37+73), 176 (79+97), 424 (113+311), 808 (107+701),…

* * *

Prostopadłościan zwany jest cegiełką Eulera, jeśli długości jego krawędzi i przekątne ścian wyrażają się liczbami całkowitymi. „Wypalanie” takich cegiełek polega na rozwiązywaniu układu trzech równań diofantycznych, z których każde jest trójką pitagorejską:

a2 + b2 = d2

a2 + c2 = e2

b2 + c2 = f2

 

Rys. 2

 

Cegiełki są olbrzymie, a najmniejszy wymiar najmniejszej z nich, znanej od roku 1719, równy jest 44 (rys. 2). Wszystkie jej wymiary: 44×117×240; przekątne ścian – 125, 244 i 267.

Od dawna trwają poszukiwania tzw. doskonałej cegiełki, w której liczbą całkowitą byłaby także długość przekątnej prostopadłościanu. Układ trzech równań należy więc uzupełnić czwartym:

a2 + b2 + c2 = g2

Doskonała cegiełka, gdyby istniała, byłaby gigantem – jej najmniejszy wymiar przekraczałby 447.

* * *

Podzielmy zbiór liczb naturalnych od 1 do 13 na trzy podzbiory w następujący sposób: {1, 4, 10, 13}, {2, 3, 11, 12}, {5, 6, 7, 8, 9}. Przy takim podziale każdy podzbiór ma szczególną własność: w żadnym nie ma liczby równej sumie dowolnej pary liczb lub dwukrotności dowolnej liczby z tego podzbioru. Liczb od 1 do 14 nie uda się już podzielić na trzy podzbiory o takiej własności – zawsze pojawi się podzbiór X z liczbą, która będzie sumą jakiejś pary liczb z podzbioru X lub dwukrotnością liczby z tego podzbioru.

Jeśli zbiór liczb naturalnych od 1 do n jest największym, który można podzielić na k podzbiorów, mających opisaną własność, to n nazywamy liczbą Schura – S(k). A zatem S(3)=13. Wiadomo też, że S(1)=1, a S(2)=4. Przed półwieczem ustalono wartość największej znanej liczby Schura – S(4)=44. O S(5) wiadomo tylko, że jest trzycyfrowa i zawarta między 160 a 315. Znalezienie jej stanowi bardzo trudny problem obliczeniowy.

Poniższe cztery zadania konkursowe są znacznie prostsze.

* * *

1.         Jeśli kwadrat kończy się dwiema jednakowymi cyframi, to może nimi być tylko para 00 lub 44. Liczby, których kwadraty kończą się dwiema czwórkami, tworzą ciąg: 12, 38, 62, 88, 112,… Proszę napisać jak najprostszy wzór na n-ty wyraz tego ciągu.

2.         Suma cyfr liczby A równa się 100; suma cyfr liczby B wynosi 800. Liczba B jest 44 razy większa niż A. Ile jedynek występuje w liczbie A, jeśli jest ona najmniejszą z możliwych?

3.         Proszę możliwie krótko udowodnić, że nie jest prawdą następujące stwierdzenie: „pole pewnego kwadratu wyraża się liczbą całkowitą, której suma cyfr równa jest 44”.

4.         W dyskotece zorganizowanej w remizie uczestniczyła ponad połowa z 44 młodych ludzi, mieszkających we wsi. Tańczono tylko parami i w trakcie całej zabawy każdy chłopiec obtańcowywał dokładnie cztery dziewczyny, a każda dziewczyna równo siedmiu chłopców. Ile osób było na dyskotece?

 

Rozwiązania prosimy nadsyłać do 30 czerwca br. pocztą elektroniczną (swiatnauki@proszynskimedia.pl), wpisując w temacie e-maila hasło UG06/13, lub listownie: Świat Nauki, ul. Rzymowskiego 28, 02–697 Warszawa. Spośród nadawców poprawnych rozwiązań przynajmniej trzech zadań wyłonimy pięciu zwycięzców i nagrodzimy ich książką Kitty Ferguson Krótka historia Stephena Hawkinga, ufundowaną przez wydawnictwo Prószyński Media.